
- •Глава 14 Числовые ряды с действительными членами
- •§1 Основные понятия и простейшие свойства рядов
- •§2 Ряды с неотрицательными членами
- •§3 Интегральный признак Коши
- •§4 Признаки сходимости рядов с положительными членами
- •§5 Знакочередующиеся ряды
- •§ 6 Знакопеременные ряды
- •§7 Умножение абсолютно сходящихся рядов
- •Глава 15. Функциональные ряды.
- •§1. Функциональные ряды. Основные понятия.
- •§2. Равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов.
- •§3. Свойства равномерно сходящихся рядов
- •§4 Степенные ряды
- •§5. Свойства степенных рядов.
- •§6. Ряды Тейлора
- •§7 Разложение элементарных функций в ряд Маклорена
- •§8 Методы разложения функций в ряд Тейлора
- •Приближенное вычисление интегралов
- •Интегрирование дифференциальных уравнений
- •Глава 16 Ряды Фурье
- •§1.Ортонормированные системы.
- •§2.Основная тригонометрическая система функций
- •§3.Ряды Фурье по ортогональным системам функций
- •Тригонометрические ряды Фурье
- •§4.Экстремальное свойство коэффициентов Фурье. Неравенство Бесселя и его следствия.
- •Тригонометрические ряды Фурье для четной, нечетной функций
- •§5 Комплексная форма тригонометрического ряда Фурье
- •§6 Интеграл Фурье. Преобразование Фурье
- •Глава 17
- •§1 Определение интегралов, зависящих от параметра
- •§2 Предельный переход под знаком интеграла
- •§ 3 Непрерывность интеграла как функции параметра
- •§ 4 Дифференцирование интегралов по параметру
- •§ 5 Интегрирование интегралов по параметру
- •§ 6 Пределы интегрирования, зависящие от параметра
- •Глава 18 несобственные интегралы, зависящие от параметра
- •§1 Определение равномерной сходимости
- •§2 Непрерывность интеграла как функции параметра
- •§3 Интегрирование по параметру под знаком интеграла
- •§ 4 Дифференцирование по параметру под знаком интеграла
- •§5 Признак равномерной сходимости несобственных интегралов
§4 Степенные ряды
Определение: Ряд вида:
(1)
где
-
действительные числа – называетсястепенным
рядом по степеням
,
- коэффициенты степенного ряда.
При α=0, получаем ряд
(2)
В дальнейшем будем рассматривать ряды вида (2) т.к. ряды вида (1) приводится к виду (2) заменой переменной x-=t.
Для степенных рядов справедлива
Теорема (теорема Абеля).
Если степенной
ряд
сходится в точке
,
то он сходится абсолютно в интервале
и сходится равномерно на отрезке -qxq,
.
Доказательство :
Т.к. по условию теоремы числовой ряд
- сходится, тогда
, всякая сходящаяся последовательность – ограничена, следовательно,
.
Пусть
,
тогда рассмотрим
.
Члены ряда
- образуют геометрическую прогрессию
со знаменателем
.
Что бы этот ряд сходился необходимо и
достаточно
,
,
т.е. ряд (2) сходится абсолютно при .
2).
Если
,
то
.Ряд
(2) мажорируется сходящимся числовым
рядом
,
следовательно, по признаку Вейерштрасса
он сходится равномерно на отрезке
[-q;q].
Следствие :
Если в точке
,
степенной ряд
расходится, то он расходится во всех
точкахх,
таких что
Из теоремы Абеля
и следствия вытекает, что если степенной
ряд , сходящийся хотя бы в одной точке
,
то всегда существует числоR>0
и степенной ряд сходится абсолютно для
всех x(-R;R)
и расходится во всех
.
При x= R ряд может, как сходится, так и расходится.
Неотрицательное число R называется радиусом сходимости ряда. Интервал (-R;R)называется интервалом сходимости. (радиус сходимости R– половина интервала сходимости).
Для нахождения радиуса сходимости степенного ряда используют признаки Даламбера и Коши и формулы для радиуса сходимости, получающиеся из этих признаков.
1.
Пусть
,
тогда
,
при
– ряд сходится абсолютно; при
- расходится, следовательно
;
(3)
2.Аналогично из признака Даламбера
Пусть
,
тогда
.
Если
,
то
.
Тогда
.
(4)
Пример1 :
Найти радиус
сходимости ряда
:
Имеем
,
.
Найдем предел
.
Пример
2 Найти
область сходимости ряда
(a>1)
Следовательно, ряд сходится на всей числовой оси.
§5. Свойства степенных рядов.
Теорема.
Если радиус
сходимости степенного ряда
отличен
от 0, то его суммаS(x)
непрерывна на интервале сходимости(-R;R).
Доказательство.
Пусть x – произвольная точка интервала сходимости. Всегда существует такое число q>0, что |x|<q<R.
По теореме Абеля
степенной ряд сходится равномерно на
отрезке [-q;q](-R;R).
Тогда, согласно теореме (о непрерывности суммы равномерно сходящегося функционального ряда), S(x) непрерывна на отрезке [-q;q], а, следовательно, и в точке x.
В силу произвольности
выбора точки x(-R;R)
получаем непрерывность функции на
(-R;R).
Теорема.
Операция почленного
дифференцирования и интегрирования на
любом промежутке
степенного
ряда не изменяет радиуса сходимости.
Доказательство.
Ограничимся
рассмотрением случая, когда
Обозначим
– радиус сходимости почленно
продифференцированного ряда.
Тогда
.
Аналогично:
Пусть
– радиус сходимости ряда, полученного
почленным интегрированием:
=
.
Числовой ряд
сходится
абсолютно по признаку сравнения, в силу
неравенства
-сходится,
т.к.
(-R;R).
.
Теорема.
Если радиус
сходимости степенного ряда
отличен
от 0, то степенной ряд можно почленно
дифференцировать на интервале сходимости,
и для его суммы S(x)
справедливо равенство:
;
(1)
Доказательство.
Пусть x – произвольная точка интервала сходимости (-R;R).Выберем такое число q, что |x|<q<R.
На отрезке
[-q;q](-R;R)
степенной ряд сходится равномерно(теорема
Абеля).
Следовательно,
согласно теореме о почленном
дифференцировании, ряд
можно
почленно дифференцировать, и справедливо
равенство (1).
Следствие.
Степенной ряд на интервале сходимости (-R;R) можно дифференцировать любое число раз.
Теорема.
Степенной ряд
можно
почленно интегрировать на любом отрезке
,
принадлежащем интервалу сходимости.
Доказательство аналогично доказательству теореме Абеля и теореме о почленном интегрировании).
Пример.
Найти сумму ряда.
Рассмотрим ряд, полученный почленным дифференцированием:
При |x|<1 – сходится как геометрическая прогрессия
S(x)=
;
[0;x]
(-1;1);
Проинтегрируем полученный ряд :