Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Балтийский федеральный университет им. И.Канта

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

matan_3_sem

.pdf

Скачиваний:

317

Добавлен:

10.02.2015

Размер:

17.04 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 85 6 7 8 > Следующая >>>

416

Приведем подобные члены

a1 a1 2a2 x 2a2 3a3 x2 .... nan n 1 an 1 xn ...

a1x a2x2 ... an xn ...

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях: a1 ,

a1 2a2 a1 , 2a2 3a3 a3 ,

………………………….

nan n 1 an 1 an

Коэффициент a1 , остальные коэффициенты находим подставляя найденное выражение в нижнюю строчку, т.е.

a2 1 , 2!

a3 1 2 ,

………………………………………..

an 1 2 ... n 1 ,

…………………………………………..

Таким образом

1 x 1 x 1 x2 ... 1 2 ... n 1 xn ... 2! n!

1 1 2 ... n 1 xn

n 1	n!

x 1;1 .

Ряд, стоящий в правой части равенства, называется биномиальным. При n N все коэффициенты этого ряда, начиная с (n+1) обращаются в нуль и степенной ряд преобразуется в бином Ньютона

1 x n 1 nx	n n 1		n
		x2	... xn Cnk xk

2!			k 0

§8 Методы разложения функций в ряд Тейлора

Разложение функций в ряд Тейлора, по определению, часто связано с громоздкими вычислениями при нахождении производных и сложностью исследования его сходимости. Приведем несколько методов, когда этого можно избежать

Использование формулы суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии

Разложить в ряд Тейлора в окрестности точки x0				2 функцию		f (x)	1	;
Разложить в ряд Тейлора в окрестности точки x0				2 функцию		f (x)		;
Решение т.к.						1 x
Решение т.к.
	1	1	1		;
		1 (x 2) 2			;
1 x		1 (x 2) 2	1 (x 2)

417

то при

x 2

(1 (x 2)

(x 2)2 ... (x 2)n ...) (x 2)n

x ( 3; 1)

1 x

n 0

Метод подстановки

Разложить функцию

f (x) sin2x

по степеням x

Решение : Запишем следующую цепочку равенств

n t12n

sin2x

sin2 t

cos2t cost1 ( 1)

;

x t

n 0

(2n)!

Возвращаясь к старой переменной х по формуле t1

, получаем

2 x

sin2x ( 1)n

n 0

22n			2n
	x		x R.

(2n)!		4

Метод интегрирования

Разложить в ряд Маклорена функцию

f (x) ln

1 x

Решение т.к.

;

t2n

1 ,

то

1 x

0 1 t

1 t

n 0

1 x

x2n 1

dt 2

x ( 11;)

;

1 x

0 n 0

n 0

2n 1

Метод дифференцирования

Разложить в ряд Маклорена функцию

f (x)

;

(1 x2 )2

Решение. Так как

1 ,

то

(1 x

)

1 x

n 0

2n 1

(1 x

... x

...)

2nx

x ( 11;)

(1 x

)

n 0

n 1

Для разложения используются и другие методы.

§ 9. Приложения рядов

Приближенное вычисление значений функций.

418

Для нахождения приближенного значения функции f(x) в точке x0

с заданной точностью поступим следующим образом. Разложим функцию f(x) в ряд по степеням (x x1) с интервалом сходимости, содержащим точку x0 , где x1 - точка , в которой значение функции и ее производных вычисляются легко и точно. Переменной х придадим значение x0 и в полученном числовом ряду

an (x0 x1)n оставим только члены, гарантирующие только заданную точность

n 0

вычислений. Минимаьное число n0 таких членов определим из соответствующей оценки либо остатка формулы Тейлора , либо остатка ряда.

Пример. Вычислить с точностью 0,01 число е. Решение. Так как

Rn (x)

xn 1,0 c x, x R;

то из оценки

k 0

k 0 k!

(n 1)!

R (1)

001,

(n 1)!

следует, что n 5 ,

т.е.

