Глава 14 Числовые ряды с действительными членами
§1 Основные понятия и простейшие свойства рядов
Пусть имеется
бесконечная последовательность чисел
,
.
Их сумма
или в сокращенной записи
(1)
называется числовым рядом.
Примеры:
Выписать первые 4 члена ряда:
=
2.Подобрать один из возможных вариантов формулы общего члена:
Числители дробей являются первыми четными числами: 2,4,6,8…
Можно предположить, что числитель дроби, соответствующий k-му члену данного ряда, будет k-е по счету четное число: 2k.
Знаменатели дробей являются первыми четырьмя членами арифметической прогрессии с разностью, равной 3, и первым членом равным 5.
Это возможный вариант, но не единственный.
Числа
называются членами ряда, а выражения
называются частичными суммами ряда (1). Очевидно, что частичные суммы образуют числовую последовательность.
Определение. Если существует конечный предел последовательности частичных сумм
, (2)
то он называется суммой ряда (1).
Если S, конечное число, то ряд называется сходящимся. Если же предел (2) бесконечен или не существует, то ряд называется расходящимся.
В качестве примера рассмотрим сумму бесконечной геометрической прогрессии
Из элементарной
математики известна формула суммы n
членов прогрессии (n-ая
частичная сумма в нашей терминологии),
полученная в предположении, что
.
Если
,
то
и ряд будет сходящимся.
Если
,
то
,
соответственно ряд будет расходящимся.
Если
,
то
.
Наконец, если
,
то частичная сумма с четного числа
слагаемых
,
а частичная сумма
нечетного числа слагаемых будет равна
.
Последовательность таких частичных
сумм предела не имеет и ряд в этом случае
также расходящийся.
Примеры:
Найти сумму ряда:
1.
Данный ряд
представляет собой сумму бесконечно
убывающей геометрической прогрессии
с первым членом
и знаменателем
,
а значит, сумму его можно найти по формуле
суммы бесконечно убывающей геометрической
прогрессии
.
2.
Разложим общий член ряда на простые дроби:
,
(можно воспользоваться методом
неопределенных коэффициентов), вычислим
n-ю
частичную сумму ряда:
тогда
по определению суммы ряда
.
3.
Вычислим n-ю частичную сумму ряда:
,
тогда
.
Простейшие свойства сходящихся рядов.
Пусть ряд
(3)
сходится и его сумма равна S, тогда ряд
(4)
также сходится и
его сумма равна
.
Доказательство: Рассмотрим частичные суммы рядов (3) и (4). Имеем
Так как ряд (3) сходится, то существует конечный предел последовательности его частичных сумм равный S, тогда
Последнее равенства и доказывает свойство.
2. Пусть имеются два сходящихся ряда:
(5)
и
(6)
Пусть А и В – суммы этих рядов. Тогда ряд
также сходится и
его сумма равна
.
Доказательство
Рассмотрим частичные суммы последнего ряда
Найдем предел последовательности частичных сумм
При нахождении пределов мы воспользовались сходимостью рядов (5) и (6).
3. Пусть ряд
сходится и его
сумма равна S.
Пусть
-
возрастающая последовательность
натуральных чисел. Тогда ряд
(7)
сходится и его сумма также равна S.
Доказательство. Рассмотрим частичную сумму ряда (7)
,
где за
обозначена частичная сумма ряда (1).
Нетрудно заметить, что последовательность
частичных сумм ряда (7) является
подпоследовательностью последовательности
частичных сумм ряда (1). Так как ряд (1)
сходится (а по определению последовательность
частичных сумм имеет конечный предел),
то подпоследовательность сходящейся
последовательности также будет сходиться,
причем к тому же пределу, а значит и ряд
(7) также сходится и его сумма равнаS.
4. Определение Числовой ряд
,
полученный из ряда (1) путем отбрасывания первых n членов, называется остатком ряда (1). Принято обозначение:
(8)
Имеет место следующее утверждение:
Если ряд (1) сходится, то сходится любой из его остатков.
Справедливо и обратное утверждение
Если сходится хотя бы один из остатков ряда, то сходится и сам ряд.
Обозначим
частичную сумму ряда (8), ее можно
представить в виде
где
- частичные суммы ряда (1). Можно записать
(9)
Зафиксируем число
n.
Если ряд (1) сходится, то для любого n,
существует предел
,
тогда из равенства (9) будет следовать
существование предела
,
что означает сходимость остатка (8).
Используя равенство (9) и проводя аналогичные рассуждения, можно доказать обратное утверждение.
Докажем еще одно свойство остатков сходящегося ряда.
Если ряд (1)сходится, то последовательность сумм его остатков стремится к нулю, т.е.
Доказательство. В следствие сходимости ряда (1), приходим к равенству
,
(10)
где за S
обозначена сумма ряда (1). По определению
.
Переходим к пределу в равенстве (10)
.
Необходимый признак сходимости числового ряда.
Теорема. Если ряд (1) сходится, то
(11)
Доказательство: Пусть S – сумма ряда. Выразим общий член ряда
В последнем равенстве перейдем к пределу.
Теорема доказана.
Замечание. Из стремления общего члена к нулю еще не следует сходимость ряда.
Примеры.
Рассмотрим ряд ([2], часть 2, с. 247)
(12)
Найдем предел общего члена
.
Необходимое условие выполнено. Найдем частичную сумму ряда
Найдем предел последовательности частичных сумм
ряд расходится.
Исследовать на сходимость ряд
.
Вычислим предел общего члена ряда
ряд расходится.
Исследовать на сходимость ряд
Следовательно, ряд расходится.
Рассмотрим гармонический ряд
,
ряд может оказаться как сходящимся,
так и расходящимся.
Пусть гармонический ряд сходится и сумма его равна S.
Тогда
,
но с другой стороны:
т.е. наше предположение
неверно, ряд
расходится.