- •Численные методы
- •2012 Введение
- •1. Решение нелинейных уравнений
- •Постановка задачи
- •1.2. Основные этапы отыскания решения
- •1.3. Метод половинного деления
- •1.4. Метод простой итерации
- •Приведение уравнения к видудля обеспечения выполнения неравенства
- •1.5. Метод Ньютона (метод касательных)
- •1.6. Видоизменённый метод Ньютона
- •1.7. Метод хорд
- •1.8. Комбинированный метод
- •Решение систем линейных алгебраических уравнений
- •2.1. Постановка задачи
- •2.2. Метод простой итерации
- •2.3. Метод Зейделя
- •3. Решение систем нелинейных уравнений
- •3.1. Постановка задачи
- •3.2. Метод Ньютона для системы нелинейных уравнений
- •3.3. Метод итерации для нелинейной системы уравнений
- •3.4. Метод скорейшего спуска решения нелинейных систем
- •3.5. Метод скорейшего спуска для случая линейной системы
- •4. Приближение функций
- •4. 1. Метод наименьших квадратов
- •4.2. Построение интерполяционных многочленов
- •Многочлен Лагранжа
- •Многочлен Ньютона с конечными разностями
- •5. Вычисление собственных значений матрицы Методом Данилевского
- •6. Вычисление определённых интегралов. Метод симпсона (метод парабол)
- •7. Численное решение дифференциальных уравнений
- •7.1. Постановка задачи Коши
- •7.2. Метод Эйлера
- •7.3. Модифицированные методы Эйлера
- •7.4. Метод Рунге – Кутта
- •Решение краевой задачи для линейного дифференциального уравнения второго порядка методом прогонки
7.3. Модифицированные методы Эйлера
Первый модифицированный метод Эйлера. Суть этого метода состоит в следующем. Сначала вычисляются вспомогательные значения искомой функции в точкахс помощью формулы:
.
Затем находится значение правой части исходного уравнения в средней точке и затем полагается,.
Эти формулы являются расчетными формулами первого модифицированного метода Эйлера.
Первый модифицированный метод Эйлера является одношаговым методом
со вторым порядком точности.
Второй модифицированный метод Эйлера – Коши. Суть этого метода состоит в следующем. Сначала вычисляются вспомогательные значения
.
Затем приближения искомого решения находятся по формуле:
.
Эти формулы являются расчетными формулами второго модифицированного метода Эйлера – Коши.
Второй модифицированный метод Эйлера – Коши так же, как и первый, является одношаговым методом со вторым порядком точности.
Оценка погрешности. Приближенная оценка погрешности модифицированных методов Эйлера осуществляется как и для простого метода Эйлера с использованием правила Рунге. Так как оба модифицированных метода Эйлера имеют второй порядок точности, т. е. , то оценка погрешности примет вид:.
Используя правило Рунге, можно построить процедуру приближенного вычисления решения задачи Коши модифицированными методами Эйлера с заданной точностью . Нужно, начав вычисления с некоторого значения шага , последовательно уменьшать это значение в два раза, каждый раз вычисляя приближенное значение. Вычисления прекращаются тогда, когда будет выполнено условие: .
Приближенным решением будут значения .
Пример 2. Применим первый модифицированный метод Эйлера для решения задачи Коши , рассмотренной ранее в предыдущем примере. Возьмем шаг. Тогда, и расчетная формула первого модифицированного метода Эйлера имеет вид:, где
, ,
, .
Решение представим в виде таблицы 7.
Таблица 7
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
0,1 |
0,1 |
1,1 |
0,1836 |
1 |
0,2 |
1,1836 |
0,0850 |
0,3 |
1,2682 |
0,1590 |
2 |
0,4 |
1,3426 |
0,0747 |
0,5 |
1,4173 |
1,1424 |
3 |
0,6 |
1,4850 |
0,0677 |
0,7 |
1,5527 |
0,1302 |
4 |
0,8 |
1,6152 |
0,0625 |
0,9 |
1,6777 |
0,121 |
5 |
1 |
1,7362 |
|
|
|
|
Третий столбец таблицы 3 содержит приближенное решение . Сравнивая полученное приближенное решение с точным решением, представленном в таблице 2, видим, что погрешность составляет
.
Пример 3. Применим второй модифицированный метод Эйлера – Коши для решения задачи Коши , рассмотренной ранее в примерах 1 и 2. Так же, как и ранее, зададим шаг. Тогда
.
В соответствии с данными формулами получим расчетную формулу метода Эйлера – Коши:
,
где ,,,,.
Решение представим в виде таблицы 8.
Таблица 8
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
0,1 |
0,2 |
1,2 |
0,867 |
1 |
0,2 |
1,1867 |
0,0850 |
0,4 |
1,3566 |
0,767 |
2 |
0,4 |
1,3484 |
0,0755 |
0,6 |
1,4993 |
0,699 |
3 |
0,6 |
1,4938 |
0,0690 |
0,8 |
1,6180 |
0,651 |
4 |
0,8 |
1,6272 |
0,0645 |
1 |
1,7569 |
0,618 |
5 |
1 |
1,7542 |
|
|
|
|
Таблица 8 заполняется последовательно по строкам, сначала первая строка, затем вторая и т. д. Третий столбец таблицы 8 содержит приближенное решение .
Сравним полученное приближенное решение с точным решением, представленном в таблице 7. Видим, что погрешность составляет .