необходимо взять пять слагаемых .

ex 1 1

2 0500, 0167, 0042, 0008, 2,717; e 2,72;

Пример 2. Вычислить

sin18

с точностью 0,0001.

Решение Так как 18

и ряд

2n 1

( 1)n

sin

n 0

(2n 1)! 10

является рядом Лейбница, то из оценки

2(n 1) 1

00001,

(2(n 1) 1)! 10

получаем n 1. Таким образом

sin18

0,31416 0,00617 0,30899;

3!103

Приближенное вычисление интегралов

Пример Вычислить

e x2 dx

c точностью 0,001

Решение.

Имеем :

n x2n

( 1)n

1 2n 1

( 1)

x R e

n!(2n 1)

n 0

Оценим погрешность

0001, n 1;

(n 1)!(2n 3)32n 3

			419
тогда
1
3	1	1
e x2 dx	1	1		03333, 00123, 0321,
e x2 dx		3 3	3	03333, 00123, 0321,
0	3	3 3

Интегрирование дифференциальных уравнений

Степенные ряды могут применяться для нахождения приближенного решения дифференциального уравнения, если его решение не удается найти в элементарных функциях.

Пример. Найти решение дифференциального уравнения yy siny,

удовлетворяющее начальному условию y(0) ; 2

Решение. Уравнение допускает разделение переменных :

ydy dx; sin y

однако интеграл от левой части уравнения не выражается в элементарных функциях. Будем искать решение в виде ряда Маклорена

				y	(n)	(0)
			y				xn .

			n 0		n!
Так как y(0)	, а y	sin y	(*) то	y (0)				2	.

2		y

Дифференцируя по х обе части равенства (*), находим

y	y (ycosy sin y)				;	(**)
y					;	(**)
			y2
откуда

		y (0)sin				3
		y (0)sin				3
				2			2
y (0)				2			2	;
y (0)		2						;
		2


			2

Дифференцируя обе части равенства (**) , находим y (0). Продолжая этот процесс, можно получить любое число членов разложения в ряд Маклорена искомого решения

y(x)	2	x	2	2	x	2	...
			3
2

420

Глава 16

Ряды Фурье

§1.Ортонормированные системы.

Определение: Евклидовым пространством называют линейное пространство L, в котором задано скалярное умножение, т.е. отображение f:L R, ставящее упорядоченной паре элементов пространства L в соответствие число и удовлетворяющее аксиомам скалярного умножения :

1.(x,y)=(y,x), x,y L; 2.(x+y,z)=(x,z)+(y,z), x,y,z L; 3.( x,y)= (x,y), x,y L, R; 4.(x,x) 0, и (x,x)=0 x=0.

Определение: Линейное (евклидово) пространство бесконечномерное, если в нем можно выбрать любое количество линейно независимых элементов.

Определение: Функция называется кусочно -непрерывной на отрезке [a;b], если она непрерывна всюду на отрезке [a;b] за исключением конечного числа точек, в которых эта функция имеет разрывы первого рода.

Так функция

x,0 x 1

f(x)=

0,5x2,1 x 2

o,5(x 1),2 x 4

является кусочно-непрерывной на отрезке [0;4].

Множество всех кусочно-непрерывных на [a;b] функций образует линейное пространство. При этом под сложением элементов линейного пространства и умножением элемента на число понимают обычные операции сложения функций и умножения функции на число. Нулевым элементом в этом линейном пространстве является функция, тождественно равная нулю.

Произведение любых двух функций f и g из рассматриваемого линейного пространства является кусочно-непрерывной функцией, и, следовательно, интегрируемой на отрезке [a;b] функцией. Значит в этом линейном пространстве определено отображение, которое любым двум функциям f и g ставит в соответствие действительное число (f,g):

b
(f, g)= f (x)g(x)dx	(1)
a

Формула (1) задает скалярное умножение в рассматриваемом линейном векторном пространстве кусочно-непрерывных функций.

