matan_3_sem
.pdf426
Определение: Ряд Фурье называется равномерно сходящимся к функции f(x) на [a,b], если последовательность его частичных сумм сходится к f(x) равномерно, т.е.
0 n0( ): n n0 и x [a,b] |
f (x) Sn(x) |
. |
Замечание: Из определения равномерной сходимости следует max f (x) Sn (x) 0 при n .
Теорема: Если обобщенный ряд Фурье функции f(x) cn n сходится к этой
n 0
функции на [a,b] равномерно, то он сходится к f(x) на [a,b] и в среднем квадратичном.
Доказательство: Пусть ряд Фурье cn n функции f(x) сходится к ней на [a,b] рав-
n 0
номерно, т.е.
0 n ( ): n n |
и x [a,b] |
|
|
f (x) S |
n |
(x) |
|
|
. |
||||||||
|
|
b a |
|||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Тогда n n0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
2 |
|
b |
2 |
b |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
f |
(x) Sn(x) dx |
f (x) Sn(x) dx |
|
|
|
dx |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
a |
|
|
|
|
|
a |
|
|
a |
b a |
|
|
||||
|
|
b |
f (x) S |
|
(x) 2 dx 0 и ряд Фурье по определению сходится к |
||||||||||||
Следовательно, lim |
|
n |
|||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a
f(x) и в среднем квадратичном.
Определение: В бесконечномерном евклидовом пространстве ортонормированную систему 0 n N n(x) n 1 называют замкнутой, если для любого элемента f этого пространства
|
n |
|
и числа ck R: |
ck k f (x) |
, |
|
k 1 |
|
т.е. сходится в среднем квадратичном.
Теорема: Для того, чтобы обобщенный ряд Фурье cn n функции f(x) схо-
n 0
дился к f(x) на [a,b] в среднем квадратичном необходимо и достаточно, чтобы не-
равенство Бесселя обращалось в равенство ПарсеваляСтеклова f (x)2 ck2 .
k 0
Эту теорему можно сформулировать иначе:
Если ортонормированная система n(x) n 1 замкнута в евклидовом пространстве на [a,b], то для любого элемента этого пространства f(x) верно равенство Пар-
севаляСтеклова f (x)2 ck2 .
k 0
Необходимость: Пусть cn n сходится к f(x) на [a,b] в среднем квадратичном, т.е.
n 0
b
lim f (x) Sn(x) 2 dx 0, по теореме об экстремальном свойстве коэффициентов
n
a
Фурье
427
|
|
|
|
|
|
|
|
f x |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
||||
|
min 2 ( f , |
|
) |
2 |
|
|
c2 |
, lim |
|
f 2 |
(x)dx |
|
c |
|
0, |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k o |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
k 0 |
|
|
|
|
|
|
||
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f 2 (x)dx lim |
|
c2 |
|
|
|
|
|
|
|
f (x) |
|
|
|
2 |
|
|
c2 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Достаточность: Пусть выполняется равенство Парсеваля-Стеклова |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
f (x) |
2 |
|
c2 |
lim |
|
c2 |
|
|
f |
2 (x)dx lim |
|
f 2(x)dx |
|
c |
|
0, |
|||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
k |
|
|
n |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
k |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
k 0 |
|
|
|
|
|
k 0 |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
k 0 |
|
|
|
||
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
f (x) Sn (x) |
|
|
|
2 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, обобщенный ряд Фурье сходится к f(x) на [a,b] в среднем квадратичном.
Определение: В бесконечномерном евклидовом пространстве ортогональную систему функций n(x) n 1 называют полной, если единственным элементом в этом пространстве ортогональным всем элементам n(x) этой системы является нулевой элемент.
n N |
f (x), n(x) 0 следовательно f (x) 0. |
|||||||
|
Теорема |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Любая замкнутая ортогональная система функций n(x) n 1 бесконечномерного |
||||||||
эвклидова пространства является полной. |
||||||||
|
Доказательство |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
- замкнутая ортогональная система функций и для f (x)выполняет- |
|
Пусть n(x) n 1 |
||||||||
ся условие f (x), n(x) 0 n N . Тогда коэффициенты Фурье равны нулю. |
||||||||
cn |
f (x), n(x) |
0. Так как система замкнута, то выполняется равенство Парсева- |
||||||
|
n(x) |
|
|
|
2 |
|
||
|
|
|
ля-Стеклова. f (x)2 ck2 , а значит и левая часть равенства равна нулю. f (x)2 0,
k0
аследовательно, и f (x) 0, а система функций n(x) n 1 является полной.
