Лекция №9

кривые линии

общие определения и понятия

Все непрямые и не ломаные линии называются кривыми.

Способы задания кривой линии

Классификация кривых линий

Кривые линии могут быть закономерными, описанными уравнением, и незакономерными.

Плоские кривые линии

 алгебраическая кривая 2-го порядка, прямая пересекает ее не более чем в двух точках.

Парабола

Гипербола

Эллипс

Синусоида – трансцендентная плоская кривая линия, получающаяся в результате двойного равномерного движения точки – поступательного и возвратно-поступательного во взаимно перпендикулярном направлении.

Кривые третьего и четвертого порядка

Все прямые и кривые второго порядка (окружности, эллипсы, параболы, гиперболы) являются частными случаями кривых третьего порядка.

Кривые третьего порядка

В общем случае уравнение кривой линии третьего порядка можно записать так: х³+а₁у³+а₂х²у+а₃ху²+а₄х²+а₅у²+а₆ху+а₇х+а₈у+а₉=0.

1. Декартов лист

Уравнение в прямоугольных координатах: x³ + y³ — 3аху = 0.

2. Строфоида (от греч. stróphos — кручёная лента и éidos — вид)

кривые четвертого порядка

1. Кардиоида (от греч. kardía — сердце и éidos — вид)

Кривая, описываемая какой-либо точкой М окружности радиуса а, катящейся без скольжения по неподвижной окружности того же радиуса. Уравнение в прямоугольных координатах: (x² + y² — 2ах)² = 4a(x² + y²); в полярных координатах: r = 2а (1 + cos j).

2. Лемниската Бернулли (от лат. lemniscatus, буквально — украшенный лентами)

Кривая, имеющая форму восьмёрки, уравнение в прямоугольных координатах:(x² + y²)² — 2a² (x² — y²) =0,

3. Улитка Паскаля

Уравнение в прямоугольных координатах: (x² + y² — 2Rx)² — а²(х² + y²) = 0,

4. Розы

Кривые, полярное уравнение которых:r = a sin mj; если m — рациональное число, то розы — алгебраическая К. чётного порядка. При m нечётном роза состоит из m лепестков, при m чётном — из 2m лепестков; при m рациональном лепестки частично покрывают друг друга.

Общие Сведения о кривых линиях

Кривая линия как траектория движущейся точки должна быть непрерывной. Движущаяся точка в любом положении должна иметь определенное направление движения. Это направление указывает прямая (касательная), проходящая через рассматриваемую точку.

Длина отрезка кривой линии определяется в общем случае как сумма длин отрезков вписанной в нее ломаной линии, с заданной точностью передающей форму кривой.

В практике конструирования линий и поверхностей широко используются обводы. Это кривые, составленные из дуг различных кривых, определенных парами смежных точек.

Обводом ряда точек плоскости является плоская кривая, пространства – пространственная.

Точки стыка дуг называются узлами.

Обвод, заданный координатами своих точек, называется дискретным.

Обвод называется гладким, если дуги обвода в узлах имеют общие касательные