Основы_акустики_Гринченко_Вовк

Рассмотрим случай, когда напряжение на поверхности описывает- ся одной пространственной гармоникой exp(iβx1) с круговой про- странственной частотой β, и определим волны, которые порождаются

таким гармоническим пространственным возмущением. Если возму- щения описывается более сложной функцией координат, то ее нужно представить в виде совокупности пространственных гармоник (с по- мощью интеграла Фурье), а потом найти поле, которое возникает в среде при таком возмущении в виде совокупности волн, которые отве- чают каждой пространственной гармонике.

Круговая пространственная частота β связана с пространственным периодом L соотношением β = 2π/L .

Волны, возникающие в среде, описываются векторной функцией смещения u (x1,x3 ), которую можно представить в виде суммы

u = ue + ut , где ue и ut - решения волновых уравнений (6.116). Век- торы: ue = e1ue(1) + e3ue(3), где ue(1) и ue(3) — проекции вектора ue на оси координат Ox1 и Ox3 соответственно, ut = e1ut(1) + e3ut(3), где ut(1) и ut(3) — проекции вектора ut на оси координат Ox1 и Ox3. Амплитудно- фазовые соотношения между векторами смещений ue и ut должны

быть такими, чтобы удовлетворялись граничные условия (6.178). Рассмотрим волновые уравнения относительно проекций векторов

ue и ut . Понятно, что форма этих уравнений одинакова:

Сделаем комментарий к выбору формы решения. Ясно, что если возбуждение – гармоническая функция времени, то и волны будут за- висеть от времени по гармоническому закону с частотой ω (вследствие линейности уравнений). Предположим, что пространственная перио- дичность источника вдоль координаты x1 сохраняется и для поля уп-

ругих волн и зависимость от x1 будет определяться exp(iβx1). Если это

не так, то предположение будет опровергнуто выкладками. Но те же соображения относительно линейности уравнений позволяют надеять- ся, что предположение правильное. Относительно зависимости от ко-

361

ординаты x3 ничего определенного сказать нельзя, кроме одного: если

решение будет иметь вид волн, то эти волны должны распространяться от границы с амплитудой, которая не возрастает в процессе своего распространения.

Предлагаем читателю подставить решение (6.180) в уравнение (6.179) и получить такие выражения для компонент векторов смеще- ний ue и ut :

At(n ) - неизвестные пока комплексные амплитуды.

При условиях β ≤ ke и β ≤ kt эти выражения определяют продоль-

ную (P-волну) (6.181) и поперечную (SV-волну) (6.182) однородные пло- ские волны. Поскольку волновые векторы ke и kt ориентированы в

направлении распространения соответствующей волны (см. рис. 6.21), то угол между этим направлением и осью Ox3 равен

Рис. 6.21. Иллюстрация к определению направлений распространения продольной и поперечной волн

Учитывая, что β = 2π/L , ke = 2π/λe , kt = 2π/λt , где λe и λt - длины продольной и поперечной волн, определим углы θe и θt через соотно-

шение пространственного периода возбуждения L с длинами волн λe и λt :

362

Формулы (6.184) можно получить согласно наглядным геометриче- ским построениям. На рис. 6.22 синусоида отображает график про-

странственного возмущения σ33 (x1,t ) в некоторый момент времени t .

Параллельные прямые линии представляют собой фронты продольной волны, которые находятся на расстоянии λe один от другого, а прямая

ab определяет луч, вдоль которого распространяется продольная вол- на. Как видно, справедливость первой формулы (6.184) становится очевидной. Аналогичные построения можно провести и для попереч- ной волны.

Рис. 6.22. Геометрическая картинка соотношения между пространственным периодом возбуждения L с длиной продольной волны λe

Говоря образно, к пространственной гармонике возбуждения “до- страиваются” две волны: продольная и поперечная, которые распро- страняются под разными углами. Формулы (6.184) можно переписать еще в таком виде:

Как видим, при постоянном пространственном периоде возбуждения L с изменением частоты ω происходит поворот лучей продольной и поперечной волн (при уменьшении частоты ω углы θe и θt увеличи-

ваются). Тот же эффект имеет место если зафиксировать частоту и изменять пространственный период L . Если L и ω таковы, что λe = L

(или λt = L ), то луч, который определяет направление движения волны,

располагается параллельно поверхности. Если же при уменьшении L или ω получаем λe > L , то имеем β > ke . Аналогично при λt > L имеем

β > kt . При таких обстоятельствах, как мы уже знаем, образовываются неоднородные продольная и поперечная волны.

363

Таким образом, при возмущении поверхности полупространства пространственной гармоникой в среде возникают две волны, каждая из которых может быть или однородной, или неоднородной. Запишем

где (следите за проекциями маленьких стрелочек на оси координат

Ox1,Ox3 на рис. 6.21)

что формулы (6.186) и (6.187) одинаково справедливы как для описа- ния однородных, так и неоднородных волн. В последнем случае вели-

лам (6.186)-(6.191). После несложных преобразований, которые реко- мендуем читателю провести самостоятельно, получим систему из двух уравнений относительно искомых амплитудных множителей Ae и At :

Перепишем формулы (6.196), (6.197) в виде удобном для проведе- ния численных расчетов. Для этого разделим числитель и знаменатель

Здесь может быть полезной такая аналогия. Если рассматривать пространственную гармонику возбуждения в качестве входного сигна- ла, саму среду как линейную систему, продольную и поперечную вол-

ны как выходной эффект, то зависимости Ae (β) и At (β) сыграют роль частотной характеристики данной системы.

