Пример 7

2 Используя условие задачи примера 4 (рис. 5), определить ускорение груза и его скорость в зависимости от пройденного им пути с помощью уравнения Лагранжа второго рода.

3 Равновесие объекта: нет, движение объекта.

4 Обобщенная координата: .

Степень свободы: .

5б Связи стационарные, удерживающие и неидеальные (работы силы трения скольжения и момента трения качения на виртуальных перемещениях не равны нулю). Силовая схема, состоящая из представлена на рис. 15.

Нормальные реакции связей не войдут в обобщенные силы, так как их работы на виртуальных перемещениях равны нулю.

Сила трения скольжения и момент трения качения условно принимаются за активные силы:

, .

Рис. 15

6б Д49 КЭС 3 – 6

7б Виртуальные перемещения изображены на рис. 15.

Соотношения между виртуальными перемещениями выражаются через , так как степень свободы МС. Эти соотношения получены в примере 4 настоящей главы:

, ,

8б Подставив в полученные в уровне5б выражения для силы трения скольжения, момента трения качения, а также соотношения между виртуальными перемещениями, найденные в уровне 6б, получим:

.

9б Д49 КЭС

Т

Кинетическая энергия МС найдена в примере 1 главы 4, п. 4.9, Ч.3 Динамика (рис. 38).

.

10б ,.

11 Составим уравнение Лагранжа второго рода

.

.

12 Ответ:

.

Скорость груза с учетом нулевых начальных условий можно найти путем искусственного преобразования и интегрирования методом разделения переменных (аналогично тому, как это сделано в примере 4 настоящей главы):

Условия того, чтобы груз опускался , т.е.

.

Эти условия выполняются, следовательно, груз 1 опускается.

Пример 8

2 Используются условия задачи примера 5 (рис. 6).

Найти системуыражаем все изображенные на рис. 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 дифференциальных уравнений движения МС с помощью уравнений Лагранжа второго рода.

3 Равновесие объекта: нет, движение объекта.

4б Обобщенные координаты .

Степень свободы .

5б Связи стационарные, удерживающие и идеальные.

Силовая схема, состоящая из , представлена на рис. 16. Сила упругости.

Рис. 16

Реакции идеальных связейможно не изображать на рисунке, так как они не войдут в обобщенные силы.

6б Д49 КЭС 3 – 6

7б Виртуальные перемещения ,(виртуальное абсолютное перемещение центра масс катка),(виртуальное относительное перемещение центра масс катка),изображены на рис. 16.

Соотношения между виртуальными перемещениями выражаются через , так как степень свободы МС.

Эти соотношения получены в примере 5:

, ,,

, ,

8б Подставим в полученное в уровне5б выражение для силы упругости, а также соотношения, выражающие зависимость между виртуальными перемещениями, найденные в уровне 7б, получим:

.

9б Д49 КЭС

Т

8Неподвижный блок совершает вращательное движение.

9, здесь.

8Подвижный блок совершает плоско-параллельное движение.

9,

здесь .

8Тележка совершает поступательное движение.

9, здесь.

8Каток совершает сложное движение: поступательное вместе с тележкой (переносное движение) и плоско-параллельное относительно тележки (относительное движение)

,

здесь ,,.

8Груз совершает прямолинейное движение МТ.

9, здесь

10

10 Прежде, чем записать уравнения Лагранжа второго рода, найдем частные производные :

, ,

, .

11 Уравнения Лагранжа второго рода:

12 Ответ: