- •Методы решения задач
- •Методы решения задач
- •1.Управление запасами Когда заказать? Сколько заказать? Сколько иметь в резерве?
- •Модели определения оптимального размеразакупочной партии:
- •Затр. Хранения
- •Общие затраты на хранение , заказ и закупку составят
- •2.Линейное программирование Постановка задачи
- •1) Прямая задача
- •Теоремы линейного программирования:
- •Метод решения задач линейного программирования
- •Задачи лп:
- •Ограничения
- •Оптимальное решение – координаты вершины области допустимых решений
- •Можно вычислить 286 комбинаций возможных вложений
Ограничения
Нижнее 1 - 3 - -
Верхнее 12 2 - - -
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
План х1 х2 х3 х4
Обозначим :
F– ресурсы
R– результат их применения
При заданных зависимостях результата и потребных ресурсов от количества выпускаемой продукции R=R(x(j)) ,F=F(x(j)) обе постановки распределения ресурсов в сокращённой форме:
L(1) =R(x(j)) →maxL(2) =F(x(j)) →min
F(x(j)) ≤F*F(x(j)) ≤F*
R(x(j) ≥R*
где F* ,R* заданные плановые величины ресурсов и результата
Пусть для продукции А, В, С, Д прибыль от реализации единицы продукции каждого вида составляет 5 ,6 , 7 и 8 д.е. соотвественно, а суммарная прибыль от всего производства должна быть не менее 3000 д.е.
Тогда математическая модель задачи с учётом данных таблицы 1 :
мax L(1) = 5x(1) + 6x(2) + 7x(3) + 8 x(4)
6x (1) + 4x(2) + 2x(3) + x(4) ≤ 800
7х(1) + 9х(2) + 11х(3) + 5 х(4) ≤ 2000
3х(1) + 4х(2) + 5х(3) + 6х(4) ≤ 12000
1 ≤ х(1) ≤ 12, х(2) ≤ 2 , х(3) ≤ 3 , х(4) ≥ 0.
Мах L(1) = 3162
Задача 2.Рассмотрим: х2
х1 + 4х2 ≤ 14 |
3х1 + 4х2 ≤ 18 |
6х1 + 2х2 ≤ 27 |
х1 , х2 ≥ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
!,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,х1
Оптимальное решение – координаты вершины области допустимых решений
Нелинейное программирование
решаются методом кусочно – линейной аппроксимации, или метода множителей Лагранжа .Общего метода решения нет.
Задача
Надо изготовить 180 изделий
2
На первом предприятии затраты на х изделий равны [ 4* х(1) + х(1) ]
2
На втором [ 8 х(2) + 6 х (2) ]
Сколько изделий изготовить на каждом предприятии , чтобы общие затраты были минимальны?
Общая постановка
Maxf(x(1),x(2), …,x(n) ); (1)
g(i) [x(1), x(2), …, x(n) ] = b(i) , (i = 1,…,m) . (2)
Введём набор переменных λ(1) , λ(2), ,…, λ( m) - множители Лагранжа.
Составляем функцию Лагранжа
F(x(1),x(2), …,x(n), λ(1) , λ(2), ,…, λ(m) ) =
(3)
= f ( x(1), x(2), …, x(n) + ∑ λ(i) * [ b (i) – g (i) [ x(1), x(2), …, x(n)]
Находим частные производные
∂ F∂F
---------- (j= 1,…,n) ; ------- (i= 1,…,m)
∂ x(j) ∂ λ(i)
Рассматриваем систему n+mуравнений
∂ F m ∂ g(i)
--------- = ∑ λ(i) * --------
∂ x (j ) i ∂ x(i) (4)
∂ F
------ = b (i) – g (i) [ x(1), x(2), …, x(n)]
∂ λ(i)
Продолжение решения задачи:
2 2
Minf= 4x(1) +x(1) + 8x(2) +x(2) (5)
x(1) +x(2) = 180 (6)
x(1) ,x(2) ≥ 0 (7)
Функция Лагранжа для этого примера:
2 2
F (x1,x2, λ) = 4x(1) + x(1) + 8 x(2) + x(2) + λ (180 – x (1) – x (2) )
Вычисляем частные производные по х(1) , х(2), λ и приравниваем их «0».
∂ F
-------- = 4 + 2х(1) – λ =0
∂ x(1)
∂ F
--------- = 8 + 2х (2) – λ =0 }
∂ x(2 )
∂ F
------ = 180 – x(1) –x(2) = 0, отсюда (8)
∂ λ
4 + 2х(1) = 8 +2х(2) или х(1) + х(2), решая совместно (8) получаем
х(1)опт = 91, х(2) опт = 89
Используя вторые частные производные, убеждаемся , что в этой точке функция f имеет минимум
Задание :
Надо изготовить 200 изделий
2
На первом предприятии затраты на х изделий раны 4* х(1)
2
На втором 20 х(2) + 6 х (2) )
Сколько изделий изготовить на каждом предприятии , чтобы общие затраты были минимальны?
Имитационное моделирование
Требования к имитационной модели:
-целенаправленность , цель – решение задачи для которого есть критерий оптимальности, введены ограничения на переменные и сформулированы зависимости между переменными ,
-проста и понятна пользователю,
-гарантирует отсутствие абсурдных ответов,
-полна по возможностям решения главной задачи,
-позволяет обновлять данные,
-допускает постепенное усложнение или изменение последовательности решения.
Этапы процесса моделирования:
Описание проблемы
Анализ системы – установление границ, ограничений и показателей эффективности системы.
Конструирование модели – логической схемы.
Отбор данных для построения модели.