Преобразуем равенство Парсеваля-Стеклова с учётом традиционных обозначений коэффициентов тригонометрического ряда Фурье:
b |
|
|
|
||||||
f 2(x)dx ck2 |
|
|
|
k |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||
a |
k 0 |
|
|
b |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||
f 2(x)dx |
a0 |
2l l an2 bn2 |
, или |
|
|
|
f (x) |
|
|
|
2 |
a0 |
2l l an2 bn2 |
- уравнение Ляпунова. |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
||||||||||||||
a |
4 |
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
n 1 |
|
Основная тригонометрическая система функций обладает полнотой, то есть для любой функции интегрируемой с квадратом имеет место равенство ПарсеваляСтеклова, следовательно функцию f (x)с периодом T 2l можно разложить в ряд Фурье, который будет сходиться к функции f (x) в среднем квадратичном.
428
Теорема Дирихле
Пусть функция f(x) а сегменте [- ; ] имеет конечное число экстремумов и является непрерывной, за исключением конечного числа точек разрыва 1 рода. Тогда ряд Фурье этой функции сходится в каждой точке сегмента [- ; ] и сумма S(x) этого ряда:
1. S(x)= f(x) во всех точках непрерывности f(x), лежащих внутри сегмента
[- ; ]
2. |
S |
x |
|
1 |
f x |
0 f x |
0 , где x - точка разрыва функции f(x); |
|
|
|
|
||||||
|
0 |
|
2 |
0 |
0 |
0 |
||
|
|
|
|
|
|
|||
3. |
S0 x |
1 |
f 0 f 0 на концах промежутка, то есть при x= ; |
|||||
|
||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
Тригонометрические ряды Фурье для четной, нечетной функций |
|||||||
|
Напомним, что если функция f(x) определена на отрезке l,l и является |
|||||||
четной, т.е. для всех x l,l |
выполняется равенство f(-x)=f(x) и |
|||||||
l |
|
l |
|
|
|
|
а если является нечетной, т.е для всех x l,l выполняется |
|
f (x)dx 2 f (x)dx , |
||||||||
l |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
равенство f(-x)=-f(x), то f (x)dx 0.
l
Произведение четной функции на четную или нечетной на нечетную является четной функцией. А произведение четной на нечетную является нечетной функцией.
Пусть f(x)- четная кусочно-непрерывная функция задана на отрезке l,l . Тогда тригонометрический ряд Фурье принимает вид:
f x |
a |
0 |
|
|
|
nx |
|
an |
cos |
|
|||
|
|
l |
||||
2 |
n 1 |
|
|
соответствующие коэффициенты:
,
|
|
|
2 |
l |
|
|
|
|
a0 |
f (x)dx, |
|
||||
l |
|
||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
2 l |
|
nx |
|
|||
an |
|
f (x)cos |
|
|
dx, |
||
l |
l |
|
|||||
0 |
|
|
|
|
|
||
|
|
bn |
0. |
|
|
|
Если функция f(x) на этом отрезке нечетная, тогда:
|
|
|
nx |
|
|
||
f x bn sin |
|
, |
|
|
|||
|
|
|
|||||
n 1 |
|
|
l |
|
|
||
|
|
2 l |
|
|
nx |
|
|
a0 an 0, bn |
|
|
f |
(x)sin |
|
dx |
|
l |
l |
||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
Замечание: основная тригонометрическая система функций является ортогональной на любом отрезке длиной 2l . Если функция f(x) определена на всей числовой прямой и является периодической с периодом 2l ,то соотношения (4),(5) позво-
429
ляют вычислить коэффициенты Фурье ее ряда Фурье по основной тригонометрической системе на отрезке a,a 2l :
f x |
a |
0 |
|
|
|
nx |
|
nx |
x a,a 2l |
|
|
an |
cos |
|
bn sin |
|
|
||||
|
|
l |
l |
|||||||
2 |
n 1 |
|
|
|
|
|
1 l |
1a 2l |
|
|
1 l |
|
|
nx |
|
|
1a 2l |
|
nx |
|
||||||||||||
a0 |
|
f (x)dx |
|
|
|
f (x)dx |
an |
|
|
f (x)cos |
|
|
dx |
|
|
|
f (x)cos |
|
dx |
||||||
l |
l |
|
l |
l |
|
l |
l |
||||||||||||||||||
|
|
l |
|
|
|
a |
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
1 l |
|
nx |
|
|
1a 2l |
|
|
nx |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
bn |
|
|
l |
f (x)sin |
|
dx |
|
a |
f (x)sin |
|
|
dx |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
l |
l |
l |
|
l |
|
|
|
|
Так как интеграл от периодической функции (x) с периодом T по отрезку длиной T не изменяется, когда отрезок интегрирования сдвигается вдоль числовой оси.
