- •Численные методы
- •2012 Введение
- •1. Решение нелинейных уравнений
- •Постановка задачи
- •1.2. Основные этапы отыскания решения
- •1.3. Метод половинного деления
- •1.4. Метод простой итерации
- •Приведение уравнения к видудля обеспечения выполнения неравенства
- •1.5. Метод Ньютона (метод касательных)
- •1.6. Видоизменённый метод Ньютона
- •1.7. Метод хорд
- •1.8. Комбинированный метод
- •Решение систем линейных алгебраических уравнений
- •2.1. Постановка задачи
- •2.2. Метод простой итерации
- •2.3. Метод Зейделя
- •3. Решение систем нелинейных уравнений
- •3.1. Постановка задачи
- •3.2. Метод Ньютона для системы нелинейных уравнений
- •3.3. Метод итерации для нелинейной системы уравнений
- •3.4. Метод скорейшего спуска решения нелинейных систем
- •3.5. Метод скорейшего спуска для случая линейной системы
- •4. Приближение функций
- •4. 1. Метод наименьших квадратов
- •4.2. Построение интерполяционных многочленов
- •Многочлен Лагранжа
- •Многочлен Ньютона с конечными разностями
- •5. Вычисление собственных значений матрицы Методом Данилевского
- •6. Вычисление определённых интегралов. Метод симпсона (метод парабол)
- •7. Численное решение дифференциальных уравнений
- •7.1. Постановка задачи Коши
- •7.2. Метод Эйлера
- •7.3. Модифицированные методы Эйлера
- •7.4. Метод Рунге – Кутта
- •Решение краевой задачи для линейного дифференциального уравнения второго порядка методом прогонки
5. Вычисление собственных значений матрицы Методом Данилевского
Сущность метода Данилевского заключается в том, что исходная матрица А:
после преобразования подобия приводится к матрице Фробениуса Р:
,
то есть , где– неособенная матрица. Так как подобные матрицы обладают одинаковыми характеристическими полиномами, то имеем:
.
Вначале нужно строку привести в строку .Предполагая, что , разделим все элементы– го столбца матрицы А на. Тогда её-ая строка примет вид
.
Затем вычтем - й столбец преобразованной матрицы, умноженный соответственно на числа, из всех остальных ее столбцов.
В результате получим матрицу, последняя строка которой имеет желаемый вид 0 0 … 1 0.
Произведя те же операции над единичной матрицей, получим матрицу
,
где при. (1)
. (1')
Эти операции равносильны умножению справа матрицы на матрицу А.
, (2)
где при,
при . (2')
Для подобия матриц нужно умножить полученную матрицу на слева:.
Очевидно, обратная матрица имеет вид
.
Обозначим , то есть
,
где (3)
при , (3')
то есть полученная матрица С подобна матрице А.
Продолжая этот процесс, получим матрицу Фробениуса.
,
если все промежуточных преобразований возможны.
Пример. Привести к виду Фробениуса матрицу:
.
Решение. Вычисления будем располагать в таблице 4. В строках 1–4 помещаем элементы данной матрицы и контрольные суммыв. Элемент. В строкеI записываем элементы третьей строки матрицы , вычисляемые по формулам (1), (1'):
, ,
, .
Сюда же помещаем элемент . Число -3,375 должно совпасть с элементами строкиI , не входящими в контрольный столбец (после замены элемента на -1).
В строках 5–8 в графе выписываем третью строку матрицы, которая совпадает с четвертой строкой исходной матрицы А. В строках 5–8 в соответствующих столбцах выписываем элементы матрицы, вычисляемые по формулам (2), (2'):
Преобразованные элементы третьего столбца получаются с помощью умножения исходных элементов на . Например,
Таблица 4
Номер строки |
|
Столбцы матрицы |
Σ |
Σ/ | |||
1 |
2 |
3 |
4 | ||||
1 |
|
1 |
3 |
2 |
4 |
10 |
|
2 |
|
5 |
9 |
4 |
1 |
19 | |
3 |
|
7 |
3 |
2 |
6 |
18 | |
4
|
|
8 |
7 |
8 |
4 |
27 | |
I |
|
-1 |
-0,875 |
0,125 -1 |
-0,5 |
-3,375 | |
5 |
8 |
-1 |
1,25 |
0,25 |
3 |
3,5 |
3,25 |
6 |
7
|
1 |
5,5 |
0,5 |
-1 |
6,0 |
5,5
11,25 |
7 |
8 |
5 |
1,25 |
0,25 |
5 |
11,5 | |
8 |
4 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
7/ |
|
39 |
58,5
|
11,5 |
57 |
166 |
|
II |
|
-0,67 |
0,017 -1 |
-0,127 |
-0,97 |
-2,83 |
|
9 |
39 |
-1,8333 |
0,021 |
0,004 |
1,782 |
-0,026 |
-0,047 |
10 |
58,5 |
-2,666 |
0,094 |
-0,5811 |
-6,3589 |
-9,512 |
-9,606 |
11 |
11,5 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
12 |
57 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
10/ |
|
-227,4597 |
17,818 |
23,16165 |
-302,4 |
-488,966 |
|
III |
|
0,0044 1 |
0,0783 |
0,1 |
-1,3298 |
-2,14 |
|
13
|
-227,45 |
0,008 |
-0,1226 |
-0,1827 |
4,22 |
3,9228 |
3,91148 |
17,818 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 | |
23,16165 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 | |
-302,497 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 | |
|
|
16 |
51 |
-261 |
-960 |
|
|
Соответственно, последняя строка матрицы В имеет вид (0 0 1 0). Для контроля пополним матрицу В преобразованными по аналогии элементами:
Полученные результаты записываем в столбце Σ/ . Прибавив к ним элементы третьего столбца, будем иметь контрольные суммы:
для строк 5–8 (столбец Σ) .
Преобразование , произведенное над матрицей В и дающее матрицу, изменяет лишь третью строку матрицы В, то есть седьмую строку таблицы. Элементы строкиполучаются по формулам (3), () . Например:
.
Те же преобразования проводим над столбцом Σ:
.
В результате получаем матрицу С, состоящую из строк 5, 6, , 8 с контрольными суммами Σ. Далее, приняв матрицу С за исходную и выделив элемент, продолжим процесс аналогичным образом.
Таким образом, матрица Фробениуса имеет вид
Отсюда, решая уравнение , найдем собственные значения исходной матрицы.