Основы_акустики_Гринченко_Вовк

Таким образом, уравнение движения элемента стержня представ- ляет собой одномерное волновое уравнение. Это позволяет утвер- ждать, что его общее решение имеет вид

и представляет собой сумму бегущих волн, которые распространяют- ся в противоположных направлениях с фазовой скоростью с. Направ- ление распространения волн и движение частиц совпадает, т.е. име- ем продольные волны.

Отметим, что скорость распространения продольной волны в стержне c = E /ρ меньше скорости ce продольной волны в неогра-

ниченной среде (см. (6.123)). Как видим, для этих волн явление дис- персии отсутствует. Понятно, что их свойства соответствуют первой симметричной волне Лэмба в области малых волновых размеров тол- щины слоя.

Введем в рассмотрение такие типы граничных условий:

а) конец стержня (x = l) закреплен — означает отсутствие смещения на конце стержня в любой момент времени, т.е.

б) конец стержня (x = l) свободен — означает отсутствие напряжений на конце стержня в любой момент времени, т.е.

Понятно, что поток энергии сквозь сечение стрежня x = l при условии

(6.251) или (6.252) равен нулю.

Предлагаем читателю самостоятельно определить нормальные ко- лебания стержня конечной длины при трех комбинациях граничных условий: оба конца стержня свободные; оба конца — закрепленные; один конец стержня свободный, а второй — закрепленный. Убеди- тесь, что в случае первого и второго вариантов нормальные колеба- ния представляют собой полный набор гармоник, а в случае третьего варианта — присутствуют только нечетные гармоники.

391

6.20. Колебания дискретно-непрерывной системы

Наличие достаточно простых выражений для собственных частот и форм колебаний стержня позволяет рассмотреть важную за- дачу об оценке границ применения моделей, которые используются во втором разделе. Речь идет о моделях колебательных системах типа “масса на пружине”. Используя полученные решения для волновых характеристик в стержне, мы можем рассмотреть задачу о колебании массы, закрепленной на конце стрежня, с учетом массы стержня

(пружины) (рис. 6.32).

Рис. 6.32. Масса, закрепленная на конце стрежня

Пусть к концу упругого стрежня с модулем упругости Е, плотно- стью ρ, площадью поперечного сечения S и длиной l, закрепленного в верхнем сечении x = 0, прикреплена масса М (рис. 6.32). Определим характеристики такой колебательной системы и сравним их с харак- теристиками системы, в которой масса стержня не учитывается.

Следует учесть определенную условность такой постановки, по- скольку мы пытаемся сравнить принципиально разные системы — одна из них имеет одну степень свободы, другая — их бесконечное количество. Поэтому речь идет лишь о сравнении первых собствен- ных частот таких систем.

Полагаем, что величина l — это длина стержня с подвешенной массой в равновесном состоянии. Тогда можно записать следующую систему уравнений. Смещение точек стержня из положения равнове- сия будем характеризовать функцией u(x,t). Для всех точек стержня эта функция удовлетворяет волновому уравнению

Второй закон Ньютона для массы М, учитывая совместное движение стержня и массы, можно записать, используя функцию u(x,t):

Правая часть в этом уравнении представляет собой силу, которая действует со стороны стержня на массу.

Таким образом, данная колебательная система описывается сис- темой уравнений (6.253) и (6.254). Определим нормальные колебания

После подстановки (6.255) в (6.253) получаем общее решение для ам- плитудной характеристики

(6.255) в уравнение (6.254) с учетом выражения U(x) = b sin(kx) при- водит к трансцендентному уравнению для определения собственных частот системы

Рис. 6.33. Графическое решение уравнения (6.257)

Это уравнение имеет бесконечное количество корней. Его решение можно легко получить численно. Наглядное представление о свойст- вах его корней дает рис. 6.33. Из численного анализа уравнения (6.257) на основе рис. 6.33 вытекает важный вывод о том, что собст- венные частоты с большими номерами имеют асимптотические свой- ства: ωl/c → nπ, отсюда получаем

393

Собственные частоты в уравнении sin(ωl/c) = 0 соответствуют стрежню, закрепленному с обеих сторон (надеемся, что читатель вы- полнил задание, которое было предложено в конце параграфа 6.19). Импеданс сосредоточенной массы возрастает пропорционально час- тоте и, конечно, на высоких частотах наличие массы на конце стрежня становится эквивалентом его жесткого закрепления.

