§5 Знакочередующиеся ряды

Определение. Числовой ряд, у которого два соседних члена имеют противоположные знаки, называется знакочередующимся рядом.

Такой ряд можно представить в виде

(1)

Для знакочередующихся рядов имеется достаточный признак, часто используемый на практике

Теорема. (Признак Лейбница). Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине и предел общего члена равен нулю, то ряд (1) сходится.

Доказательство. Из условия теоремы следует

(2)

(3)

Рассмотрим подпоследовательность частичных сумм с четным числом слагаемых

.

Представим эту сумму в виде

. (4)

(Эта частичная сумма содержит конечное число слагаемых и, следовательно, можно группировать члены). В выражении (4) каждая скобка неотрицательная (в силу условий (2)), поэтому последовательность частичных сумм с четными номерами – неубывающая.

Эту же подпоследовательность можно представить по-другому.

Из последнего выражения следует, что

.

Мы получили, что неубывающая подпоследовательность ограничена сверху, следовательно, она имеет предел. Введем обозначение

. (5)

Теперь рассмотрим подпоследовательность частичных сумм ряда (1) с нечетным числом слагаемых

.

Тогда

. (6)

Мы получили, что две подпоследовательности (с четным и нечетным числом слагаемых) последовательности частичных сумм ряда (1) сходятся к одному числу S, следовательно, , что означает, что ряд сходится.

Следствие 1. Если знакочередующийся ряд (1) удовлетворяет условиям теоремы Лейбница, то сумма этого ряда удовлетворяет условиям:

В процессе доказательства теоремы Лейбница были получены оценки

Перейдем в этом двойном неравенстве к пределу, с учетом соотношения (5), получим

,

что и требовалось доказать.

Следствие 2. Если знакочередующийся ряд (1) удовлетворяет условиям теоремы Лейбница, то абсолютная величина суммы любого остатка не превосходит первого отброшенного члена, т.е.

(7)

где .

Доказательство. Рассмотрим остаток ряда (1) после номера 2n

Согласно следствию 1

. (8)

Теперь рассмотрим остаток ряда (1) после номера 2n-1

Тогда из следствия 1 получим

. (9)

Анализируя неравенства (8) и (9) приходим к выводу о справедливости неравенства (7).

Пример. Исследовать на сходимость ряд .

1. Ряд знакочередующийся;

2. Члены ряда убывают по абсолютной величине;

3. . (для раскрытия неопределенности применили правило Лопиталя).

Таким образом, исследуемый ряд сходится по признаку Лейбница.

§ 6 Знакопеременные ряды

Рассмотрим знакопеременные ряды, т.е. ряды у которых члены ряда имеют различные знаки. Запишем такой ряд в виде

, (1)

где - общий член ряда (вместе со знаком).

Общий признак сходимости числовых рядов.

Теорема (Критерий Коши) Для того, чтобы знакопеременный числовой ряд (1) сходился необходимо и достаточно, чтобы для любого существовал номер, такой, что для всехвыполнялось неравенство

для всех натуральных.

Доказательство.

Применим критерий Коши сходимости числовой последовательности для последовательности частичных сумм ряда (1). Возьмем произвольное , для него существует номер, выбереми, причемтогда выполняется неравенство

,

что и требовалось доказать.

Абсолютная и относительная сходимость.

Определение. Числовой ряд (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда (1), т.е. ряд (2)

(2)

Терема. Всякий абсолютно сходящийся ряд сходится.

Доказательство. Пусть ряд (1) сходится абсолютно. Это будет означать, что для него выполнен критерий Коши сходимости ряда, т.е. для существует номер, такой, что для всехвыполнялось неравенство

для всех натуральных. Используем свойства абсолютной величины числа, получаем

.

Приходим к выводу, что для знакопеременного ряда (1) выполнен критерий Коши, следовательно, он сходится.

Определение. Если ряд (1) сходится, но не абсолютно, он называется условно сходящимся рядом.

Перестановка членов в сходящихся рядах.

Теорема (о перестановке членов ряда).

Если ряд

(3)

с положительными членами сходится, то после произвольной перестановки членов ряда, полученный ряд будет также сходиться, причем к той же сумме.

Доказательство. Пусть S – это сумма сходящегося ряда (1), т.е. , гдечастичные суммы ряда (1). Переставим произвольным образом члены ряда (1), получим ряд

(4)

Обозначим ю частичную сумму ряда (4).

. (5)

Вычислим наибольший номер из членов ряда (4), входящих в частичную сумму (5).. И рассмотрим- частичную сумму ряда (3) с номером. Очевидно, что все члены ряда из частичной суммы (5) будут содержаться в.

Тогда . В силу того, что члены ряда (3) положительны, то любая его частичная сумма, в том числе и, не превосходит суммы ряда, таким образом, приходим к неравенству

. (6)

Мы получили, что неубывающая последовательность ограничена сверху - значит, она имеет предел. Пусть

.

Из неравенства (6) после предельного перехода будет следовать, что . Получается, что при перестановке членов ряда сумма не увеличивается, но она не может и уменьшиться, т.к. при обратной перестановке сумма бы увеличивалась, что противоречит полученному результату. Тогда

.

Теорема доказана.

Теорема (о перестановке членов абсолютно сходящегося ряда).

Если ряд

(7)

сходится абсолютно, то любой ряд

, (8)

полученный из ряда (7) перестановкой его членов, также абсолютно сходится и его сумма равна сумме исходного ряда.

Доказательство.

Обозначим . В силу абсолютной сходимости ряда (7) для членов этого ряда выполняется утверждение критерия Коши:

(9)

Так как из определения суммы ряда следует, что

(10)

Обозначим , тогда дляодновременно будут выполняться неравенства (9) и (10). Выберем фиксированный номер, тогда

(11)

И

(12)

Рассмотрим частичные суммы ряда (8). Выберем такую частичную сумму , чтобы в нее входили все члены ряда. Возьмеми оценим разность

.

Имеем

С учетом неравенства (12), получаем

.

Разность состоит из членов ряда (7) и номерможно выбрать так, чтобы выполнялось неравенство (9), тогда

.

В итоге

.

Ранее было доказано, что ряд, полученный из сходящегося ряда с положительными членами, путем перестановки членов этого ряда, также сходится. Ряд

является таким рядом, следовательно, ряд сходится абсолютно. Теорема доказана.