Основы_акустики_Гринченко_Вовк

Рассмотрим сначала клин с акустически жесткими границами. Граничные условия на границах клина таковы:

Поскольку дифференцирование по нормали эквивалентно дифферен- цированию по произведению rψ при постоянном r и переменном ψ, то граничные условия (9.101) примут вид

Решение уравнения (9.100) имеет вид Ψ(ψ) = A cos(vψ) +B sin(vψ). Из граничных условий (9.102) при ψ = 0 находим B = 0, а при ψ = α полу- чим

Цилиндрические функции следует выбирать на основе следующих рассуждений. При r > r0 поле должно состоять только из расходящих- ся волн Hv(1)m (kr ). При r < r0 могут быть как расходящиеся, так и схо-

дящиеся к началу координат волны. Но в любой точке (кроме точки, в которой расположен источник) поле должно быть конечным. Поэтому и в точке r = 0, где находится начало координат, значение давления должно быть конечным. Отсюда при r < r0 зависимость поля от рас- стояния должна определяться функцией Jvm (kr ).

Таким образом, поле давления может быть записано в виде сумм, которые состоят из слагаемых вида:

Понятно, что поле давления должно быть непрерывным при переходе через окружность r = r0. Для того чтобы выполнялось это условие, приравняем выражения (9.104) при r = r0, тогда будем иметь

Введем обозначение cm = bm Jvm (kr0 ) , которое позволит записать по- ле в более удобном для нас виде. Учитывая соотношение (9.105), по-

582

Используя специальное обозначение [57, 61] для расстояний r и r0, формулы (9.106), (9.106a) можно представить единым образом

где r< и r> — меньшее и большее из расстояний r и r0.

Таким образом, функцию Грина для внешней области акустически жесткого клина можно определить как сумму ряда:

(9.108) в уравнение (9.95) и положить r = r0, т. е. r< = r> и ψ = ψ0. По-

нятно, что непосредственная подстановка не приводит к цели, по- скольку в точке r = r0 поле имеет особенность. Запишем для сокраще- ния дальнейших преобразований выражение (9.108) в виде

Помножим обе части (9.110) на cos(nπψ/α) и интегрируем в пределах от 0 до α. Учитывая, что

9.11.2. Рассеяние плоской звуковой волны на клине

Наличие функций Грина для клина позволяет рассмотреть задачу о рассеянии плоской волны на клине. Очевидно, что для этого следует переместить линейный источник подальше от клина. Итак, устремим в формулах (9.113), (9.114) величину kr> в бесконечность и

воспользуемся асимптотическим представлением функции Ханкеля при kr0 = kr> >>1:

Таким образом, имеем линейный источник на большом волновом рас- стоянии от клина, т.е. можно считать, что на клин набегает волна с плоским фронтом. Кроме этого, нормируем звуковое давление к дав- лению на ребре, которое создает точечный (линейный) источник в свободном пространстве. Воспользуемся для этого функцией Грина (9.94), где положим r = 0, kr0 >> 1. Тогда

Поделив выражения (9.113) и (9.114) на правую часть (9.116) и вос- пользовавшись асимптотикой (9.115), запишем полное звуковое поле давления, которое возникает вследствие рассеяния плоской звуковой волны единичной амплитуды:

для акустически жесткого клина

Итак, формулы (9.117) и (9.118) определяют дифракцию плоской вол- ны типа

фронт которой параллелен ребру клина, а направление падения опре- деляется волновым вектором k( k = k), перпендикулярным к ребру клина; r = {r,ψ} — полярные координаты произвольной точки M зву- кового поля; ψ0 — угол падения плоской волны.

585

нужно исследовать произведение rIr, где Ir — интенсивность в ради- альном направлении. Нетрудно убедиться, что

Физически условие (9.128) означает, что ребро не излучает энергию. Условие (9.128) является следствием выполнения условия (9.127).