Замечание: Рассмотрим функцию f(x), заданную на отрезке 0,l и удовлетворяющую на нем условиям теоремы Дирихле. Разложим эту функцию на этом отрезке в тригонометрический ряд Фурье. В такой постановке задача не имеет однозначного решения, так как она многовариантна.
1.Эту функцию можно разложить в тригонометрический ряд Фурье на отрезке 0,l , как на произвольном отрезке a,a 2l . В этом случае сумма S(x)полученного ряда будет l-периодической функцией.
2. Можно доопределить данную функцию в полуинтервале l,0 произвольным образом, лишь бы полученная функция на отрезке l,l продолжала удовлетворять условиям теоремы Дирихле. Разложим эту функцию в тригонометрический ряд Фурье на отрезке l,l и, рассмотрев сумму данного ряда только на отрезке0,l , получим еще одно представление исходной функции f(x) на отрезке 0,l в виде тригонометрического ряда Фурье. В этом случае сумма S(x) полученного ряда будет 2l -периодической функцией.
Если доопределим исходную функцию четным образом, то получим тригонометрический ряд Фурье, не содержащий членов с синусами. Такое разложение называют разложением в тригонометрический ряд Фурье по косинусам.
Если доопределим исходную функцию нечетным образом, то получим разложение в тригонометрический ряд Фурье по синусам.
3.Если первоначально функция задана на отрезке 0, , ее можно доопределить на произвольном отрезке l,l , содержащем отрезок , , так чтобы полученная функция продолжала удовлетворять на отрезке l,l условиям теоремы Дирихле. Затем разложить доопределенную функцию в тригонометрический ряд Фурье на отрезке l,l и рассматривать его сумму только на отрезке 0, l;l . Сумма этого ряда Фурье функции f(x) на отрезке 0, будет 2l -периодической функцией, причем 2l 2 .
Пример
Разложить функцию y x2 в ряд Фурье в интервале (- ; ).
Функция удовлетворяет условиям теоремы Дирихле и является чётной, следовательно
|
|
2 |
|
2 x3 |
|
|
|
2 2 |
|
||
|
|
|
|
|
|||||||
a0 |
|
x2dx |
|
|
|
; |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
0 |
3 |
|
0 |
3 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
430 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
nx |
|
|
|
u x2 |
|
du 2xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
an |
|
|
x2 cos |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
dv cosnx |
v |
|
|
sinnx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u x |
|
|
|
|
|
|
du dx |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
2 x |
sinnx |
1 |
2xsin nxdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
dv sinnxdx |
|
|
v |
1 |
cosnx |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
||||
4 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
4 |
n |
4 1 |
|
|
|
|
|
|
n 4 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
ncosnx |
|
|
n |
cosnxdx |
|
|
n n 1 |
n2 |
nsinnx |
|
|
1 |
n2 . |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bn 0.
