Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Балтийский федеральный университет им. И.Канта

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

matan_3_sem

.pdf

Скачиваний:

288

Добавлен:

10.02.2015

Размер:

17.04 Mб

Скачать

☆

1 / 81 2 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

376

Глава 14

Числовые ряды с действительными членами

§1 Основные понятия и простейшие свойства рядов

Пусть имеется бесконечная последовательность чисел an , ai R . Их сумма

или в сокращенной записи																				a1 a2			a3 ... an ...
или в сокращенной записи

																							an					(1)
называется числовым рядом.																							n 1
называется числовым рядом.
Примеры:
1.	Выписать первые 4 члена ряда:
				2k			1
				2k			1
				2			2
		k 1		3k			2
a		2 1			3	,a							2 2 1						5		,a			2 3 1	7	,a		2 4 1	9
a						,a															,a					,a
1		3 2 5						2				3 22 2					14					3		3 32 2 29			4	3 42 2 50
			2k 1								3			5		7				9
			2k 1						=		3			5		7				9		...
			2						=													...
		k 1	3k 2 5 14 29 50
2.Подобрать один из возможных вариантов формулы общего члена:
								2					4		6		8
		ak						2					4		6		8	...
		ak						5										...
		k 1						5		8				11		14

Числители дробей являются первыми четными числами: 2,4,6,8…

Можно предположить, что числитель дроби, соответствующий k-му члену данного ряда, будет k-е по счету четное число: 2k.

Знаменатели дробей являются первыми четырьмя членами арифметической прогрессии с разностью, равной 3, и первым членом равным 5.

ak a1 k 1 d

		2k
ak
		5 k 1 d
k 1	k 1

Это возможный вариант, но не единственный.

Числа a1,a2,a3,...,an... называются членами ряда, а выражения

S1 a1, S2 a1 a2,... Sn a1 a2 a3 ... an 1 an

называются частичными суммами ряда (1). Очевидно, что частичные суммы образуют числовую последовательность.

Определение. Если существует конечный предел последовательности частичных сумм

lim Sn S ,	(2)
n

то он называется суммой ряда (1).

Если S, конечное число, то ряд называется сходящимся. Если же предел (2) бесконечен или не существует, то ряд называется расходящимся.

В качестве примера рассмотрим сумму бесконечной геометрической прогрессии

377

a aq aq2 ... aqn ... aqn 1

n 1

Из элементарной математики известна формула суммы n членов прогрессии (n-ая частичная сумма в нашей терминологии), полученная в предположении, что q 1.

Sn a1 qn

1 q

Если	q	1, то lim qn 0 lim Sn			a	и ряд будет сходящимся.


		n	n	1 q
Если	q	1, тоlimqn limSn		, соответственно ряд будет расходящим-

		n	n
ся.

Если q 1, то Sn na lim Sn .

Наконец, если q 1, то частичная сумма с четного числа слагаемых

S a a a a ... a a 0,

а частичная сумма нечетного числа слагаемых будет равна S2n 1 S2n a a. Последовательность таких частичных сумм предела не имеет и ряд в этом случае также расходящийся.

Примеры:

Найти сумму ряда:

1.n 1 5n

Данный ряд представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической

прогрессии с первым членом b	1	и знаменателем	q	1	, а значит, сумму его
	5
1			5

можно найти по формуле суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии

	b1		1			1
S	b1	5				1	.
S				1			.
	1 q	1		1	4
		1		5
				5

2.n 1 2n 1 2n 3

Разложим общий член ряда на простые дроби:

						1		1		1			1
a																, (можно воспользоваться методом неоп-
a																, (можно воспользоваться методом неоп-
n			2n 1 2n 3					4
			2n 1 2n 3					4	2n 1				2n 3
ределенных коэффициентов),													вычислим n-ю частичную сумму ряда:
S	a a					... a	1			1	1	1		1	1		1	1		1	1	1	1
							1	1		1	1	1		1	1		1	1	...	1	1	1	1
								1											...
n			1		2	n	4			5 3 7			5 9 7 11							2n 3	2n 1	2n 1
							4			5 3 7			5 9 7 11							2n 3	2n 1	2n 1	2n 3
	1			1		1		1
		1
		1
	4			3		2n 1
	4			3		2n 1	2n 3

тогда по определению суммы ряда

												378
S lim S		n		lim			1	1		1	1	1	1	.
										1	1	1

	n					n 4			3		2n 1	2n 3 3
	n					n 4			3		2n 1	2n 3 3
				1
3. ln 1
3. ln 1			n		2
n 2			n

Вычислим n-ю частичную сумму ряда:

Sn		3		8		15				n2		1			1 3 2 4 3 5 4 5										n 1 n 1
	ln		ln		ln			... ln					ln											...			ln
	ln	4	ln	9	ln	16		... ln			n	2	ln			2	2		2	4	2	5	2	...	n	2	ln
		4		9		16					n					2		3		4		5			n
									n 1					1
тогда S lim Sn lim ln												ln			.
тогда S lim Sn lim ln												ln		2	.
			n				n		2n					2

Простейшие свойства сходящихся рядов.

1. Пусть ряд

n 1 ,


an	a1 a2 a3	...	(3)
n 1
сходится и его сумма равна S, тогда ряд

k an ka1 ka2		ka3 ...	(4)
n 1

также сходится и его сумма равна k S .

Доказательство: Рассмотрим частичные суммы рядов (3) и (4). Имеем

n ka1 ka2 ka3 ... kan k a1 a2 a3 ... an k Sn

Так как ряд (3) сходится, то существует конечный предел последовательности его частичных сумм равный S, тогда

lim n lim k Sn klim Sn			k S
n	n	n
Последнее равенства и доказывает свойство.
2. Пусть имеются два сходящихся ряда:

an	a1 a2	a3 ...	(5)
n 1
и

bn	b1 b2	b3 ...	(6)
n 1

Пусть А и В – суммы этих рядов. Тогда ряд

(an bn )

n 1

также сходится и его сумма равна A B. Доказательство Рассмотрим частичные суммы последнего ряда

n a1 b1 a2 b2 a3 b3 ... an bna1 a2 a3 ... an b1 b2 b3 ... bn ;

Найдем предел последовательности частичных сумм

lim

... a

... b

lim

... a

lim

... b A B

При нахождении пределов мы воспользовались сходимостью рядов (5) и (6). 3. Пусть ряд

379

an a1 a2 a3 ...

n 1

сходится и его сумма равна S. Пусть l1,l2,...,lm,...- возрастающая последовательность натуральных чисел. Тогда ряд

a1 a2 ...

al al 1

al 2 ...

...

m 1

2 ...

...

(7)

сходится и его сумма также равна S.

Доказательство. Рассмотрим частичную сумму ряда (7)

a1 a2

... al

1 al 2

... al

m 1

1 al

m 1

... al

где за Slm обозначена частичная сумма ряда (1). Нетрудно заметить, что последова-

тельность частичных сумм ряда (7) является подпоследовательностью последовательности частичных сумм ряда (1). Так как ряд (1) сходится (а по определению последовательность частичных сумм имеет конечный предел), то подпоследовательность сходящейся последовательности также будет сходиться, причем к тому же пределу, а значит и ряд (7) также сходится и его сумма равна S.

4. Определение Числовой ряд

ak ,

k n 1

полученный из ряда (1) путем отбрасывания первых n членов, называется остатком ряда (1). Принято обозначение:


Rn ak	an 1 an 2 an 3 ...	(8)
k n 1

Имеет место следующее утверждение:

Если ряд (1) сходится, то сходится любой из его остатков. Справедливо и обратное утверждение

Если сходится хотя бы один из остатков ряда, то сходится и сам ряд. Обозначим Rnm частичную сумму ряда (8), ее можно представить в виде

Rnm an 1 an 2	an 3 ... an m	Sn m Sn,
где Sn m и Sn - частичные суммы ряда (1). Можно записать
Sn m	Sn Rnm	(9)

Зафиксируем число n. Если ряд (1) сходится, то для любого n, существует

предел lim Sn m , тогда из равенства (9) будет следовать существование предела

lim Rn , что означает сходимость остатка (8).

m m

Используя равенство (9) и проводя аналогичные рассуждения, можно доказать обратное утверждение.

Докажем еще одно свойство остатков сходящегося ряда.

Если ряд (1)сходится, то последовательность сумм его остатков стремится к нулю, т.е.

lim Rn 0

Доказательство. В следствие сходимости ряда (1), приходим к равенству

		Rn S Sn ,		(10)
где за S обозначена сумма ряда (1). По определению lim Sn				S . Переходим к преде-
лу в равенстве (10)			n
лу в равенстве (10)			S S 0.
lim R	n	S lim R	S S 0.
n	n	n	n

380

Необходимый признак сходимости числового ряда.

Теорема. Если ряд (1) сходится, то

lim an 0	(11)
n

Доказательство: Пусть S – сумма ряда. Выразим общий член ряда an a1 a2 ... an 1 an a1 a2 ... an 1 Sn Sn 1

В последнем равенстве перейдем к пределу.

lim an	lim Sn	Sn 1	lim Sn	lim Sn 1 S S 0
n	n		n	n

Теорема доказана.

Замечание. Из стремления общего члена к нулю еще не следует сходимость

ряда.

Примеры.

1. Рассмотрим ряд ([2], часть 2, с. 247)

	1
ln 1		(12)

n 1	n

Найдем предел общего члена

lim an limln 1

ln1 0.

Необходимое условие выполнено. Найдем частичную сумму ряда

ln2 ln 1

ln 1

... ln 1

ln2 ln

... ln

n 1

...

n 1

Найдем предел последовательности частичных сумм

lim Sn

limln n 1

ряд расходится.

3n 7

2. Исследовать на сходимость ряд

n 1 5n 4

Вычислим предел общего члена ряда

lim a

lim

3n 7

0 ряд расходится.

n 5n 4

3. Исследовать на сходимость ряд

n 1

3n2 2

3n2

3n2 2

lim

lim 1

Следовательно, ряд расходится.

4. Рассмотрим гармонический ряд

n 1 n

381

lim 1 0, ряд может оказаться как сходящимся, так и расходящимся.

n n

Пусть гармонический ряд сходится и сумма его равна S.

Тогда lim S2n

lim S2n

lim Sn

S S 0, но с другой стороны:

...

n 1

n 2

2n 2n 2n

2n 2

т.е. наше предположение неверно, ряд

расходится.

n 1

§2 Ряды с неотрицательными членами

Будем рассматривать ряды вида


an	(1)

снеотрицательными членами (an 0 для любого натурального n).

Теорема 1. Если последовательность частичных сумм ряда, с неотрицательными членами ограничена сверху, то ряд сходится.

Доказательство

Рассмотрим последовательность частичных сумм ряда с неотрицательными членами

S1 a1, S2 a1 a2 S1 a2, S3 a1 a2 a3 S2 a3,...

...Sn a1 a2 a3 ... an Sn 1 an,...

Учитывая, что все члены ряда неотрицательны, приходим к выводу о том. Что последовательность неубывающая, т.е.

S1 S2 S3 ... Sn ...

Так как последовательность ограничена сверху, то она имеет предел, что означает сходимость ряда (1).

Для решения вопроса о сходимости или расходимости ряда найдено много достаточных признаков. Рассмотрим некоторые из них.

Теорема 2. (первый признак сходимости)

Пусть имеются два ряда с неотрицательными членами


an	(а)
n 1
и

bn ,	(b)
n 1

Причем члены ряда (а) с некоторого номера, не превосходят членов ряда (b) an bn, n k 1, k 2,... k N (2)

Тогда из сходимости ряда (b) следует сходимость ряда (а). Из расходимости ряда

(a) следует расходимость ряда (b).

Рассмотрим, сначала, случай k 0 , т.е. случай выполнения неравенства (2) для любых n. Тогда для частичных сумм рядов (а) и (b) будет выполняться неравенство.

An Bn

(3)

382

Если ряд (b) сходится, то сходящаяся последовательность его частичных

сумм ограничена, следовательно, последовательность частичных сумм ряда (а) ог-

раничена сверху и по теореме 1 данного параграфа этот ряд будет сходиться.

Рассмотрим случай, когда ряд (а) расходится. Предположим, что и ряд (b)

сходится. Тогда из неравенства (3) следует, что и ряд (а) должен сходиться. Полу-

чили противоречие, доказывающее второе утверждение теоремы.

В случае, когда k 0 вместо рядов (а) и (b) можно рассмотреть ряды, полу-

ченные из них путем отбрасывания k

первых членов, т.е. остатки этих рядов. По

доказанному, утверждения теоремы будут справедливы для остатков рядов. Из ма-

териала предыдущего параграфа нам известно, что ряды и их остатки сходятся и

расходятся одновременно, следовательно, теорема справедлива и в этом случае.

Примеры.

ln(n 1)

n 1 2

2n ln2

2n ln(n 1)

- сходится, как геометрическая прогрессия, исходный ряд тоже сходится.

; 1; 0

n 2 n

ln n ln 2

ln n

ln 2

ln n

}

, n 2, 3,

... . Но

- расходится,

; 1

;

n 2

0 - расходится.

cos2 n

3.Исследовать на сходимость ряд n n 1 .n 1

Из неравенства 0 cos2 n 1 следует, что

cos2 n

n n 1

Рассмотрим частичную сумму ряда n 1

n n 1

k 1

k(k 1)

k 1 k

k 1

1		1	1		1		1	1	...			1		1	1	1	.
1									...						1		.
	2 2 3 3 4											n n 1				n 1
Предел последовательности частичных сумм
										1
						lim 1					1.
						lim 1					1.
						n				n 1
	1
По определению ряд n 1				сходится, а следовательно по первому признаку
По определению ряд n 1	n n 1			сходится, а следовательно по первому признаку
										cos2 n
сравнения сходится исследуемый ряд n 1													.
сравнения сходится исследуемый ряд n 1										n n 1			.

383
Теорема 3. (второй признак сходимости)
Пусть имеются два ряда с неотрицательными членами

an		(а)
n 1
и

bn ,		(b)
n 1
кроме того, существует конечный, отличный от нуля, предел
A lim	an

n b
	n
Тогда ряды (а) и (b) сходятся или расходятся одновременно.
Доказательство.

По условию теоремы A 0 , т.к. an 0 то A 0. Выберем произвольное bn

0, но такое, что A. Это означает, что A 0

0 A- A A+

Из определения предела следует, что найдется такой номер n0 , что для всех n n0 будет выполняться неравенство

A	an	A .	(4)

	bn
т.к. bn 0, то неравенство (4) можно записать в виде (5)
A bn an A bn			(5)
Если ряд сходится, то по свойствам сходящихся рядов сходится ряд
			A bn , тогда по первому
A bn , тогда из неравенства (5) следует, что an
n 1

признаку сходимости ряд an сходится.
n 1

Если ряд bn расходится, то расходится и ряд A bn . Из неравенства
n 1			n 1

(5) следует, что A bn an тогда согласно первому признаку сходимости будет

расходиться ряд an .

n 1

Проводя аналогичные рассуждения можно доказать, что из сходимости ряда


an следует сходимость ряда	bn	, а из расходимости ряда an следует расхо-
n 1	n 1	n 1

димость ряда bn .
n 1

384

Примеры.

