§6. Ряды Тейлора

Пусть функция f(x) имеет в окрестности точки производные любого порядка. Поставим ей в соответствие степенной ряд:



(1)

Этот ряд называется рядом Тейлора функции f(x) в точке .

Если , то ряд Тейлора имеет вид:

(2)

и называется рядом Маклорена.

Радиус сходимости степенного ряда (1) может быть как равным 0, так и отличным от 0, причём в последнем случае сумма S(x) ряда Тейлора может не совпадать с f(x).

Необходимо выяснить вопрос о том, когда в соотношении (1) можно поставить знак равенства, то есть когда ряд Тейлора сходится к функции, для которой он составлен.

Если S(x)= f(x) на , то говорят, что функция f(x) разложима в ряд Тейлора в окрестности точки .

Обратимся к следующей теореме.

Теорема 23:

Для того, чтобы бесконечно дифференцируемая в окрестности точки функция f(x) разлагалась в ряд Тейлора в окрестности этой точки, необходимо и достаточно, что бы для

Частичные суммы ряда (1) представляют собой многочлены Тейлора функцииf(x)точке . Выпишем последовательность частичных сумм

;

;

;

…………………………………………….

Если ряд сходится к функции , справедливо равенство

Откуда следует, что

Обратим внимание на то, что в формуле (1) участвует остаточный член ряда Тейлора, а не остаточный член формулы Тейлора. (В общем случае они различны).

Остаток формулы Тейлора представим в одном из следующих видов:

Форма Лагранжа:

где .

Форма Пеано:

.

На практике часто используется следующий достаточный признак разложимости функции в ряд Тейлора:

Теорема 24:

Если для все производные функции ограничены одной и той же константой M, то ряд Тейлора (1) сходится к функции в интервале .

Доказательство:

Возьмём остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа:

При

Числовой ряд – сходится так как

Следовательно, на основании необходимого признака сходимости ряда:

при .

Определение Действительную функцию действительного переменного называют аналитической в точке, если она определена в некоторой окрестности этой точки, и её можно представить некоторым сходящимся степенным рядом:

Такое представление аналитической функции называют её разложением в степенной ряд в окрестности точки .

Следующая теорема показывает, что разложение аналитической функции в степенной ряд единственно и этим рядом является её ряд Тейлора.

Теорема. Если в некоторой окрестности точки х для функции справедливо разложение

то функция бесконечно дифференцируема в этой окрестности и

Доказательство:

Пусть - некоторое разложение функции в степенной ряд в окрестноститочкииR радиус сходимости этого ряда. Тогда . Согласно свойствам степенного ряда этот ряд можно почленно дифференцировать в интервале сходимостилюбое число раз. Поэтому дляимеем

То есть

………………………………………………………………..

Полагая в этих равенствах получаем:

……………………..

…………………………..

Т.е.

Таким образом, аналитическую в точке функцию можно определить как функцию, которая в некоторой окрестности точки является суммой своего ряда Тейлора.

§7 Разложение элементарных функций в ряд Маклорена

Найдём разложение основных элементарных функций в ряд Маклорена:

так как и , при, гдеА - сколь угодно большое положительное число, следовательно функция - разложима в ряд Маклорена, сходящийся к ней при :

тогда

(1)

Где

2.

Используя разложение (1), определение и свойство суммы сходящихся рядов имеем:

, (2)

Где .

3.

на основании теоремы о почленном дифференцировании степенного ряда получаем:

(3)

Где .

4.

…………………………………

Т.к. , для, то функция разложима в ряд Маклорена

Окончательно получаем

(4)

5.

Воспользуемся соотношением .

(5)

6.

Рассмотрим ряд:

При это убывающая геометрическая прогрессия, ее сумма.

(6)

Для .

7., где R.

Заметим, что функция и ее производная удовлетворяют дифференциальному уравнению

(7)

с начальными условиями: f(0)=1;

Решение задачи Коши для дифференциального уравнения единственно, следовательно, если найдётся степенной ряд

удовлетворяющий уравнению, то он и будет искомым разложением заданной функции.

Подставим ряд и его производную в соотношение (7):

Приведем подобные члены

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях:

,

………………………….

Коэффициент , остальные коэффициенты находим подставляя найденное выражение в нижнюю строчку, т.е.

………………………………………..

…………………………………………..

Таким образом

.

Ряд, стоящий в правой части равенства, называется биномиальным. При все коэффициенты этого ряда, начиная с(n+1) обращаются в нуль и степенной ряд преобразуется в бином Ньютона