1) Прямая задача

n

max L (1) = ∑ c( j)* x (j) , при ограничениях

j= 1

x (j) ≥ 0 ( мир решений – реален ).

n

∑ a(i ,j ) * x (i) ≤ b ( i ) ( i= 1,2, …, m )

j= 1

2) двойственная задача имеет целевую функцию

n

min L (2) = ∑ b( j)* y(j) при условиях:

j= 1

m

∑ a(i ,j ) * y (i) ≥ c ( i ) ( i= 1,2, …, m ) , при ограничениях

j= 1

y (j) ≥ 0 -цена единицы ресурса ( мир цен – реален) ;

для выпуска единицы j– го вида продукции необходимо по нормамa(i,j) единицi- го ресурса

Теоремы линейного программирования:

Линейная система, в которой число неизвестных равно числу уравнений, имеет одно решение

Если число неизвестных меньше числа уравнений , то решения нет и система несовместна

1)Если целевая функция принимает максимальное значение в некоторой точке допустимого множества R-1 , то она принимает это значение в крайней точке реального пространстваR-1.

Если целевая функция принимает максимальное значение более, чем в одной крайней точке, то она принимает это значение в любой их выпуклой комбинации.

2)Если задача линейного планирования содержит nпеременных иm ограничений

( n ≥ m ) в форме неравенств , не считая ограничений неотрицательности

x ( j ) ≥ 0, то в оптимальное решение входит не более чемmненулевых компонент вектора x .

При векторной форме записи ограничения задачи ЛП записывают:

А (1) * Х (1) + . . . + А( n) Х(n) ≤b.

Поскольку А(1) ,. . ., А( n) - m – мерные вектора ( n ≥ m ) , то среди них всегда найдётся m линейно независимых векторов, образующих базис m – мерного пространства и содержащих конус , образованный векторами А(1) ,. . ., А( n) .

Метод решения задач линейного программирования

1. Найти вершины области допустимых решений как точки пересечения ограничений.

2. Определить последовательно значения целевой функции в вершинах.

3. Вершина, в которой целевая функция приобретает максимальное значение, является оптимальное решение.

4. Координаты оптимальной вершины есть оптимальные значения искомых переменных

Симплекс метод - -метод последовательного улучшения плана (метод Данцига)

Алгоритм симплекс- метода:

1)Находят начальный базис и связное с ним допустимое решение.

2)Пошаговое вычисление целевой функции, в направлении непрерывного возрастания её.

Задачи лп:

1.

Требуется найти план выпуска продуктов: А,В.С. Д.

Ресурсы:

-Трудовые

-материальные

-финансовые.

i– тый ресурс для производства каждогоj– го продукта имеет норму расхода а (i,j).

Количество каждлго вида ресурса в наличии обозначают b(i)

Таблица 1

Ресурсы Продукты

А, В. С. Д. Наличие в

Удельные нормы расхода запасах

-Трудовые 6 4 2 1 800

-материальные 7 9 11 5 2 000

-финансовые 3 4 5 6 12 000