![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Численные методы
- •2012 Введение
- •1. Решение нелинейных уравнений
- •Постановка задачи
- •1.2. Основные этапы отыскания решения
- •1.3. Метод половинного деления
- •1.4. Метод простой итерации
- •Приведение уравнения к видудля обеспечения выполнения неравенства
- •1.5. Метод Ньютона (метод касательных)
- •1.6. Видоизменённый метод Ньютона
- •1.7. Метод хорд
- •1.8. Комбинированный метод
- •Решение систем линейных алгебраических уравнений
- •2.1. Постановка задачи
- •2.2. Метод простой итерации
- •2.3. Метод Зейделя
- •3. Решение систем нелинейных уравнений
- •3.1. Постановка задачи
- •3.2. Метод Ньютона для системы нелинейных уравнений
- •3.3. Метод итерации для нелинейной системы уравнений
- •3.4. Метод скорейшего спуска решения нелинейных систем
- •3.5. Метод скорейшего спуска для случая линейной системы
- •4. Приближение функций
- •4. 1. Метод наименьших квадратов
- •4.2. Построение интерполяционных многочленов
- •Многочлен Лагранжа
- •Многочлен Ньютона с конечными разностями
- •5. Вычисление собственных значений матрицы Методом Данилевского
- •6. Вычисление определённых интегралов. Метод симпсона (метод парабол)
- •7. Численное решение дифференциальных уравнений
- •7.1. Постановка задачи Коши
- •7.2. Метод Эйлера
- •7.3. Модифицированные методы Эйлера
- •7.4. Метод Рунге – Кутта
- •Решение краевой задачи для линейного дифференциального уравнения второго порядка методом прогонки
Приведение уравнения к видудля обеспечения выполнения неравенства
В общем
случае получить подходящую итерационную
форму возможно, проведя равносильное
преобразование исходного уравнения,
например, умножив его на коэффициент
:
.
Прибавив затем к обеим частям уравнения
и обозначив
можно потребовать выполнения достаточного
условия
.
Отсюда определяется необходимое значение
.
Так как условие
должно выполняться на всем отрезке
,
то для выбора
следует использовать наибольшее значение
на этом отрезке, т.е.
.
Это соотношение определяет диапазон
значений коэффициента
,
изменяющий величину
в пределах
.
Обычно
принимают
.
На
рис. 3–6 показаны четыре случая взаимного
расположения линий
и
и соответствующие итерационные процессы.
Рис. 3 и 4 соответствуют случаю
,
и итерационный процесс сходится. При
этом, если
(рис. 3), сходимость носит односторонний
характер, а если
(рис. 4), сходимость носит двусторонний,
колебательный характер. Рис. 5 и 6
соответствуют случаю
– итерационный процесс расходится. При
этом может быть односторонняя (рис. 5) и
двусторонняя (рис. 6) расходимость.
Рис. 3
Рис. 4
Рис. 5
Рис. 6
Погрешность метода. Оценка погрешности была доказана (5).
Критерий
окончания.
Из оценки (5) следует, что вычисления
надо продолжать до выполнения неравенство
.
Если же
,
то оценка упрощается:
.
Пример
1. Используем
метод простой итерации для решения
уравнения
с
точностью
.
Преобразуем уравнение к виду:
,
т.
е.
.
Нетрудно
убедиться, что корень уравнения находится
на отрезке
.
Вычислив значения
на
концах отрезка, получим:
,
а
,
т. е. функция на концах отрезка имеет
разные знаки,
поэтому внутри отрезка есть корень. Расположение корня наглядно иллюстрирует рис. 7.
Рис. 7
Подсчитаем
первую и вторую производные функции
:
.
Так
как
на отрезке
,
то производная
монотонно возрастает на этом отрезке
и принимает максимальное значение на
правом конце отрезка, т. е. в точке
.
Поэтому справедлива оценка:
.
Таким
образом, условие выполнено,
и можно воспользоваться критерием
окончания вычислений. В табл. 2 приведены
приближения, полученные по расчетной
формуле. В качестве начального приближения
выбрано значение
.
Таблица 2
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
1 |
0,8415 |
0,8861 |
0,8712 |
0,8774 |
0,8765 |
Критерий
окончания выполняется при
,
.
Сходимость двусторонняя, качественный
характер такой сходимости представлен
на рис. 4. Приближенное значение корня
с требуемой точностью
.
Пример
2.
Решить методом простой итерации уравнение
на отрезке
с точностью 0,025. Для решения исходное
уравнение приводится к виду
.
Для выбора величины
используем приведенную выше формулу
.
Тогда расчетная формула имеет вид
.
В качестве начального приближения можно
выбрать верхнюю границу заданного
отрезка
.
|
0 |
1 |
2 |
|
1 |
0,8 |
0,78 |
Так
как
,
то
.
1.5. Метод Ньютона (метод касательных)
Метод
Ньютона является наиболее эффективным
методом решения нелинейных уравнений.
Пусть корень
,
т. е.
.
Предполагаем, что функция
непрерывна на отрезке
и дважды непрерывно дифференцируема
на интервале
.
Положим
.
Проведем
касательную к графику функции
в точке
(рис. 8).
Рис. 8
Уравнение
касательной будет иметь вид:
.
Первое
пересечение получим, взяв абсциссу
точки пересечения этой касательной с
осью
,
т. е. положив
:
.
Аналогично
поступим с точкой
,
затем с точкой
и т. д., в результате получим последовательность
приближений
,
причем
.
(6)
Формула (6) является расчетной формулой метода Ньютона.
Метод
Ньютона можно рассматривать как частный
случай метода простых итераций, для
которого
.
Сходимость метода. Сходимость метода Ньютона устанавливает следующая теорема.
Теорема.
Пусть
– простой корень уравнения
и в некоторой окрестности этого корня
функция
дважды
непрерывно дифференцируема. Тогда
найдется такая малая
– окрестность корня
,
что при произвольном выборе начального
приближения
из
этой окрестности итерационная
последовательность, определенная по
формуле (6) не выходит за пределы этой
окрестности и справедлива оценка:
,
(7)
где
.
Сходимость метода Ньютона зависит от того, насколько близко к корню выбрано начальное приближение.
Выбор
начального приближения.
Пусть
– отрезок, содержащий корень. Если в
качестве начального приближения
выбрать
тот из концов отрезка, для которого
,
то итерации (6) сходятся, причем монотонно.
Рис. 8 соответствует случаю, когда в
качестве начального приближения был
выбран правый конец отрезка:
(Здесь
).
Погрешность метода. Оценка (7) неудобна для практического использования. На практике пользуются следующие оценки погрешности:
.
(8)
Критерий
окончания.
Оценка (8) позволяет сформулировать
следующий критерий окончания итераций
метода Ньютона. При заданной точности
вычисления нужно вести до тех пор, пока
не будет выполнено неравенство
.
Пример.
Вычислить методом Ньютона отрицательный
корень уравнения
с точностью до 0,0001. Проведя отделение
корня, можно убедиться, что корень
локализован на интервале
.
В этом интервале
и
.
Так как
и
,
то за начальное приближение можно
принять
.
|
|
|
|
-11 |
3453 |
-5183 |
0,6662 |
-10,3336 |
307,3 |
4276,8 |
0,0718 |
-10,2618 |
3,496 |
4185,9 |
0,0008 |
-10,261 |
0,1477 |
- |
- |
.
Поэтому
.