Если в рассмотренной механической системе пренебречь массой стержня, то движение массы М будет описываться простым уравне-

нием [ξ(t) ≡ u(l,t)]:

Для нахождения собственной частоты такой системы нужно опреде- лить жесткость безмассового стержня К. Если стержень растянут на величину ξ, то это соответствует деформации стержня ε = ξ/l, для достижения которой согласно закону Гука необходима сила

Отсюда очевидно, что жесткость стрежня равняется K = ES/l. Таким образом, собственная частота системы без учета массы стержня рав- на

Первый корень уравнения (6.257) в случае не очень большой мас- сы М можно определить, заменяя трансцендентное уравнение алгеб- раическим. При этом следует использовать ряд

Тогда (6.257) преобразуется к виду

В такой форме уравнения, множитель в квадратных скобках следует рассматривать как поправку в значении частоты по сравнению с час- тотой ω0. В первом приближении количественную оценку поправки можно получить, заменяя в скобках значение ω на ω0 и ограничива- ясь лишь первыми двумя слагаемыми. При этом получим

394

здесь m = lSρ — масса стержня.

Полученная приближенная формула может использоваться для оценки поправки к частоте при m/M << 1. Например, при m/M = 1/3 учет массы стержня изменяет собственную частоту системы прибли- зительно на 10 %. Важным для понимания роли дополнительной мас- сы является и знак поправки. Учет массы стержня приводит к уменьшению собственной частоты.

6.21. Изгибные волны в стержне

6.21.1. Характер нагрузки и деформации

Вторым типом движения в стержне будут поперечные волновые движения. Рассмотренная в третьем разделе струна пред- ставляет собой достаточно идеализированную систему, в которой восстановительная сила обусловлена исключительно наличием пред- варительного натяжения. Опыт работы с реальными струнами указы- вает на присущую им способность восстанавливать положение рав- новесия за счет свойств упругости материала. Если для струны вклад собственной упругости в восстанавливающую силу во многих случаях пренебрежимо мал, то для большого количества упругих систем это не так. Линейка, ножка камертона, дерево, которые сги- бается под действием ветра за окном, — лишь бесконечно малая часть того перечня колебательных систем, которые после прекраще- ния действия нагрузки полностью восстанавливают свою форму благодаря внутренним свойствам упругости.

Итак, объектом анализа снова является упругий стержень. Как и в параграфе 6.19, считаем, что характерный размер поперечного сече- ния значительно меньше длины стержня. Для конкретизации рассуж- дений будем рассматривать случай стержня прямоугольного попереч- ного сечения (рис. 6.34). Система координат выбрана на рис. 6.34 так, что ось Ох совпадает с линией центров поперечного сечения стержня, а оси Оу и Oz есть его оси симметрии. Отметим, что полу- ченные при рассмотрении данного стержня специальные соотноше- ния справедливы для стержней любой формы поперечного сечения, если в качестве осей Оу и Oz выбрать так называемые главные цен- тральные оси инерции [51].

Волновые движения в продольно деформированном стержне гене- рировались лишь одним возможным типом возмущений — заданием распределенной нагрузки или продольных смещений на торцах

395

стрежня. В рамках принятой модели нагрузка на боковой поверхно- сти стержня не вызывает в нем деформации.

В данном случае также будем рассматривать специальные типы воздействия. Если говорить о силовых воздействиях, то они могут прикладываться как к торцу, так и к боковым поверхностям стерж- ня. Что касается нагрузки на торце, то возбуждение колебаний воз- можно двумя типами сил — силами, обусловленными нормальными напряжениями σxx(y,z,t) и касательными σxy(y,z,t) (рис. 6.35). Относи- тельно этих сил полагаем, что σxy(–y) = σxy(y) и σxx(–y) = –σxx(y):

Величины М и Q называются соответственно изгибающим моментом и перерезывающей силой. Здесь мы вычислили изгибающий момент и перерезывающую силу по данным напряжениям. Если в каком-либо сечении известны перерезывающие силы Q(x,t) и изгибающий момент M(x,t), то предполагается, что нормальные и касательные напряжения могут быть вычисленные по формулам

где Iz — момент инерции поперечного сечения стержня относительно оси Oz. Эти соотношения выражают суть гипотезы о характере рас- пределения напряжений в стержне при изгибе. В частности предпола- гается равномерное распределение нормальных и касательных на-

396

пряжений по координате z. Такие предположения являются доста- точно точными для описания волновых процессов, если длина волны велика по сравнению с размером поперечного сечения.

