§5 Комплексная форма тригонометрического ряда Фурье

Тригонометрический ряд Фурье имеет вид

Используя формулы Эйлера

получаем

Сгруппируем коэффициенты при одинаковых экспонентах:

полагая,

Получим

. (1)

Это и есть комплексная форма тригонометрического ряда Фурье.

Найдём коэффициенты

, (2)

. (3)

Эти выражения можно объединить в одну формулу, добавив n=0

, (4)

где n=0, 1, 2, 3,…

Выражения называют гармониками. Числа n=0, 1, 2, 3,… - волновые числа функции. Множество всех волновых чисел – спектр. Коэффициенты - комплексные амплитуды.

§6 Интеграл Фурье. Преобразование Фурье

Определение: Функции, для которых существует называютабсолютно интегрируемыми.

Пусть f(x) кусочно-непрерывная и абсолютно интегрируемая функция. На любом отрезке [-l;l]функция f(x) представима рядом Фурье.

Запишем ряд Фурье для f(x:

, ,

.

Введем обозначения , получим

Тогда

,

учитывая, что , получаем

Последнее соотношение можно рассматривать как интегральную сумму для функции

где можно выбрать сколь угодно большим.

(1)

это интеграл Фурье в комплексной форме. Преобразуем его к следующему виду:

Получим соотношения:

(2)

Это – преобразования Фурье F(u) прямое преобразование Фурье f(x) обратное преобразование Фурье.

Но, согласно формуле Эйлера, , то есть

.

Подставим в интеграл Фурье:

. (3)

Соотношение (3) - это интеграл Фурье в вещественной форме. С учётом того, что

Преобразования Фурье принимают вид:

(4)

Если f(x) нечётная, то

следовательно,

Или, введя обозначения

, (5)

. (6)

Формулы (5), (6) называют синус-преобразованием Фурье.

Если f(x) - чётная, то

, (7)

. (8)

Формулы (7), (8) называют косинус-преобразованием Фурье.

Пример:

Функция f(x) - чётная. Следовательно,

Глава 17

СОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА

§1 Определение интегралов, зависящих от параметра

Пусть функция определена в прямоугольнике. Пусть при каждом фиксированномсуществует. Очевидно, что для каждого значениябудет существовать свое значение интеграла. Таким образом мы получаем функцию переменной (параметра), определенную на отрезке. Обозначим:

(1)

Поставим следующую задачу: исходя из свойств функции , получить сведения о функции.

Предположим также, что при каждом фиксированном существует. Данный интеграл будет представлять собой функцию переменной (параметра). Введем обозначение

(2)

§2 Предельный переход под знаком интеграла

Теорема. Пусть функция непрерывна в прямоугольникеи. Тогда

(1)

Доказательство. Существование интеграла для каждого значения следует из непрерывности подынтегральной функции.

Выберем произвольное и зафиксируем. Функциянепрерывна на замкнутом прямоугольнике, следовательно, по теореме Кантора она является равномерно непрерывной. Тогда существует такое число, зависящее только от, такое, что для любых двух точекииз прямоугольника, для которыхибудет выполняться неравенство:

. (2)

Положим ,, где для произвольноговыполняется неравенство. Значения первой переменной выберем равными, т.е., где. Заметим что,. Тогда неравенство (2) примет вид

(3)

для любого , еслии. Оценим разность интегралов

.

С учетом неравенства (3), получаем

.

В ходе доказательства мы получили, что для существует, такое что из неравенства,следует неравенство

.

Следовательно

Теорема доказана.

Замечание.

Аналогичным образом доказывается симметричное (относительно переменных) утверждение: если функция непрерывна в прямоугольникеи, то