Легко проверить, что данное отображение удовлетворяет первым трем аксиомам скалярного умножения. Аксиома (4) не выполняется, действительно:

(f, f)= f 2(x)dx=0

421

Для любой функции f(x), равной нулю на [a;b] всюду, кроме некоторого конечного числа точек. Такая функция кусочно-непрерывна на [a; b], но не является нулевым элементом линейного пространства, т.к. она не равна тождественно нулю на всем отрезке [a; b] .

Чтобы четвертая аксиома скалярного умножения для введенного отображения выполнялась, будем рассматривать только те кусочно-непрерывные на отрезке [a;b] функции f(x), значения которых в каждой внутренней точке их разрываxi равны полусумме правого и левого пределов в этой точке:

f (xi)	f (xi 0) f (xi	0)	(2)
	2

Значения на границах отрезка [a;b] одинаковы и равны полусумме односторонних пределов функции в этих точках:

f (x )

f (a 0) f (b 0)

(3)

i	2

Докажем, что для суженного линейного пространства кусочно-непрерывных функций введенное отображение (f,g) удовлетворяет аксиоме (4) скалярного умножения.

Пусть (f,f)= f 2(x)dx=0 и точка x0 (a,b)-произвольная точка непрерывности

функции f, в которой f(x )	0. Тогда f 2(x) 0 на [a,b], f 2(x) непрерывна в x и
0	0
f 2(x ) 0.
0

По свойствам определенного интеграла f 2(x)dx 0, что противоречит предполо-

жениям.

Следовательно, в любой точке x непрерывности функции f выполняется равенство f(x)=0.

Пусть теперь x0 a;b -точка разрыва функции f(x). Т.к. точек разрыва у функции конечное число, то для любой точки разрыва найдется ее проколотая окрестность, в которой функция f(x), будет непрерывна и, значит, равна нулю. Поэтому

f (x0 0) lim f (x) 0,	f (x0 0) lim f (x) 0,
x x0 0	x x0 0

т.к. f(x)=0 в точках непрерывности. Тогда, согласно условию (2), имеем равенство f (x0) 0. Аналогично для точек a и b найдутся интервалы, в которых функция f(x) непрерывна. Следовательно, f(a+0)=0 и f(b-0)=0. В силу (3) получаем f(a)=f(b)=0. Т.е.линейное пространство всех кусочно-непрерывных на отрезке [a,b] функций, удовлетворяющих условиям (2) и (3), является евклидовым пространством со скалярным произведением (1).

Определение: Неотрицательное число:

					b
f (x)					f 2(x)dx ,
f (x)

					a

называется нормой функции f(x) в евклидовом пространстве. Учитывая, что

f 2 (x)dx f , f ,

то норму функции можно записать в виде:

f (x)

f , f

422

Функция называется нормированной, если ее норма равна 1.

Определение: Две функции f(x) и g(x) называются ортогональными на [a,b], если их скалярное произведение равно нулю, т.е.

	b
f x ,g x f (x)g(x)dx 0
	a
Пример: Функции f(x)=x и g(x)=x2	являются ортогональными на отрезке [-1,1].
Вычислим скалярное произведение:
1		x	4	1

x2xdx					0.
		4
1				1

Пусть в евклидовом пространстве задана некоторая бесконечная последова-
тельность элементов 1, 2, 3,... n,...	Эту последовательность называют ортонор-
мированной системой, если для любых натуральных i и j,
	0,i j
i, j					,
	1,i				j

т.е. элементы этой последовательности попарно ортогональны и все имеют единичную норму.

§2.Основная тригонометрическая система функций

Определение: Основной тригонометрической системой функций в евклидовом пространстве называется система:

2 x

n x

1,cos

,sin

,cos

,sin

,...,cos

,sin

,...

(1)

Теорема: Основная тригонометрическая система функций является ортогональной на любом отрезке длиной 2l, например на отрезке l,l , причем норма

первого члена равна 2l , а любого другогоl .