Описание модели на языке EXEL.
Оценка адекватности модели реальной системе.
Планирование эксперимента.
Серия испытаний – алгоритм проведения расчётов.
Имитация и оценка чувствительности.
Выводы о результатах моделирования
ВЫБОР КРИТЕРИЯ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЁННОСТИ
Задача:
Пусть предприятие располагает финансовыми средствами для
строительства своих филиалов
Сколько филиалов построить в районе?
2,3,4 или 5?
Составляем смету затрат на строительство :
Мощность филиала может в зависимости от спроса использоваться на R%, однако точных данных о использовании мощности в будущем не имеется
Определяем чистую прибыль «Приб» каждого варианта в усл. единицах и построим таблицу
Среда → спрос -цена
R(1)=0 R=20% R=40% R=60% R=80% R(6)=100%
с f=2 -121 62 245 245 245 245 п
т f=3 -168 15 200 380 380 380 р
р f=4 -216 -35 150 332 515 515 и
а f=5 -300 -85 101 284 467 650 б
т ы
е ли
г
и
я
Математическая модель в условиях неопределённости можно сформулировать:
Имеется матрица размерностью m * n . Элемент матрицы рассматриваем как полезность результата R(j) при использовании стратегии f (i) выбора менеджером , который имеет право по известному ему критерию и факторам влияющим на условия выбора сделать этот выбор .
Выбор стратегии – прерогатива менеджера и его предположения о вероятном состоянии среды называют субъективными вероятностями
КРИТЕРИЙ ВАЛЬДА -
- самый осторожный вариант. Этот критерий оптимизирует полезность(прибыль) в предположении, что среда находится в самом невыгодном для предприятия состоянии. Решающее правило имеет вид:
max min u [ f(i) , R (k) ]
f(i) R (k)
1.выбираем наименьший риск по значению убытка
2.выбираем вариант с наименьшими убытками
f=2 (!) убыток = - 121
По критерию Вальда выбирают стратегию , которая даёт гарантированный выигрыш при наихудшем варианте состояния среды.
КРИТЕРИЙ ЛАПЛАСА
Считаем будущее состояние равновероятным, тогда мощность спроса « K (k)» (k = 1,2, …6) равновероятна и равна 1/6. В этих условиях для соответствующих « f « прибыль составит
f=2 153 (суммируем данные строки таблицы и делим на 6 )
f=3 197
f=4 210 (!) -Лаплас выбрал бы этот вариант
f=5 190
1
max ---- ∑ u {f(i),R(k)}
f(i) К 1
КРИТЕРИЙ ГУРВИЦА
Введём коэффициент оптимизма @
Пусть в строке а - самое маленькое число,
А - самое большое число
Вычислим для каждой строки таблицы Н:
Н= @*A + (1-@)*a
и выбираем строку для которой Н=max
Положим @=0.1, либо 0.2, либо 0.5, … 0.8,либо 0.9
Для каждого @ вычисляем Н
@ =0.1 @=0.2 @=0.5 @=0.8 @=0.9
f =2 -84 ← -47 ! 62 171 206
f =3 -113 -59 105 270 325
f =4 -143 -59 149 370 442
f =5 -172 -81 193 467 650!←
законченный пессимист абсолютный оптимист
КРИТЕРИЙ СЭВИДЖА
Сожаление - величина равная изменению полезности результата при данном состоянии среды относительно наилучшего возможного решения.
Для каждого столбца «R» находим наиболее благоприятный случай ( максимальный элемент) и его вычитаем из всех элементов этого столбца.
Строим матрицу сожалений и искомую стратегию f(i),
Max min
f(i), R(J)
Этот критерий минимизирует возможные потери при условии, что состояние среды наихудшим образом отличается от предполагаемого
R=0 R=20 R=40 R=60 R=80 R=100
P=2 0 0 0 -135 -270 -405
P=3 -48 -48 -48 0 -135 -270
P=4 -95 -95 -95 -47 0 -135
P=5 -143 -143 -143 -95 -48 0
Минимальные значения сожалений
P=2 -405
P=3 -270
P=4 -135 ←
P=% -143
Выбор критерия - высшая форма свободы у принимающего экономические решения
Критерий выбирается на самом высоком уровне управления
Критерий Вальда max min (P,R)
p r
Критерий Гурвица max [@ max (P,R)+(1-@)min(P,R)]
p r r
Критерий Лапласа
max 1/K sum (P,R)
r
Критерий Сэвиджа max min [(P,R) - max(P,R)]
s r
Динамическое программирование- направленный последовательный перебор вариантов, приводящий к глобальному максимуму .
Принцип Беллмана, процессы марковские:
Каковы бы ни были начальное состояние и начальная стратегия , последующие
решения должны быть оптимальны по отношению к состоянию предыдущего шага,
получившегося в результате предыдущего решения .
Оптимальное управление системой на каждом шаге не зависит от предыстории
процесса Такие системы называются Марковскими.
Задача
4 торговые зоны
Капиталовложения: складские помещения, магазины. торговый персонал ,реклама.
Вложения Прибыль по торговым зонам
« А» млн руб 1 2 3 4
-----------------------------------------------------------------------------------------
0 0 0 0 0
1 0,28 0,25 0.15 0.20
2 0,45 0,41 0.25 0,33
3 0.65 0.55 0.40 0.42
4 0.78 0.65 0.50 0.48
5 0.90 0.75 0.62 0.53
6 1.02 0.80 0.73 0.56
7 1.13 0.85 0.82 0.58
8 1.23 0.88 0.90 0.60
9 1.32 0.90 0.96 0.60
10 1.38 0.90 1.00 0.60