Убедимся в том, что условия, противоположные условиям (9.127), (9.128), выполняются для точечного источника (для плоской задачи это линейный источник). Для поля линейного источника давление оп-

ределяется функцией Ханкеля нулевого порядка, т.е. р H0(1) (kr ) , а

радиальная скорость в окрестности источника υr H1(1) (kr ). Посколь-

ку особенностью функций Ханкеля при r → 0 есть H0(1) (kr ) lnr и H1(1) (kr ) 1/r, а элемент объема для плоской задачи dV = rdrdψ, то

понятно, что плотность энергии вокруг точечного источника неин- тегрируемая, т.е.

Соответственно, поток энергии через поверхность, окружающую ис-

точник, удовлетворяет условию lim (rIr ) ≠ 0 .

r →0

Отметим, что энергетические условия (9.127), (9.128) и соответст- вующие им соотношения (9.124)—(9.126) называются условиями Мейкснера (Meixner).

В завершение параграфа сделаем следующие обобщения. Полу- ченные результаты позволяют сформулировать условие на ребре в за- дачах излучения и рассеяния звука. Его суть в том, что для модели идеальной сжимаемой жидкости звуковое поле в окрестности ребер (при угле α > π) должно иметь локальные особенности в поле скорости. Величина угла α клина определяет скорость стремления составляю- щих колебательной скорости к бесконечности и их угловую зависи- мость в окрестности ребра (см. (9.124)—(9.126)). Эти особенности можно определить независимо от решения граничной задачи для об- ласти с ребрами и, вообще, считать известными. Подчеркнем, что оп- ределение условий на ребре — это определение не только характера особенности, но и — угловой зависимости поля вблизи ребра. Эти ап- риорные знания позволяют существенно повысить эффективность числового алгоритма решения граничных задач для областей с ребра- ми (см. ниже параграф 10.2).

588

9.12. Рассеяние звука на клине с цилиндром в вершине

Рассмотрим плоскую задачу рассеяния цилиндрической звуковой волны на объекте, показанном на рис. 9.20. Его конфигура- ция представляет собой комбинацию цилиндра радиуса b и клина, образованного двумя полуплоскостями. Ось цилиндра совпадает с ребром клина.

Рис. 9.20. Пример двумерной задачи рассеяния цилиндрической волны на клине с цилиндром в вершине

Как и на рис. 9.19, расположим центр О полярной системы коор- динат (r,ψ) на вершине клина, его внешний угол равен α, тогда на границах клина имеем ψ = 0, r = [b,∞) и ψ = α, r = [b,∞). Гармонический источник находится в точке М0 с координатами вектора r0 = {r0,ψ0}, а точка наблюдения M определяется вектором r = {r,ψ}; расстояние ме- жду точками М0 и М равно: r0 – r = R. Область пространства, яв- ляющаяся внешностью клина с цилиндром в вершине (тут распола- гаются точка наблюдения и источник), обозначим Ω .

Итак, рассматривается следующая задача для уравнения Гельмгольца:

Условия (9.131) соответствуют жестким поверхностям клина, а условие

(9.132) — жесткой поверхности цилиндра. Понятно, что можно рас- смотреть ситуацию, когда одна или обе указанные поверхности яв- ляются акустически мягкими. Оператор Лапласа в полярных коорди- натах определен формулой (9.96).

Таким образом, поставлена задача об определении звукового поля в области Ω при расположении в точке r0 = {r0,ψ0} источника, звуко- вое поле которого в свободном пространстве определяется функцией Грина для свободного пространства (см. формулу (9.94))

Анализ такой задачи, с одной стороны может иметь практический интерес, а с другой — является поучительным примером построения функции Грина для достаточно сложной области.

Решение задачи (9.130) — (9.132) ищем в виде

где p1 (r,ψ) — решение аналогичной задачи для внешности обычного

Тогда для функции p2 (r,ψ) получаем следующую граничную задачу в области Ω :

Обратите внимание на соотношение (9.139); именно при таком усло- вии, для решения в виде (9.134), будет выполнено условие (9.132).

Решение задачи (9.135), (9.136) нам уже известно (см. (9.113)):

590