Первая функция системы ортогональна каждой из последующих, т. к. для любого n N:

sin( n) sin( n) 0,

cos

sin

cos( n) cos( n) 0.

sin

cos

Попарно ортогональны и следующие функции, n≠m,

(n m)x

(n m)

sin

cos

(n m)

Мы воспользовались формулой:

sin cos

sin( sin( )).

Рассмотрим два других интеграла:

(n m)x

cos

423

m)x

(n m)

sin

(n m)

Аналогично:

(n m)x

sin

cos

(n m)x

sin

(n m)

Вычислим норму первого элемента:

l l 2l,

(1)2dx x

И нормы других элементов:

2 l

2 nx

l l l.

cos

1 cos

sin

2 n

Теорема доказана.

Примером ортогональной нетригонометрической системы функций является

система полиномов Лежандра:

2n 1

1 x2 n

, она ортогональна на отрезке [-1,1].

n!2

§3.Ряды Фурье по ортогональным системам функций

ортогональная система функций.

Определение: Пусть n(x) n 1

Выражение вида: cn n

(1)

называется обобщенным рядом Фурье по орто-

n 0

гональной системе функций n(x) n 1 .

-основная тригонометрическая система функций, ряд называет-

Если n(x) n 1

ся тригонометрическим рядом Фурье.

Пусть f(x)- кусочно-непрерывная, принадлежащая евклидовому пространству

на [a,b]. И пусть имеет место разложение:

f x cn n ,

n 0

умножим обе части этого выражения на n(x)

и проинтегрируем на [a,b].

-ортогональна, то все интегралы в правой

Так как система функций n(x) n 1

части равны нулю, кроме одного, когда индексы совпадают. Следовательно:

f (x) n(x)dx cn n2(x)dx ,

или исходя из определений

f (x), n (x) cn n (x)2.

Мы можем выразить коэффициенты обобщенного ряда Фурье:

424

cn	f	(x), n	(2x) .	(2)
		n (x)

Тогда обобщенный ряд Фурье функции f(x),принадлежащей евклидовому пространству на [a,b] по системе ортогональных функций имеет вид:

	f (x),		(x)
f x	f (x),		(x)			(x).
		n			n		(3)
		n (x)		2
		n (x)		2
n 0

Мы формально записали разложение функции в обобщенный ряд Фурье. Вопрос о сходимости этого ряда остается открытым.

Тригонометрические ряды Фурье

Пусть f(x)- кусочно-непрерывная, периодическая функция с периодом T=2l. Выберем в качестве n(x) n 1 -основную тригонометрическую систему функций. Тогда в соотношении (1) обозначим коэффициенты следующим образом:

c0 a0 , коэффициенты перед косинусами обозначим -an , перед синусами-bn . Тогда

f x	a	0			nx		nx
			an	cos		bn sin		.	(4)
	2				l		l
			n 1

Используя формулу (2), найдем соответствующие коэффициенты:

a0 2c0 2

f (x)dx

1 l

f (x)cos

(5)

1 l

f (x)sin

§4.Экстремальное свойство коэффициентов Фурье. Неравенство Бесселя и его следствия.

Для ряда Фурье (1) элемента f определим n-ю частичную сумму

Sn x ck k

k 0

Определение: Обобщенный ряд Фурье (1) называется сходящимся по норме к элементу g евклидового пространства, если


	lim	S n g	0 .
	lim	S n g	0 .
	n
Величина f ,	b
Величина f ,	( f (x) (x))2dx	называется средним квадратичным отклоне-
	a

нием функций. ( f , ) f (x) (x) .

425

n
Теорема: Из всех обобщенных многочленов видаSn(x) k k ,	n(x) n 1
k 0

ортонормированная система функций, n-я частичная сумма ряда Фурье осуществляет наилучшее приближение элемента f в смысле нормы, порождаемой скалярным произведением эвклидова пространства.

(т.е. является наилучшей средней квадратичной аппроксимацией функции f(x) на

[a,b].

Значит при заданных f(x) и n среднее квадратичное отклонение минимально, когда

k ck .

Для доказательства рассмотрим квадрат нормы: