§3 Интегрирование по параметру под знаком интеграла

Теорема. Пусть функция непрерывна в области

1. сходится равномерно относительно у на .

Тогда справедливо равенство:

, (1)

причем несобственный интеграл, стоящий в правой части равенства (1) сходится.

Доказательство. Возьмем произвольное e > 0. По условию теоремы сходится равномерно относительноу на , поэтому для выбранного e > 0 найдется число М>0, зависящее только от e, такое, что как только возьмем число А>M, то сразу для всех будет выполняться неравенство

.

Зафиксируем некоторое число А, удовлетворяющее неравенству А>M. Вводя как и раньше обозначения , сразу для всех неравенство можно записать в виде

Так как функции инепрерывны на отрезке , то они и интегрируемы на нем. В силу свойств интегралов

тогда

Мы получили, для любого e > 0 существует число М, что при любом А>M, выполняется неравенство

.

Это означает что

, (2)

но - собственный интеграл, зависящий от параметрау. По теореме об интегрировании по параметру собственного интеграла можем записать

.

Тогда равенство (2) можно записать в виде

Ранее мы доказали существование предела, следовательно можно его записать иначе

Следовательно доказана сходимость интеграла, из правой части равенства (1) и справедливость самого равенства.

Теорема доказана.

§ 4 Дифференцирование по параметру под знаком интеграла

Теорема.

1. Пусть функция непрерывна в областии имеет в ней непрерывную частную производную;

2. сходится при каждом ;

3. сходится равномерно относительно у на ;

Тогда:

1. существует при каждом ;

2. , т.е. ;

3. непрерывна на .

Доказательство:

Так как непрерывна в областиисходится равномерно относительноу на то по теореме из §2 и существует. В частности существует интегралдля любого, удовлетворяющего условиюПо теореме из §3 имеем

.

Но . Поэтому

,

следовательно

В правой части последнего равенства стоит интеграл с переменным верхним пределом от непрерывной функции, тогда по теореме Барроу

.

Последнее равенство справедливо для любого . Таким образом доказано

1. существует при каждом ;

2. , ;

3.непрерывна на т.к. непрерывна на .

§5 Признак равномерной сходимости несобственных интегралов

Теорема.

1. Пусть функция непрерывна в области

2. Функция определена и непрерывна на;

3. при всех значениях и .

Тогда, если несобственный интеграл сходится, то несобственный интегралсходится равномерно относительноу на .

Утверждение примем без доказательства.

Замечание. Для несобственных интегралов второго рода, зависящих от параметра имеют место теоремы, аналогичные вышеизложенным.