2.3. Метод Зейделя

Модификацией метода простой итерации можно считать метод Зейделя.

В методе простой итерации на -ой итерации значения,вычисляются подстановкой в правую часть (6) вычисленных на предыдущей итерации значений. В методе Зейделя при вычислении используются значения, , , уже найденные на -ой итерации, а не , , …, , как в методе простой итерации, т.е. -е приближение строится следующим образом:

(9)

Эти формулы являются расчетными формулами метода Зейделя.

Введем нижнюю и верхнюю треугольные матрицы:

и .

Матричная запись расчетных формул (9) имеет вид: . Так как, точное решениеисходной системы удовлетворяет равенству:.

Сходимость метода Зейделя. Достаточным условием сходимости метода Зейделя является выполнение неравенства:

. (10)

Неравенство (10) означает, что для сходимости метода Зейделя достаточно, чтобы любая норма матрицы был меньше единицы.

Если выполнено условие (10), то справедлива следующая оценка погрешности:

, (11)

где – норма матрицы.

Критерий окончания. Если требуется найти решение с точностью , итерационный процесс следует закончить, как только на-ом шаге выполнится неравенство:. Поэтому в качестве критерия окончания итерационного процесса можно использовать неравенство, где . Если выполняется условие

, то можно пользоваться более простым критерием окончания:

.

Метод Зейделя, как правило, сходится быстрее, чем метод простой итерации. Однако возможны ситуации, когда метод простой итерации сходится, а метод Зейделя сходится медленнее или вообще расходится.

Пример. Применим метод Зейделя для решения системы уравнений из предыдущего примера. Первые шаги полностью совпадают с процедурой решения по методу простых итераций. Проведем теперь итерации методом Зейделя.

При

.

При вычислении используем уже полученное значение:

.

При вычислении используем уже полученные значения и:

.

При вычислении используем уже полученные значения,,:

.

Аналогичным образом проведем вычисления при и.

Получим:

при

.

при

.

Известны точные значения переменных:

.

Сравнение с предыдущим примером показывает, что метод Зейделя сходится быстрее и дает более точный результат.

3. Решение систем нелинейных уравнений

3.1. Постановка задачи

Многие практические задачи сводятся к решению системы нелинейных уравнений. Пусть для вычисления неизвестных требуется решить системунелинейных урав­нений:

, иначе .

В отличие от решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) не существует прямых методов решения систем нелинейных урав­нений. Лишь в отдельных случаях эту систему можно решить непосредственно. Например, для случая двух неизвестных иногда удается выразить одно неизвестное через другое и таким об­ра­зом свести задачу к решению одного нелинейного уравнения относительно другого.

В общем случае для решения систем нелинейных уравнений обычно используются итера­ци­онные методы.

3.2. Метод Ньютона для системы нелинейных уравнений

В основе метода Ньютона для системы уравнений лежит использование разложения функ­ций в ряд Тейлора, причем члены, содержащие вторые производные (и производ­ные более высоких порядков), отбрасываются. Пусть приближенные значения неизвестных системы (например, полученные на предыду­щей итерации) равны соответственно. Задача состоит в нахождении приращений (по­пра­вок) к этим значениям, благодаря которым решение исходной системы за­пи­шется в виде:. Проведем разложение левых частей уравнений исходной системы в ряд Тэйлора, ограничи­ва­ясь лишь линейными членами относительно приращений:

Поскольку левые части этих выражений должны обращаться в нуль, то можно приравнять к ну­лю и правые части:

в матричном виде:

Значения и их производные вычисляются при.

Определителем последней системы является якобиан:

.

Для существования единственного решения системы якобиан должен быть отличным от нуля на каждой итерации.

Таким образом, итерационный процесс решения системы нелинейных уравнений методом Ньютона состоит в определении приращений к значениям неизвестных на каждой итерации. Счет прекращается, если все приращения становятся малыми по абсолютной величине:

.

В методе Ньютона также важен удачный выбор начального приближения для обеспечения хо­рошей сходимости. Сходимость ухудшается с увеличением числа уравнений системы. Итак, за расчетную формулу примем

или .

Сходимость метода. Теорема. Пусть в некоторой окрестности решения системы нелинейных уравнений функциидважды непрерывно дифференцируемы и определитель матрицы Якобине равен нулю. Тогда найдется такая малая– окрестность решения, что при произвольном выборе начального приближения из этой окрестности, итерационная последовательность метода Ньютона не выходит за пределы окрестности и справедлива оценка: ,– метод сходится с квадратичной скоростью.

В качестве примера можно рассмотреть использование метода Ньютона для решения систе­мы двух уравнений: , гдеи– непрерывно дифференцируемые функции. Пусть начальные значения неизвестных равны. После разложения исходной системы в ряд Тэйлора можно получить:

Предположим, что якобиан системы при иотличен от нуля:

.

Тогда значения иможно найти, используя матричный способ следующим образом:

.

Вычислив значения иможно найтииследующим образом:

.

Величины, стоящие в правой части, вычисляются при и.

Критерий окончания. Будем считать, что заданная точность достигнута, если или.

Пример. Методом Ньютона решить систему двух уравнений:

с точностью до 0,001.

Решение.

1) Начальные приближения можно определить графическим способом. Для этого перепи­шем систему в виде:

Первое из преобразованных уравнений определяет эллипс, а второе – гиперболу. Данная сис­те­ма имеет два решения. Для уточнения выбирают одно из них, принадлежащее области и.

За начальное приближение принимают и.

2) Находим

0,5	-0,1052	2	-8,76	49,32
-0,46	-0,3848	5	2,76
0,5742	0,0114	2,2968	-8,7306	51,2203
-0,4551	0,0052	5,1484	2,7306
0,5727	0,00006	2,2908	-8,7252	51,1375
-0,4542	-0,00011	5,1454	2,7252
0,5727
-0,4542

Поскольку , то.

Окончательный ответ: и.