§2.Основная тригонометрическая система функций

Определение: Основной тригонометрической системой функций в евклидовом пространстве называется система:

₍₁₎

Теорема: Основная тригонометрическая система функций является ортогональной на любом отрезке длиной 2l, например на отрезке , причем норма первого члена равна, а любого другого.

Первая функция системы ортогональна каждой из последующих, т. к. для любого n N:

Попарно ортогональны и следующие функции, n_≠m,

,

Мы воспользовались формулой:

Рассмотрим два других интеграла:

=

Аналогично:

=.

Вычислим норму первого элемента:

,

И нормы других элементов:

Теорема доказана.

Примером ортогональной нетригонометрической системы функций является система полиномов Лежандра:

, она ортогональна на отрезке [-1,1].

§3.Ряды Фурье по ортогональным системам функций

Определение: Пусть ортогональная система функций.

Выражение вида: (1) называется обобщенным рядом Фурье по ортогональной системе функций.

Если -основная тригонометрическая система функций, ряд называется тригонометрическим рядом Фурье.

Пусть f(x)- кусочно-непрерывная, принадлежащая евклидовому пространству на [a,b]. И пусть имеет место разложение:

,

умножим обе части этого выражения на и проинтегрируем на [a,b].

Так как система функций -ортогональна, то все интегралы в правой части равны нулю, кроме одного, когда индексы совпадают. Следовательно:

,

или исходя из определений

Мы можем выразить коэффициенты обобщенного ряда Фурье:

(2)

Тогда обобщенный ряд Фурье функции f(x),принадлежащей евклидовому пространству на [a,b] по системе ортогональных функций имеет вид:

(3)

Мы формально записали разложение функции в обобщенный ряд Фурье. Вопрос о сходимости этого ряда остается открытым.

Тригонометрические ряды Фурье

Пусть f(x)- кусочно-непрерывная, периодическая функция с периодом T=2l. Выберем в качестве -основную тригонометрическую систему функций. Тогда в соотношении (1) обозначим коэффициенты следующим образом:

, коэффициенты перед косинусами обозначим -, перед синусами-. Тогда

(4)

Используя формулу (2), найдем соответствующие коэффициенты:

(5)

§4.Экстремальное свойство коэффициентов Фурье. Неравенство Бесселя и его следствия.

Для ряда Фурье (1) элемента f определим n-ю частичную сумму

Определение: Обобщенный ряд Фурье (1) называется сходящимся по норме к элементу g евклидового пространства, если

.

Величина называется средним квадратичным отклонением функций..

Теорема: Из всех обобщенных многочленов вида,ортонормированная система функций,n-я частичная сумма ряда Фурье осуществляет наилучшее приближение элемента f в смысле нормы, порождаемой скалярным произведением эвклидова пространства.

(т.е. является наилучшей средней квадратичной аппроксимацией функции f(x) на [a,b].

Значит при заданных f(x) и n среднее квадратичное отклонение минимально, когда .

Для доказательства рассмотрим квадрат нормы:

.

Т.к. -ортонормированная система функций, то

=+

Первое и третье слагаемые не зависят от ,отсюда следует, что минимальное значение достигается, когда второе слагаемое равно нулю, при.

Для коэффициентов Фурье справедлива следующая

Теорема: Для любого элемента f(x) и любой ортонормированной системы ряд(составленный из квадратов коэффициентов Фурье функцииf(x)) сходится и справедливо неравенство Бесселя: .

Замечание: если ортогональная, но не нормированная система функций, то неравенство Бесселя принимает вид:.

Из предыдущей теоремы следует, что .

Но левая часть равенства больше или равна нулю, следовательно:

,

Следовательно, все частичные суммы знакоположительного ряда ограничены одним и тем же числом, и следовательно ряд сходится.

Переходя в последнем неравенстве к пределу при ,получим неравенство Бесселя.

Определение: Ряд Фурье называется равномерно сходящимся к функции f(x) на [a,b], если последовательность его частичных сумм сходится к f(x) равномерно, т.е.

и .

Замечание: Из определения равномерной сходимости следует

при .

Теорема: Если обобщенный ряд Фурье функции f(x) сходится к этой функции на [a,b] равномерно, то он сходится к f(x) на [a,b] и в среднем квадратичном.

Доказательство: Пусть ряд Фурье функцииf(x) сходится к ней на [a,b] равномерно, т.е.

и .

Тогда

Следовательно, и ряд Фурье по определению сходится кf(x) и в среднем квадратичном.

Определение: В бесконечномерном евклидовом пространстве ортонормированную систему называют замкнутой, если для любого элементаf этого пространства

и числа ,

т.е. сходится в среднем квадратичном.

Теорема: Для того, чтобы обобщенный ряд Фурье функцииf(x) сходился к f(x) на [a,b] в среднем квадратичном необходимо и достаточно, чтобы неравенство Бесселя обращалось в равенство Парсеваля- Стеклова .

Эту теорему можно сформулировать иначе:

Если ортонормированная система замкнута в евклидовом пространстве на [a,b], то для любого элемента этого пространства f(x) верно равенство Парсеваля- Стеклова .

Необходимость: Пусть сходится кf(x) на [a,b] в среднем квадратичном, т.е.

, по теореме об экстремальном свойстве коэффициентов Фурье

тогда

.

Достаточность: Пусть выполняется равенство Парсеваля-Стеклова

тогда

Следовательно, обобщенный ряд Фурье сходится к f(x) на [a,b] в среднем квадратичном.

Определение: В бесконечномерном евклидовом пространстве ортогональную систему функций называют полной, если единственным элементом в этом пространстве ортогональным всем элементамэтой системы является нулевой элемент.

следовательно .

Теорема

Любая замкнутая ортогональная система функций бесконечномерного эвклидова пространства является полной.

Доказательство

Пусть - замкнутая ортогональная система функций и длявыполняется условие. Тогда коэффициенты Фурье равны нулю.

. Так как система замкнута, то выполняется равенство Парсеваля-Стеклова., а значит и левая часть равенства равна нулю., а следовательно, и, а система функцийявляется полной.

Преобразуем равенство Парсеваля-Стеклова с учётом традиционных обозначений коэффициентов тригонометрического ряда Фурье:

, или - уравнение Ляпунова.

Основная тригонометрическая система функций обладает полнотой, то есть для любой функции интегрируемой с квадратом имеет место равенство Парсеваля-Стеклова, следовательно функцию с периодомможно разложить в ряд Фурье, который будет сходиться к функциив среднем квадратичном.

Теорема Дирихле

Пусть функция f(x) а сегменте [-;] имеет конечное число экстремумов и является непрерывной, за исключением конечного числа точек разрыва 1 рода. Тогда ряд Фурье этой функции сходится в каждой точке сегмента [-p;p] и сумма S(x) этого ряда:

1. S(x)= f(x) во всех точках непрерывности f(x), лежащих внутри сегмента

[-p;p]

2. , где - точка разрыва функцииf(x);

3. на концах промежутка, то есть при x=;