Следовательно
|
|
2 |
|
n |
|
x2 |
|
4 |
1 |
cosnx. |
|
|
|
2 |
|||
3 |
n 1 |
n |
|
Положив в этом равенстве x=0, найдём
|
2 |
|
1 n |
|
1 n |
2 |
||||
0 |
|
4 |
|
|
cosnx |
|
|
|
|
. |
3 |
n |
2 |
n |
2 |
12 |
|||||
|
n 1 |
|
n 1 |
|
|
|
Если же записать равенство Парсеваля для данного разложения функции x2 , то получим формулу
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
x4dx. |
||||||||
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
||||||||||
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|||||||||
Следовательно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
4 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
4 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
40 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
n 1 |
n |
72 |
|
|
|
|
|
|
90 |
|
§5 Комплексная форма тригонометрического ряда Фурье
Тригонометрический ряд Фурье имеет вид
|
f x |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nx |
|
|
|
|
nx |
|
|
||||||||||||||
|
0 |
|
an cos |
|
|
|
|
|
|
bn sin |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
l |
|
|
l |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Используя формулы Эйлера |
2 |
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
cos x |
ei x e i x |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
ei x |
e i x |
|
|
|
i |
e i x ei x , |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2i |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
nx |
|
i |
nx |
|
|
|
i |
nx |
|
i |
nx |
|
|
|||||||||
f x |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
e l |
e |
|
l |
e |
|
|
l e l |
|
|
||||||||||||||||
|
|
an |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|||||||||
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сгруппируем коэффициенты при одинаковых экспонентах:
f x |
a |
|
1 |
an ibn e |
i |
nx |
|
1 |
an ibn e |
i |
nx |
|
0 |
|
|
|
l |
|
|
|
l |
||||
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
||||
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
полагая,
431
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
a0 |
; c |
|
|
|
1 |
a |
|
ib ; |
c |
|
|
|
1 |
a |
|
|
ib |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
Получим |
|
|
|
|
|
0 |
|
2 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
2 |
|
|
n |
n |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f x |
|
|
a0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
nx |
|
|
|
|
|
|
|
i |
nx |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
c ne |
|
l |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
cne |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f x |
|
cnei |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Это и есть комплексная форма тригонометрического ряда Фурье. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Найдём коэффициенты cn, n 0, 1, 2,... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 l |
|
|
|
|
|
|
nx |
|
|
|
|
|
|
nx |
|
|
|
|
|
1 |
|
l |
|
|
i |
nx |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
c |
|
|
|
a |
|
ib |
|
|
|
|
f x cos |
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
f x e l dx, |
||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
2l l |
l |
|
l |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2l l |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 l |
|
|
|
|
|
i |
nx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
c n |
|
|
an ibn |
|
|
l |
f x e l dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
2l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Эти выражения можно объединить в одну формулу, добавив n=0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cn |
f x e i |
|
|
dx , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где n=0, 1, 2, 3,…
(1)
(2)
(3)
(4)
|
i nx |
|
|
n |
n=0, 1, 2, 3,… - волно- |
||
Выражения e |
|
l |
называют гармониками. Числа |
n |
|
||
|
l |
||||||
|
|
|
|
|
|
вые числа функции. Множество всех волновых чисел – спектр. Коэффициенты cn - комплексные амплитуды.
§6 Интеграл Фурье. Преобразование Фурье
Определение: Функции, для которых существует f x dx называют абсолютно
интегрируемыми.
Пусть f(x) кусочно-непрерывная и абсолютно интегрируемая функция. На любом отрезке [-l;l]функция f(x) представима рядом Фурье.
Запишем ряд Фурье для f(x:
|
a0 |
|
nx |
|
|
1 |
l |
|
|
nx |
|||||
f x |
cnei |
|
, cn |
f x e i |
|
dx , |
|||||||||
l |
l |
||||||||||||||
2 |
2l |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
l |
|
nt |
|
nx |
|
|
||||
|
f x |
l |
f t e i |
|
|
dt ei |
|
. |
|
|
|||||
|
|
l |
l |
|
|
||||||||||
|
2l |
|
|
|
Введем обозначения un n , получим l
un |
un 1 un |
|
n 1 |
|
n |
|
|
, |
n Z. |
l |
l |
|
|||||||
|
|
|
|
|
l |
|
Тогда
|
|
|
|
|
|
|
|
432 |
||
|
|
|
|
f x |
1 |
|
l |
f t e iunt eiunxdt , |
||
|
|
|
|
l |
||||||
2l |
||||||||||
учитывая, что |
n |
|
un |
, получаем |
|
|
||||
|
|
|
|
|||||||
|
l |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
1 |
l |
|
|||
|
|
|
|
f x |
f t eiun x t dt un |
|||||
|
|
|
|
2 |
||||||
|
|
|
|
|
l |
|
Последнее соотношение можно рассматривать как интегральную сумму для функции
l
iu x t
g u f t e n dt,
l
где l можно выбрать сколь угодно большим l .