365

Рис. 6.23. Зависимости модулей амплитудных коэффициентов Ae′ (β′)

(кривая 1) и At′ (β′) (кривая 2) от нормированной пространственной частоты

β′ ; ν = 0,3

На рис. 6.23 представлены зависимости модулей амплитудных ко-

зависимости, нужно обратить особое внимание на возможность равен- ства нулю определителя D (β) . Как мы уже знаем (см. формулы (6.165)-

(6.167)), определитель D (β) имеет единственный действительный ко- рень β = kR . При β = kR амплитудные коэффициенты Ae (β) и At (β)

стремятся к бесконечности. Ситуация, когда кривая частотной харак- теристики механической системы без потерь устремляется в бесконеч- ность, отвечает частоте собственных колебаний системы. Поэтому, по аналогии можем сказать, что пространственная частота β = kR отвеча-

ет волновому процессу, который может существовать в твердом полу- пространстве со свободной границей без внешнего влияния. Этот вол- новой процесс называется волна Релея, которую мы исследовали в па- раграфе 6.11.

Отметим, что, согласно формулам (6.196), (6.197), отношение ам- плитудных множителей At /Ae при β = kR совпадает с формулой

(6.169), которая определяет связь между амплитудами неоднородных волн продольного и поперечного типа в волне Релея. Конечно, так и должно быть (убедитесь в этом самостоятельно).

Глядя на рис. 6.23 отметим также следующее:

1) если β = 0 , т.е. пространственный период L → ∞ , то имеем по-

стоянное возбуждение на всей поверхности полупространства. Понят- но, что в этой ситуации возбуждается только продольная волна. При

366

увеличении пространственной частоты (β > 0 ), т.е. уменьшении вели-

чины L , в среде присутствуют две волны – продольная и поперечная; 2) продольная волна является однородной в диапазоне изменения пространственной частоты 0 ≤ β < ke = kt /q , а поперечная волна есть

однородная при 0 ≤ β < kt . Для всех реальных материалов величина q >1, так при ν = 0,3 имеем q ≈1,87 . Тогда при β′ >1/q ≈ 0,535 (см. рис. 6.23) продольная волна будет неоднородной, при β′ >1 неоднород-

ной будет и поперечная волна. При дальнейшем увеличении величины β′ амплитуды возбуждения обеих неоднородных волн остаются посто-

янными;

пространяется только однородная поперечная волна.

6.13. Методы возбуждения объемных и поверхностных волн

Сформулируем перед собой такую задачу: рассмотреть мо- дель источника, которая описывает практическую возможность воз- буждения продольных, поперечных и поверхностных волн (волн Релея). Ключевым моментом для решения этой задачи является вывод, полу- ченный согласно результатам предыдущего параграфа: для того чтобы создать в полупространстве ту или иную волну, нужно возбудить по- верхность полупространства пространственной гармоникой с подоб- ранной должным образом пространственной частотой β (β = 2π/L , L -

пространственный период). Чтобы получить в полупространстве про- дольную волну под углом θe к оси Ox3 , необходимо выбрать период

пространственной гармоники L = λe /sinθe , где λe - длина продольной

волны (см. рис. 6.22). Одновременно с продольной волной будет рас- пространяться и поперечная волна под углом θt , таким что

sin θt = λt /L . Поскольку λt < λe , угол θt < θe . Если пространственный период λt < L < λe , то в среде однородной остается только поперечная волна. Когда величина L < λt в полупространстве имеем две неодно-

родных волны.

Возможно ли, получить только одну однородную продольную волну, которая распространяется под некоторым углом θe ? Теоретически -

да. Для этого необходимо чтобы напряжение и смещение частичек в пространственной гармонике были такими, как у продольной волны, которая распространяется в бесконечной среде. Но практически реа- лизовать такую возможность очень сложно.

367

Таким образом, используя тот или другой излучатель, необходимо стремиться создать пространственный период возбуждения с пра- вильно подобранным пространственным периодом L . Поскольку лю- бой излучатель имеет конечные размеры, естественно, речь может ид- ти о периодичности возбуждения только на участке, занятом излучате- лем. Влияние конечных размеров источника рассмотрим в следующем параграфе, а пока, рассматривая методы возбуждения, будем игнори- ровать это обстоятельство.

Существует несколько вариантов технической реализации перио- дического возмущения поверхности полупространства. Рассмотрим три метода (которые возможно читатель уже “изобрел”).

Рис. 6.24. Возбуждение волн в твердом полупространстве:

а- метод клина, 1 -пьезопластина, 2 - клинообразная накладка;

б– иммерсионный метод, 1 - пьезопластина, 2 - жидкость;

в- метод гребенки, 1 - пьезопластина, 2 – гребенчатая накладка

Метод клина (рис. 6.24, а). В методе клина используется пьезопла- стина 1, которая совершает толщинные колебания и возбуждает тем самым в клинообразной накладке 2 продольную волну. Эта волна соз- дает на поверхности полупространства возбуждения с пространствен-

368