- •Часть 4. Элементы аналитической механики Глава 1. Основные понятия
- •1.1. Классификация связей
- •1.2. Виртуальные перемещения
- •1.3. Условия, налагаемые связями на вариации координат
- •1.4. Обобщенные координаты, степени свободы
- •1.5. Работа сил на виртуальных перемещениях, идеальные связи, обобщенные силы
- •Глава 2. Аналитическая статика
- •2.1. Принцип виртуальных перемещений
- •2.2. Условия равновесия смт в обобщенных координатах
- •Глава 3. Аналитическая динамика
- •3.1. Общее уравнение динамики – уравнение Даламбера-Лагранжа
- •3.2. Уравнения движения смт в обобщенных координатах – уравнения Лагранжа второго рода
- •Глава 4. Алгоритмы решения задач
- •Пример 1.
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Пример 4
- •Пример 5
- •4.2. Алгоритм решения задач с помощью уравнений равновесия в обобщенных координатах и уравнений Лагранжа второго рода – схемы алгоритмов а42 урок, а42 удок с комментариями и примерами
- •Комментарии
- •Пример 6.
- •Пример 7
- •Пример 8
- •Примечание
Глава 2. Аналитическая статика
2.1. Принцип виртуальных перемещений
Принцип виртуальных перемещений:
Для равновесия СМТ, на которую наложены стационарные, удерживающие и идеальные связи, необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех активных сил, действующих на СМТ, на любом виртуальном перемещении была равна нулю:
, (2.1)
Доказательство необходимости:
Для доказательства необходимости принципа предположим, что несвободная СМТ со стационарными, удерживающими и идеальными связями находится в положении равновесия. Тогда каждая МТ, входящая в СМТ, находится в равновесии и, используя аксиому 5 – принцип освобождаемости (Ч.1 Статика), можно записать:
(2.2)
Сообщив МТ, входящим в СМТ, виртуальные перемещения , умножим скалярно каждое из уравнений (2.2) соответственно на, (=1,2,…,n) и сложим полученные выражения:
.
Так как связи, наложенные на СМТ, идеальные, то выполняются условия (1.12) и из предыдущего соотношения получаем уравнение:
.
Что и требовалось доказать.
Доказательство достаточности:
Для доказательства достаточности применим метод от противного. Предположим, что при выполнении условия (2.1) СМТ не находится в равновесии, и хотя бы одна из МТ, например первая, пришла в движение. Тогда для этой МТ условие типа (2.2) выполняться не будет, т.е.:
(2.3)
Сообщив МТ, входящим в СМТ, виртуальные перемещения , умножим каждое из уравнений (2.3) на соответствующее , (=1,2,…,n) и сложим полученные выражения почленно:
.
Так как связи, наложенные на СМТ, идеальные, то выполняются условия (1.12) и из предыдущего соотношения получаем неравенство:
,
а это противоречит условию (2.1). Следовательно, наше предположение о том, что при выполнении условия (2.1) СМТ не находится в равновесии, неверно, т.е. выполнение этого условия является и достаточным для равновесия СМТ.
Следует отметить, что в случае стационарных, удерживающих и неидеальных связей, принцип виртуальных перемещений примет вид:
(2.4)
где – пассивные силы – силы реакции неидеальных связей.
2.2. Условия равновесия смт в обобщенных координатах
Запишем выражение принципа виртуальных перемещений (2.1) с учетом соотношения (1.17):
. (2.5)
Так как вариации обобщенных координат независимы и произвольны, то уравнение (2.5) выполняется только при условии, что все обобщенные силы равны нулю. В этом легко убедиться, сообщив СМТ виртуальное перемещение, при котором вариации всех обобщенных координат, кроме одной, например первой, равны нулю
(2.6)
Подставляя (2.6) в (2.5) получим и так далее для всех обобщенных сил. В результате приходим к следующим условиям равновесия СМТ в обобщенных координатах.
Условия равновесия СМТ в обобщенных координатах:
Для равновесия СМТ, на которую наложены стационарные, удерживающие и идеальные связи необходимо и достаточно, чтобы все обобщенные силы равнялись нулю:
. (2.7)
Следует отметить, что в случае неидеальных связей в условия равновесия СМТ в обобщенных координатах войдут пассивные силы и моменты реакции связей.