
- •Глава 14 Числовые ряды с действительными членами
- •§1 Основные понятия и простейшие свойства рядов
- •§2 Ряды с неотрицательными членами
- •§3 Интегральный признак Коши
- •§4 Признаки сходимости рядов с положительными членами
- •§5 Знакочередующиеся ряды
- •§ 6 Знакопеременные ряды
- •§7 Умножение абсолютно сходящихся рядов
- •Глава 15. Функциональные ряды.
- •§1. Функциональные ряды. Основные понятия.
- •§2. Равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов.
- •§3. Свойства равномерно сходящихся рядов
- •§4 Степенные ряды
- •§5. Свойства степенных рядов.
- •§6. Ряды Тейлора
- •§7 Разложение элементарных функций в ряд Маклорена
- •§8 Методы разложения функций в ряд Тейлора
- •Приближенное вычисление интегралов
- •Интегрирование дифференциальных уравнений
- •Глава 16 Ряды Фурье
- •§1.Ортонормированные системы.
- •§2.Основная тригонометрическая система функций
- •§3.Ряды Фурье по ортогональным системам функций
- •Тригонометрические ряды Фурье
- •§4.Экстремальное свойство коэффициентов Фурье. Неравенство Бесселя и его следствия.
- •Тригонометрические ряды Фурье для четной, нечетной функций
- •§5 Комплексная форма тригонометрического ряда Фурье
- •§6 Интеграл Фурье. Преобразование Фурье
- •Глава 17
- •§1 Определение интегралов, зависящих от параметра
- •§2 Предельный переход под знаком интеграла
- •§ 3 Непрерывность интеграла как функции параметра
- •§ 4 Дифференцирование интегралов по параметру
- •§ 5 Интегрирование интегралов по параметру
- •§ 6 Пределы интегрирования, зависящие от параметра
- •Глава 18 несобственные интегралы, зависящие от параметра
- •§1 Определение равномерной сходимости
- •§2 Непрерывность интеграла как функции параметра
- •§3 Интегрирование по параметру под знаком интеграла
- •§ 4 Дифференцирование по параметру под знаком интеграла
- •§5 Признак равномерной сходимости несобственных интегралов
§ 3 Непрерывность интеграла как функции параметра
Теорема. Пусть
функция
непрерывна в прямоугольнике
и
.
Тогда функция
непрерывна на отрезке
.
Зафиксируем
произвольное
.
В предыдущем параграфе было доказано,
что
,
в других обозначениях это означает
Следовательно,
функция
непрерывна в точке
.
Замечание 1. Условие
непрерывности функции
в прямоугольнике
является достаточным для непрерывности
на отрезке
.
Замечание 2.
Аналогично можно доказать утверждение:
Если функция
непрерывна в прямоугольнике
и
Тогда функция
непрерывна на отрезке
.
Следствие. Если
функция
непрерывна в прямоугольнике
,
то одновременно непрерывны функции
на отрезке
и
непрерывна на отрезке
.
Тогда одновременно существуют интегралы
,
Эти интегралы называются повторными.
§ 4 Дифференцирование интегралов по параметру
Теорема. Пусть
функция
непрерывна в прямоугольнике
и имеет в нем непрерывную частную
производную
.
Пусть
.
Тогда:
функция
имеет на отрезке
производную
;
т.е.
;
непрерывна на отрезке
.
Доказательство.
Зафиксируем произвольную точку
.
Дадим приращение
таким образом, чтобы
.
Вычислим значение функции
и
:
Найдем отношение приращения функции к приращению аргумента:
(1)
Согласно теореме Лагранжа
,
где
.
Тогда
.
(2)
По условию теоремы
частная производная
непрерывна. Перейдем в соотношении (2)
к пределу при
.
Учитывая теорему о предельном переходе
под знаком интеграла, получаем
Следовательно,
существует и
.
В силу произвольности
,
делаем вывод о том, что
существует на всем отрезке
,
кроме того,
.
(3)
По условию теоремы
непрерывна, тогда из соотношения (3) и
теоремы о непрерывности интеграла как
функции параметра следует непрерывность
на отрезке
.
§ 5 Интегрирование интегралов по параметру
Теорема. Пусть
функция
непрерывна в прямоугольнике
и
.
Тогда
(1)
Доказательство: Докажем более общее равенство:
(2)
Рассмотрим левую
часть равенства (2). В силу непрерывности
функции
функция
также непрерывна на отрезке
.
Таким образом, в левой части равенства
(2) мы имеем интеграл от непрерывной
функции с переменным верхним пределом.
Применим к нему теорему Барроу
.
(3)
Рассмотрим теперь правую часть равенства (2). Введем обозначение
(4)
Данная функция
определена в прямоугольнике
.
Докажем что она и непрерывна в этом
прямоугольнике. Выберем произвольную
точку
дадим приращение обеим переменным, так
чтобы точка
.
Получаем
(5)
Пусть
.
Если
,
то
и
одновременно. Возьмем произвольное
и воспользуемся непрерывностью функции
в прямоугольнике
,
тогда для выбранного
найдется
,
такое что, как только
будет выполняться неравенство:
.
Тогда если
будет выполняться неравенство:
.
Это означает, что
Функция
непрерывна в прямоугольнике
(замкнутом множестве), то она на нем
ограничена, следовательно, существует
такое положительное число М, что
в прямоугольнике
.
Тогда
.
Это означает, что
.
Тогда из соотношения (5), получаем, что
,
что означает
непрерывность функции
в произвольной точке
,
следовательно, функция
непрерывна в прямоугольнике
.
Из соотношения (4) по теореме Барроу
следует
.
(6)
По условию теоремы
функция
непрерывна в прямоугольнике
,
следовательно, и
непрерывна в этом прямоугольнике. С
учетом равенства (4), запишем правую
часть равенства (2) в виде
.
(7)
В правой части
равенства (7) переменная
выступает в качестве параметра. Ранее
мы показали, что функция
непрерывна в прямоугольнике
и имеет в нем непрерывную частную
производную
.
По теореме о дифференцировании по
параметру под знаком интеграла получаем
.
(8)
Из анализа
соотношений (3) и (8) приходим к выводу о
том, что левая и правая части равенства
(2) имеют на отрезке
совпадающие производные, следовательно,
они отличаются на константу.
.
(9)
В последнем
равенстве положим
,
получим
,
тогда
и получаем равенство
.
(10)
Наконец,
положив
,
получаем требуемое равенство
Теорема доказана.