6. Средняя скорость.

Изменение скорости вдоль потока

Жидкости по-разному взаимодействуют с поверхностью, с которой они соприкасаются. Например, вода прилипает к чистой поверхности стекла или, как говорят, смачивает стекло. Однако та же вода не смачивает стекло, покрытое слоем жира или масла; ртуть не смачивает стекло. Так как обычно используют металлические трубопроводы, а в открытых каналах стенки земляные или бетонные, по которым подают обычные жидкости – воду, жидкие топлива, нефть – везде в дальнейшем считаем, что поверхность трубы смачивается текущей в ней жидкостью. При смачивании тончайший слой жидкости, непосредственно соприкасающейся со стенкой, как бы прилипает к ней и, следовательно, при общем движении жидкости фактически остаётся неподвижным. По этому слою медленно скользит следующий слой, по нему, чуть быстрее, другой слой, по тому, ещё быстрее, третий и т.д. Таким образом, скорость жидкости, по мере перехода от каждого слоя к следующему, нарастает, достигая максимума в центре сечения трубы или на поверхности открытого канала. Такое представление удобно для начального понимания гидравлических закономерностей; в действительности отдельных слоёв жидкости не существует и скорость изменяется непрерывно. Закон изменения скорости по сечению трубы зависит от режима движения и во многих случаях очень сложен. Для решения большинства задач гидравлики достаточно знать среднюю скорость потока однозначно определяющую расход и многие другие гидравлические величины. Для нахожденияусредним скорость по всей площади сечения (т.е. выполним обычную операцию усреднения). При этом средняя скорость определяется так

(6.1)

Из (6.1) следует, что

. (6.2)

Таким образом, средняя скорость определяется как частное величин QиS(в дальнейшембудем обозначать какV)

. (6.3)

Уравнение (5.2) можно теперь записать так

, (6.4)

а уравнение постоянства массового расхода

. (6.5)

Выберем два любых сечения 1 и 2 в потоке, рис. 6.1, тогда для расходовQ₁иQ₂в них

или

. (6.6)

Если уравнение неразрывности записать для нескольких сечений, то оно будет иметь вид

Рис. 6.1

. (6.7)

Пример 6.1.Представим, что поставлена задача определить среднюю скоростьVводы в водопроводной трубе диаметромd= 15 мм при полном открытии крана. Среднюю скорость определим по формуле

и поэтому вначале измерим расход воды объёмным способом. В процессе измерения набрали в мерную ёмкость 2,7 литра за 15 секунд и определили расход по формуле

.

Затем определили среднюю скорость V

Замечание 6.1.Для потока, изображенного на рис.6.1, вопрос «в каком сечении расход больше – в узком или широком?» не имеет смысла, так как расход согласно (6.4) в любом сечении одинаковый, чего нельзя сказать о средней скорости. Очевидно, что еслиQ=const, то и=const: поэтому где площадь сечения больше, там скорость меньше и наоборот.

Замечание 6.2.Зависимости (5.2), (6.4), (6.6) и (6.7) являются различными формами записи уравнения неразрывности для потока и применимы к его осреднённым характеристикам. Равенство (6.6), основываясь на свойстве пропорции, возможно представить так

Из него следует, что отношение средних скоростей обратно пропорционально отношению площадей. Для круглой трубы площадь сечения и поэтому скорости в сечениях относятся обратно пропорционально квадратам диаметров.

Пример 6.2.а) Если диаметр трубы увеличить в 2 раза, то средняя скорость в этом сечении уменьшится в 4 раза; б) если диаметр трубы в данном сечении уменьшить в 3 раза, то средняя скорость в этом сечении увеличится в 9 раз.

Задача 6.1.Определить массовый расход горячей воды в трубопроводе с внутренним диаметром, если известно, что средняя скорость воды, а плотность= 920 кг/м³.

Решение.Массовый расход определяем по формуле

.

Площадь живого сечения равна

окончательно

Задача 6.2.Скоростьв сечении 1 круглой трубы диаметромравна

; найти скоростьв сечении 2 при расширении трубы. Диаметрво втором сечении в 3 раза больше, чем диаметр в сечении 1.

Решение. Расход в обоих сечениях одинаковый и согласно уравнению (5.6) имеем

.

Подставляя в последнее равенство выражения для площади сечения, получим

Рис. 6.2

или.

Последнее равенство можно представить в виде

,

т.е. скорости обратно пропорциональны квадратам диаметров. Подставляя числовые значения, получим окончательно

.