|
1 |
|
|
|
|
f x |
du f t eiu x t dt |
(1) |
|||
2 |
|||||
|
|
|
|
это интеграл Фурье в комплексной форме. Преобразуем его к следующему виду:
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
iut |
|
|
iux |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f t e |
|
dt |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
e du |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Получим соотношения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
F u |
|
|
|
|
f t e iutdt, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
iux |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
f x |
|
|
|
|
|
|
|
F u e |
|
du |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Это – преобразования Фурье F(u) прямое преобразование Фурье f(x) обрат- |
||||||||||||||||||||||||||||
ное преобразование Фурье. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Но, согласно формуле Эйлера, e |
cos isin , то есть |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
eiu x t cos u x t isin u x t . |
|
|||||||||||||||||||||||||
Подставим в интеграл Фурье: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
f x |
|
du f t eiu x t dt |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
du f t cos u x t isin u x t dt . |
(3) |
||||||||||||||||||||||||||
2 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Соотношение (3) - это интеграл Фурье в вещественной форме. С учётом того, что e iut cosut isinut,
eiut cosut isinut,
Преобразования Фурье принимают вид:
|
1 |
|
|||
F u |
|
|
|
||
|
|
|
|
||
2 |
|
||||
|
|
||||
|
1 |
|
|||
f x |
|
|
|
||
|
|
|
|
||
|
2 |
|
|||
|
|
Если f(x) нечётная, то
|
i |
|
|
||||||||
f t cos ut dt |
|
|
|
f t sin ut dt, |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
(4) |
||||||||||
|
|
||||||||||
|
|
i |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
||||||||
F u cos ut du |
|
|
|
|
F u sin ut du. |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
f t cos ut dt 0
|
|
|
|
|
433 |
|
||||||
следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
F u |
|
|
|
|
|
|
|
|
f t sin ut dt, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
|||||||||||
|
|
|
||||||||||
|
i |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||||
f x |
|
|
|
|
|
|
F u sin ut du. |
|||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
Или, введя обозначения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||
Fs u iF u |
|
f t sin ut dt , |
||||||||||
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
2 |
|
|
|
f x |
|
Fs t sin ux du. |
|||
|
|||||
|
|
0 |
Формулы (5), (6) называют синус-преобразованием Фурье. Если f(x) - чётная, то
Fc u
f x
2 f t cos ut dt ,
0
2
Fc t cos ux du.
0
Формулы (7), (8) называют косинус-преобразованием Фурье.
Пример:
|
x |
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
cos |
|
, если |
|
|
|
, |
||
|
||||||||
f x |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
если |
|
х |
|
0. |
|
|
|
|
|
|||||
0, |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Функция f(x) - чётная. Следовательно,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Fc u |
|
|
|
|
|
|
f x cosuxdx |
|
|
|
|
|
cos |
|
|
cosuxdx |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u x cos |
|
|
|
|
|
u x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
2 |
|
|
dx |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 0 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
u x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
u x |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 1 |
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
u |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2u |
|
2 |
|
|
|
|
1 2u |
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos u |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2u |
|
1 2u |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
2cos |
u |
|
1 2u 1 2u |
|
|
1 |
|
|
|
4 |
|
|
|
cos u. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 4u2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 1 4u2 |
|
|
|
(5)
(6)
(7)
(8)
434
Глава 17
СОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
§1 Определение интегралов, зависящих от параметра
Пусть функция f (x,y) определена в прямоугольнике a x b,c y d .
b
Пусть при каждом фиксированном y c;d существует f x,y dx. Очевидно, что
a
для каждого значения y c;d будет существовать свое значение интеграла. Таким образом мы получаем функцию переменной (параметра) y , определенную на отрезке c;d . Обозначим:
b |
y c;d |
|
I y f x, y dx, |
(1) |
|
a |
|
|
Поставим следующую задачу: исходя из свойств функции |
f (x,y), получить |
сведения о функции I y .