Исследовать на сходимость ряд:

1.n 1 2n n lnn

an 2n n ln n

Удобно воспользоваться соотношением сравнения скоростей роста основных элементарных функций:

(lnn)

0, R ; (4.3)

n 2

0, 1,

(4.4)

n 2

lim

lnn

lnn n

n bn

n 2n n lnn

Но bn - сходится,

an -сходится

n 3

16n6 4n5 2

n 1

7n2 n

3~ 7n2 ,

7n2

16n6 4n5 2 ~ 16n6 4n3

4n3

Сравним исследуемый ряд с гармоническим, тогда

, то lim

- расходится.

n b

Дополнение предельного признака сравнения

lim

L ;

n b

а) Если 0 L - ряды сходятся или расходятся одновременно;

б) Если L 0 - из сходимости ряда bn

сходимость ряда an;

n 1

в) Если L - из расходимости ряда bn

расходимость ряда an

n 1

При применении признаков сравнения, можно использовать следующие соотношения.

Если Un -бесконечно малая функция, т.е. limUn

0, то при n стремящемся к беско-

нечности верны соотношения:

sinUn ~Un ,

arcsinUn ~Un ,

tgUn ~Un

arktgUn

~Un ,

1 cosU

Un2

aUn 1~ lna U

,a 0,a 1,

log

1 U

,a 0,a 1,

lna

	385
eUn 1~Un ,	lna 1 Un ~Un .

Эти соотношения следуют из замечательных пределов и следствий из них. Также удобно использовать, что

lim n n 1,	и lim n lnn 1
n	n
Теорема 4 (третий признак сравнения).
Пусть имеются два ряда с положительными членами

	an	(а)
и	n 1
и

	bn ,	(b)
	n 1

Пусть начиная с некоторого номера m (т.е. для всех во

an 1 bn 1 an bn

n m) выполняется неравенст-

(6)

тогда из сходимости ряда (b) следует сходимость ряда (а), из расходимости ряда (a) следует расходимость ряда (b).

Будем считать, что неравенство выполняется, начиная с n 1. (В противном случае можно провести рассуждения относительно остатков рядов). Выпишем неравенства, следующие из условия теоремы

,...,

an 1

bn 1

an 2

bn 2

an 1

bn 1

Перемножив неравенства (все члены рядов положительны), получим

a2	a3	a4	... an 1 an	b2	b3	b4	... bn 1 bn
a1	a2	a3	a4 ... an 1	b1	b2	b3	b4 ... bn 1

an bn . a1 b1

Окончательно получаем

an a1 bn b1

Из последнего неравенства и первого признака сравнения и следует утверждение теоремы.

§3 Интегральный признак Коши

Теорема (интегральный признак Коши).

Пусть имеется ряд с положительными монотонно убывающими членами


an	(1)

ипусть f (x) непрерывная, положительная, монотонно убывающая функция, такая

что

f 1 a1,

f 2 a2,

f 3 a3,..., f n an,...

(2)

Тогда

1 / 81 2 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
31.10.2018123.39 Кб297magister-economic-psychology.doc
#
10.02.201579.36 Кб341MakKueyl_D.doc
#
23.03.2016441.86 Кб415Maksakov.doc
#
23.03.20165.38 Mб12092Manipulyatsii_v_SD_Broshyura.doc
#
10.02.20155.14 Mб490matan_3_sem.doc
#
10.02.201517.04 Mб288matan_3_sem.pdf
#
10.02.20151.03 Mб292Maykl_Kan_Mezhdu_Psikhoterapevtom_I_Klientom.doc
#
23.03.2016928.26 Кб305meh_lab БФУ.doc
#
16.08.20191.01 Mб252meh_lab.doc
#
10.02.2015321.54 Кб110Meine Sommerferien.doc
#
17.04.2019252.74 Кб27menedzhment_otvety.docx