- •Численные методы
- •2012 Введение
- •1. Решение нелинейных уравнений
- •Постановка задачи
- •1.2. Основные этапы отыскания решения
- •1.3. Метод половинного деления
- •1.4. Метод простой итерации
- •Приведение уравнения к видудля обеспечения выполнения неравенства
- •1.5. Метод Ньютона (метод касательных)
- •1.6. Видоизменённый метод Ньютона
- •1.7. Метод хорд
- •1.8. Комбинированный метод
- •Решение систем линейных алгебраических уравнений
- •2.1. Постановка задачи
- •2.2. Метод простой итерации
- •2.3. Метод Зейделя
- •3. Решение систем нелинейных уравнений
- •3.1. Постановка задачи
- •3.2. Метод Ньютона для системы нелинейных уравнений
- •3.3. Метод итерации для нелинейной системы уравнений
- •3.4. Метод скорейшего спуска решения нелинейных систем
- •3.5. Метод скорейшего спуска для случая линейной системы
- •4. Приближение функций
- •4. 1. Метод наименьших квадратов
- •4.2. Построение интерполяционных многочленов
- •Многочлен Лагранжа
- •Многочлен Ньютона с конечными разностями
- •5. Вычисление собственных значений матрицы Методом Данилевского
- •6. Вычисление определённых интегралов. Метод симпсона (метод парабол)
- •7. Численное решение дифференциальных уравнений
- •7.1. Постановка задачи Коши
- •7.2. Метод Эйлера
- •7.3. Модифицированные методы Эйлера
- •7.4. Метод Рунге – Кутта
- •Решение краевой задачи для линейного дифференциального уравнения второго порядка методом прогонки
1.3. Метод половинного деления
Метод половинного является самым простым и надежным способом решения нелинейного уравнения. Пусть из предварительного анализа известно, что корень уравнения находится на отрезке , т. е., так, что. Пусть функциянепрерывна на отрезкеи принимает на концах отрезка значения разных знаков, т.е..
Разделим отрезок пополам. Получим точку. Вычислим значение функции в этой точке:. Если, то– искомый корень, и задача решена. Если, то– число определённого знака:либо. Тогда либо на концах отрезка, либо на концах отрезказначения функцииимеют разные знаки. Обозначим такой отрезок. Очевидно, чтои длина отрезкав два раза меньше, чем длина отрезка. Поступим аналогично с отрезком. В результате получим либо корень, либо новый отрезоки т. д. (рис. 2).
Рис. 2
Середина -го отрезка. Очевидно, что длина отрезкабудет равна, а так как, то
. (1)
Критерий окончания. Из соотношения (1) следует, что при заданной точности приближения вычисления заканчиваются, когда будет выполнено неравенство или неравенство . Таким образом, количество итераций можно определить заранее. За приближенное значение корня берется величина.
Пример. Найдем приближенно с точностью. Эта задача эквивалентна решению уравнения, или нахождению нуля функции. В качестве начального отрезкавозьмем отрезок. На концах этого отрезка функция принимает значения с разными знаками:. Найдем числоделений отрезка, необходимых для достижения требуемой точности. Имеем:
.
Следовательно, не позднее 6-го деления найдем с требуемой точностью,. Результаты вычислений представлены в таблице 1.
Таблица 1
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
1,0000 |
1,0000 |
1,0000 |
1,1250 |
1,1250 |
1,1406 |
1,1406 | |
2,0000 |
1,5000 |
1,2500 |
1,2500 |
1,1875 |
1,1875 |
1,1562 | |
1,5000 |
1,2500 |
1,1250 |
1,1875 |
1,1406 |
1,1562 |
1,1484 | |
Зн |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
Зн |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
5,5938 |
0,7585 |
-0,2959 |
0,1812 |
-0,0691 |
0,0532 |
-0,0078 | |
– |
1,0000 |
0,5000 |
0,2500 |
0,1250 |
0,0625 |
0,0312 |
0,0156 |
1.4. Метод простой итерации
Пусть уравнение можно заменить эквивалентным ему уравнением
. (2)
Выберем каким-либо образом начальное приближение . Вычислим значение функцииприи найдем уточненное значение. Подставим теперь в уравнение (1) и получим новое приближение и т. д. Продолжая этот процесс неограниченно, получим последовательность приближений к корню:
. (3)
Формула (3) является расчетной формулой метода простой итерации.
Если последовательность сходится при, т. е. существует
(4)
и функция непрерывна, то, переходя к пределу в (3) и учитывая (4), получим:.
Таким образом, , следовательно,– корень уравнения (2).
Сходимость метода. Сходимость метода простой итерации устанавливает следующая теорема.
Теорема. Пусть функция определена и дифференцируема на отрезке, причем все ее значения. Тогда, если выполняется условиепри:
1) процесс итерации сходится независимо от начального значения;
2) предельное значение является единственным корнем уравненияна отрезке.
Доказательство. Так как и, то можно записать
.
По теореме о среднем (она утверждает, что если производная функции непрерывна на некотором интервале, то тангенс угла наклона хорды, проведенной между точкамии, (т.е.равен производной функции в некоторой промежуточной точке, лежащей междуи) частное в последнем выражении будет равно, где– некоторая промежуточная точка в интервале поиска корня. Следовательно,.
Если ввести обозначение для всего интервала поиска, то предыдущее равенство может быть переписано в виде:
Аналогично . Тогда длябудет справедливо неравенство:и т. д. Продолжая эти выкладки дальше, в результате получаем, где– натуральное число. Таким образом, чтобы метод сходился, необходимо выполнение неравенства:.
Отсюда следует, что должно быть меньше единицы. В свою очередь, для всех остальных значений меньших, можно записать:. Числоопределим из соотношения. Тогда справедливо неравенство (вывод см. ниже):. Если поставить условие, что истинное значение корнядолжно отличаться от приближенного значения на величину, т.е., то приближениянадо вычислять до тех пор, пока не будет выполнено неравенство
или и тогда.
Вывод неравенства. Рассмотрим два последовательных приближения: и. Отсюда.
Используя теорему о среднем, получим:
,
тогда на основании условия можно записать:
.
С другой стороны, пусть . Очевидно, что. Отсюда, учитывая, что, получим
,
где .
Тогда или.
Используя предыдущую формулу, можно получить:
. (5)
Перейдём к пределу в равенстве (3), в силу непрерывности функции получим, то есть– корень уравнения (2). Других корней нанет, так как если, то, тогда, где. Равенство нулю будет достигнуто, если. То есть– корень единственный.
Теорема доказана.