§4 Степенные ряды

Определение: Ряд вида:

(1)

где - действительные числа – называетсястепенным рядом по степеням, - коэффициенты степенного ряда.

При α=0, получаем ряд

(2)

В дальнейшем будем рассматривать ряды вида (2) т.к. ряды вида (1) приводится к виду (2) заменой переменной x-=t.

Для степенных рядов справедлива

Теорема (теорема Абеля).

Если степенной ряд сходится в точке, то он сходится абсолютно в интервале и сходится равномерно на отрезке -qxq, .

Доказательство :

1. Т.к. по условию теоремы числовой ряд - сходится, тогда, всякая сходящаяся последовательность – ограничена, следовательно,.

Пусть , тогда рассмотрим.

Члены ряда - образуют геометрическую прогрессию со знаменателем. Что бы этот ряд сходился необходимо и достаточно,, т.е. ряд (2) сходится абсолютно при .

2). Если , то .Ряд (2) мажорируется сходящимся числовым рядом , следовательно, по признаку Вейерштрасса он сходится равномерно на отрезке [-q;q].

Следствие :

Если в точке , степенной рядрасходится, то он расходится во всех точкахх, таких что

Из теоремы Абеля и следствия вытекает, что если степенной ряд , сходящийся хотя бы в одной точке , то всегда существует числоR>0 и степенной ряд сходится абсолютно для всех x(-R;R) и расходится во всех .

При x= R ряд может, как сходится, так и расходится.

Неотрицательное число R называется радиусом сходимости ряда. Интервал (-R;R)называется интервалом сходимости. (радиус сходимости R– половина интервала сходимости).

Для нахождения радиуса сходимости степенного ряда используют признаки Даламбера и Коши и формулы для радиуса сходимости, получающиеся из этих признаков.

1.

Пусть , тогда, при– ряд сходится абсолютно; при- расходится, следовательно;

(3)

2.Аналогично из признака Даламбера

Пусть , тогда. Если, то. Тогда

. (4)

Пример1 :

Найти радиус сходимости ряда :

Имеем ,. Найдем предел

.

Пример 2 Найти область сходимости ряда (a>1)

Следовательно, ряд сходится на всей числовой оси.

§5. Свойства степенных рядов.

Теорема.

Если радиус сходимости степенного ряда отличен от 0, то его суммаS(x) непрерывна на интервале сходимости(-R;R).

Доказательство.

Пусть x – произвольная точка интервала сходимости. Всегда существует такое число q>0, что |x|<q<R.

По теореме Абеля степенной ряд сходится равномерно на отрезке [-q;q](-R;R).

Тогда, согласно теореме (о непрерывности суммы равномерно сходящегося функционального ряда), S(x) непрерывна на отрезке [-q;q], а, следовательно, и в точке x.

В силу произвольности выбора точки x(-R;R) получаем непрерывность функции на (-R;R).

Теорема.

Операция почленного дифференцирования и интегрирования на любом промежутке степенного ряда не изменяет радиуса сходимости.

Доказательство.

Ограничимся рассмотрением случая, когда

Обозначим – радиус сходимости почленно продифференцированного ряда.

Тогда .

Аналогично:

Пусть – радиус сходимости ряда, полученного почленным интегрированием:

=.

Числовой ряд сходится абсолютно по признаку сравнения, в силу неравенства

-сходится, т.к. (-R;R).

.

Теорема.

Если радиус сходимости степенного ряда отличен от 0, то степенной ряд можно почленно дифференцировать на интервале сходимости, и для его суммы S(x) справедливо равенство:

; (1)

Доказательство.

Пусть x – произвольная точка интервала сходимости (-R;R).Выберем такое число q, что |x|<q<R.

На отрезке [-q;q](-R;R) степенной ряд сходится равномерно(теорема Абеля).

Следовательно, согласно теореме о почленном дифференцировании, ряд можно почленно дифференцировать, и справедливо равенство (1).

Следствие.

Степенной ряд на интервале сходимости (-R;R) можно дифференцировать любое число раз.

Теорема.

Степенной ряд можно почленно интегрировать на любом отрезке , принадлежащем интервалу сходимости.

Доказательство аналогично доказательству теореме Абеля и теореме о почленном интегрировании).

Пример.

Найти сумму ряда.

Рассмотрим ряд, полученный почленным дифференцированием:

При |x|<1 – сходится как геометрическая прогрессия

S(x)= ;

[0;x] (-1;1);

Проинтегрируем полученный ряд :