Предположим также, что при каждом фиксированном x a;b существует
d
f x, y dy. Данный интеграл будет представлять собой функцию переменной (па-
c
раметра) x. Введем обозначение
|
|
d |
|
|
|
x a;b . |
|
|
|
J x f x, y dy, |
|
|
|
(2) |
|||||
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
§2 Предельный переход под знаком интеграла |
|
||||||||
Теорема. Пусть функция |
f (x,y) непрерывна в прямоугольнике и |
|
|||||||
y0 c;d . Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
b |
f x, y dx |
b |
|
|
b |
f x,y0 dx |
(1) |
|
|
|
|
|||||||
|
|
lim |
f x,y |
|
|||||
y y0 |
|
|
y y0 |
|
|
|
|||
|
a |
|
|
a |
|
|
a |
|
|
Доказательство. Существование интеграла для каждого значения y c;d следует из непрерывности подынтегральной функции.
Выберем произвольное 0 и зафиксируем y0 c;d . Функция f (x,y) не-
прерывна на замкнутом прямоугольнике, следовательно, по теореме Кантора она является равномерно непрерывной. Тогда существует такое число 0, зависящее
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
из прямоугольника |
|
только от , такое, что для любых двух точек x |
,y |
и x ,y |
|
||||||||||||||||||||||||||||
, для которых |
|
x x |
|
|
|
|
и |
|
y y |
|
|
|
|
будет выполняться неравенство: |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
(2) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f x , y |
f x , y |
b a |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Положим y y0 |
, y y , где для произвольного y |
выполняется неравенство |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
y y0 |
|
. Значения первой переменной выберем равными, т.е. x x x , где |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
x a;b . Заметим что, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x |
|
0 |
|
. Тогда неравенство (2) примет вид |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
x x |
|
|
|
|
|
|
|
435
|
|
f x,y f x,y0 |
|
|
|
(3) |
||||
|
|
|
||||||||
|
|
|
b a |
|
||||||
|
|
|
||||||||
для любого x a;b , если |
|
y y0 |
|
|
и y c;d . Оценим разность интегралов |
|
||||
|
|
|
||||||||
b |
|
|
b |
|
|
|
b |
|
f x,y dx f x,y0 dx f x, y f x,y0 dx.
|
|
|
a |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
||
С учетом неравенства (3), получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
b |
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
f x, y dx f x, y0 dx |
|
|
f x,y f x, y0 |
|
dx |
||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
a |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b a . |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
b a |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
В ходе доказательства мы получили, что для 0 |
существует 0, такое |
|||||||||||||||||||
что из неравенства |
|
y y0 |
|
, y c;d следует неравенство |
||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
f x, y dx f x,y0 dx |
. |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
y y0 |
b |
|
|
x, y dx |
b |
f x,y0 dx |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Теорема доказана. |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание.
Аналогичным образом доказывается симметричное (относительно переменных) утверждение: если функция f (x,y) непрерывна в прямоугольнике и
x0 a;b , то
lim |
d |
f x, y dx |
d |
|
|
|
d |
f x0 , y dx |
|
|
|
||||||
|
|
lim |
f x, y |
|
||||
y x0 |
|
y x0 |
|
|
|
|||
|
c |
|
c |
|
|
|
c |
|
§ 3 Непрерывность интеграла как функции параметра
Теорема. Пусть функция |
f (x,y) непрерывна в прямоугольнике и |
|
b |
y c;d . Тогда |
функция I y непрерывна на отрезке [c;d]. |
I y f x, y dx, |
a
Зафиксируем произвольное y0 c;d . В предыдущем параграфе было доказано, что
|
b |
|
x, y dx |
b |
f x,y0 dx , в других обозначениях это означает |
|
lim |
|
f |
|
|||
y y0 |
|
|
|
|
||
|
a |
|
|
a |
lim I y I y0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y y0 |
|
Следовательно, функция I(y) непрерывна в точке y0 . |
|
|||||
|
|
Замечание 1. Условие непрерывности функции f (x,y) |
в прямоугольнике |
|||
является достаточным для непрерывности I(y) на отрезке [c;d]. |
||||||
|
|
Замечание 2. Аналогично можно доказать утверждение: Если функция |
||||
|
|
|
|
|
d |
x a;b. Тогда функ- |
f (x,y) |
непрерывна в прямоугольнике и J x f x,y dy, |
c
ция J x непрерывна на отрезке a;b .