12.3. Преобразование Лапласа

Наряду с преобразованием Карсона-Хевисайда в научной и учебной литературе широко пользуются преобразованием Лапласа. Оно отличается отсутствием множителя р перед интегралом (12.1), т.е.

(12.2)

По Карсону-Хевисайду изображение и оригинал имеют одинаковую размерность, а изображение постоянной А равно самой постоянной (в этом преимущество). По Лапласу размерность оригинала не равна размерности изображения – (размерность изображения равна размерности оригинала, умноженной на секунду), а изображение постоянной А равно

В последующем мы будем пользоваться преобразованием по Лапласу.

12.4. Изображение производной и интеграла

12.4.1. Изображение производной.

Предположим, что функции соответствует изображение , т.е. Требуется определить изображение первой производной зная, что значение функции при равно .

Подвергнем функцию преобразованию Лапласа:

Интегрирование произведем по частям.

Обозначим: ; тогда:

Из курса математики известно:

Следовательно,

;

;

Таким образом,

(12.3)

Если то (12.4)

Найдем изображение напряжения на индуктивности

;

в соответствии с (12.3):

тогда

(12.5)

может быть и положительной и отрицательной величиной: положительная величина, когда направление тока совпадает с произвольно выбранным положительным направлением послекоммутационного тока в индуктивности .

Если то согласно с (12.4)

.

12.4.2. Изображение интеграла.

Требуется определить изображение функции

если

С этой целью подвергнем функцию преобразованию Лапласа:

Примем ;

тогда

и возьмем интеграл по частям:

Первое слагаемое правой части при подстановке и верхнего и нижнего пределов дает нуль. При подстановке верхнего предела нуль получается за счет ранее наложенного ограничения на функцию (см. п.12.2), а именно, что функция если и растет с увеличением , то все же медленнее, чем растет функция где а – действительная часть комплекса р. При подстановке нижнего предела нуль получается за счет того, что обращается в нуль .

Следовательно, если то

(12.6)

Выведенные соотношения для производной и интеграла являются основными, и из них следует что р можно рассматривать как оператор, умножая на который изображение данной функции, мы получим изображение ее производной, если и деля на который изображение данной функции, мы получим изображение ее интеграла.

Найдем изображение напряжения на конденсаторе. Ток конденсатора откуда В такой форме записи не указаны пределы интегрирования по времени. Более полной формой записи будет:

Здесь учтено, что к моменту времени напряжение на конденсаторе определено не только током, протекавшим через С в интервале времени от 0 до , но и тем напряжением , которое на нем было при

Следовательно, в соответствии с (12.6) имеем:

тогда (12.7)

так как изображение постоянной величины по Лапласу

может быть и положительной и отрицательной величиной; положительная величина, если направление совпадает с произвольно выбранным положительным направлением послекоммутационного тока через конденсатор.