- •Глава 12. Операторный метод расчета переходных процессов
- •12.1. Введение к операторному методу
- •12.2. Преобразование Карсона-Хевисайда
- •12.3. Преобразование Лапласа
- •12.4. Изображение производной и интеграла
- •12.4.1. Изображение производной.
- •12.4.2. Изображение интеграла.
- •12.4.3. Изображение производных высшего порядка.
- •12.5. Изображение простейших функций по Лапласу
- •12.6. Закон Ома в операторной форме
- •12.7. Законы Кирхгофа в операторной форме
- •12.8. Операторное сопротивление и операторная проводимость
- •12.9. Методы составления уравнений в операторной форме
- •12.10. Методы перехода от изображений к функциям времени
12.4.3. Изображение производных высшего порядка.
Изображение второй производной:
(12.8)
Пусть не только рассматриваемая функция , но и все ее производные до -го порядка включительно равны нулю при Тогда для изображения производной -го порядка имеем:
(12.9)
Пусть нам известны изображения нескольких функций:
Тогда из основных свойств определенных интегралов имеем:
(12.10)
т.е. изображение суммы функций равно сумме изображений слагаемых.
Кроме того, из основных свойств определенных интегралов при имеем:
(12.11)
т.е. при умножении функции на постоянный коэффициент ее изображение должно быть умножено на этот коэффициент.
12.5. Изображение простейших функций по Лапласу
Таблица 1
№ |
Оригинал |
Изображение |
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
5 |
|
|
6 |
|
|
7 |
1- |
|
8 |
|
|
9 |
|
|
10 |
|
|
11 |
|
|
12 |
|
|
13 |
|
|
14 |
|
|
12.6. Закон Ома в операторной форме
Рассмотрим цепь с последовательным соединением Пусть эта цепь включается под действие напряжения
Тогда имеем:
Рис. 12.1 (12.12)
Заменим в уравнении (12.12) на
: (12.13)
(12.14)
Так как то уравнение (12.14) в классической форме запишем в операторной форме с учетом (12.5) и (12.7):
откуда (12.15)
или (12.16)
Полученное выражение называется законом Ома в операторной форме при ненулевых начальных условиях; называется операторным сопротивлением цепи с последовательным соединением Структура его аналогична структуре комплекса сопротивления той же цепи переменному току, если заменить на р:
;
Слагаемое в выражении (12.15) представляет собой внутреннюю ЭДС, обусловленную запасом энергии в магнитном поле индуктивности L вследствие протекания через нее тока непосредственно до коммутации.
Слагаемое представляет собой внутреннюю ЭДС, обусловленную запасом энергии в электрическом поле конденсатора вследствие наличия на нем напряжения непосредственно до коммутации.
Для нулевых начальных условиях, т.е. при выражение (12.16) примет вид:
(12.17)
Выражение (12.17) называется законом Ома в операторной форме при нулевых начальных условиях.