Что касается внешнего воздействия, действующего на плоскостях y = ±h /2 , то оно считается нормальным к поверхности, а его равно-

действующая по координате z лежит в плоскости симметрии xOy. Его считаем заданным, если задана именно эта равнодействующая q(x,t) (см. рис. 6.35).

Рис. 6.36. Деформированный элемент стержня

Сделанные предположения относительно характера нагрузки на стержень и распределения напряжений в его поперечном сечении ес- тественно ограничивают типы движения в нем, но эти допущения являются первым существенным шагом на пути к тому, чтобы трех- мерную задачу свести к одномерной. Для того чтобы достичь этой цели, предположения о силовых факторах задачи должны быть до- полнены предположением о характере движения точек стержня при деформации. Считаем, что в процессе деформации, которая возни- кает при сгибе, все точки стержня двигаются параллельно плоскости сечения стержня; сечения, которые до деформации были перпенди- кулярны к его оси, остаются плоскими и перпендикулярными к смещенной оси после деформации (рис. 6.36).

Если представить вектор смещений в виде компонент UP(x,y,z,t) произвольной точки Р стержня (см. рис. 6.34)

В общем случае для угла θ(х) из условия перпендикулярности плоского сечения к оси стрежня имеем

Для малых отклонений стержня от положения равновесия можем по- ложить

Таким образом, зная смещение точек оси стержня w(x,t), можно определить движение всех точек поперечного сечения, и рассматри- ваемая трехмерная задача сводится к одномерной.

6.21.2. Уравнение движения элемента стрежня

Уравнение движения элемента стержня, взятого в проек- ции на ось Оу, получим на основе второго закона Ньютона. Все дей- ствующие на элемент силовые факторы приведены на рис. 6.37. На- правление действия моментов и перерезывающих сил выбирается со- гласно правилу знаков для внутренних напряжений. Напомним, что нормальные напряжения считаются положительными, если они явля- ются напряжениями растяжения; знак касательных напряжений оп- ределяется соответствием направлений нормали к площадке и коор- динатной оси. Если нормаль к площадке совпадает с направлением оси Ох, то касательные напряжения считаются положительными и направленными вдоль оси Оу. Когда нормаль к площадке противопо- ложна оси Ох, положительным считается касательное напряжение, направленное против оси Оу (см. рис. 6.37).

Поскольку нормальные напряжения, которые связаны с момента- ми, не вносят вклад в проекцию на ось Оу, уравнение движения эле- мента стрежня приобретает вид

а после замены приращения перерезывающей силы на ее дифферен- циал:

398

Рис. 6.37. Силовые воздействия, оказывающие влияние на элемент стержня

Это уравнение связывает две неизвестные функции: w (x,t ) и Q (x,t ) и поэтому непосредственно не может быть использовано для

изучения волновых процессов в стержне. Чтобы получить необходи- мое уравнение, необходимо выразить перерезывающую силу через смещение точек оси стержня. Сделаем это в два этапа. Прежде всего, обратим внимание на то, что, кроме смещения вдоль оси Оу, точки стержня принимают участие в определенных вращательных движе- ниях и, следовательно, при описании движения нужно учитывать не только закон сохранения количества движения вдоль оси Оу (6.271), но и закон сохранения момента количества движения относительно произвольной точки в плоскости хОу. Если в качестве такой точки взять точку О1 (рис. 6.37), то при условии симметрии получается, что

q(x,t) в момент сил относительно точки О1 можно пренебречь, и суще- ственными будут лишь изгибные моменты и перерезывающие силы. Положительным считается момент, который действует против часо- вой стрелки, тогда согласно условию равенства нулю моментов отно- сительно точки О1 всех сил, которые действуют на элемент, будем иметь

Задача. Показать, что с учетом сил инерции при записи закона сохранения момента количества движения (6.273) дополняется сла-

гаемыми, которые имеют порядок (dx )2 относительно удерживаемых

в (6.273) слагаемых порядка dx .

После замены приращения момента на дифференциал получаем