Основы_акустики_Гринченко_Вовк

5.24. Согласно условию задачи 5.23 плоская гармоническая волна падает в воздухе под углом θ = 60° на границу пористой среды с капиллярами. Определите коэффициент отражения от такой структуры на частоте 1000 Гц, если h = 1 см.

Ответ: V = V exp(–iε), V = 1, ε = 0,72.

5.25. Покажите, что полное отражение от поглощающей среды не- возможно.

5.26. Камертон звучит и приближается к стене со скоростью 25 см/с. Неподвижный наблюдатель, который воспринимает одно- временно прямой и отраженный сигналы, слышит биение с частотой 3 Гц. Определите частоту колебаний камертона.

Ответ: приблизительно 2 кГц.

5.27. Вычислите критические частоты первых трех мод (не считая нулевой) для плоского волновода с идеально жесткими границами толщиной 10 см. Среда волновода — воздух. Будут ли возбуждаться эти моды звуком с частотой 1, 5, 10 кГц? Постройте дисперсионные кривые для фазовой и групповой скоростей указанных мод.

Ответ: звук с частотой 1 кГц не возбуждает ни одну моду; 5 кГц воз- буждает первую и другу моды; 10 кГц возбуждает все три моды, а также четвертую и пятую.

5.28. Определите для мод, которые рассматриваются в задаче 5.27, направление лучей, вдоль которых распространяются плоские волны (с их помощью можно представить соответствующую моду (см. рис. 5.25)). В волноводе возбуждается звук частотой 5 кГц.

Ответ: наклон лучей к границам волновода для первой моды состав- ляет приблизительно 20°, а для второй — 43°.

5.29. Слой воды толщиной 15 м находится над идеально жестким плоским дном. Вычислите критические частоты для первых двух нор- мальных волн.

Ответ: 25 Гц, 75 Гц.

301

Р А З Д Е Л 6

УПРУГИЕ ВОЛНЫ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ

Вот уж форма затвердела, Обожженная огнем. Веселей, друзья, за дело — Выльем колокол! Начнем!

…

Пусть раздастся громче, шире Первый звон его в Мире!

Ф. Шиллер

“Математика тензоров особенно полезна для описания свойств веществ, которые изменяются с направлением, хотя это лишь один из примеров ее использования. Поскольку большинство из вас не собираются стать физиками, а намерены заниматься реальным миром, где зависимость от направления весьма сильная, то рано или поздно, но вам понадобится использовать тензор.” Такую мысль вы- сказывает Фейнман в своих лекциях [56, вып. 7, с. 24], где речь идет о физике сплошной среды. При исследовании напряженного состоя- ния твердого тела понятия “тензора” действительно является очень полезным. В связи с этим, целесообразно, в начале раздела привести некоторые сведения из теории тензоров [1].

6.1. Некоторые сведения из теории тензоров

В акустике, и в физике вообще, приходится иметь дело с физическими величинами разной математической природы. Это от- личие проявляется в характере их аналитического представления и в законах его преобразования при переходе от одной системы коорди- нат к другой.

Простейшими физическими величинами, с точки зрения математически, являются скалярные величины, например масса тела, объем тела, длина вектора, давление и т.п. Такие величины являются инвариантными (от латин-

Шиллер (Schiller) Иоганн Кристоф Фридрих (1759—1805) — немецкий поэт, драматург, историк.

302

ского слова invarians — неизменный) относительно преобразования координат. Каждая такая скалярная величина в любой системе координат выражается одним числом, причем это число не зависит от выбора системы координат.

Далее по сложности математической природы можно указать на векторные величины, например скорость, ускорение, сила и т.п. Векторная величина в трехмерном пространстве определяется тремя числами — тремя проекциями вектора на оси системы координат, или, как говорят, тремя координатами вектора в данном базисе. Напомним, что бази- сом системы координат называют тройку единичных векторов, раз- мещенных в определенном порядке и приложенных к точке О — на- чалу системы координат. В качестве примера на рис. 6.1 показана декартова система координат с базисными векторами е1, е2, е3

(|e1| = |e2| = |e3| = 1).

Рис 6.1. Декартова система координат с базисными векторами e1, e2, e3

После векторов по сложности математической природы идут фи- зические величины, которые называют тензорами. В качестве иллю- страции нового понятия рассмотрим связь между вектором напря- женности электрического поля Е и вектором плотности тока j в про- воднике. Пусть имеем однородный и изотропный проводник (одно- родность означает одинаковые свойства проводника в любой точке, а изотропность — независимость свойств от направления). Тогда со- гласно закону Ома* вектор j параллелен вектору E (рис. 6.2, а), а мо- дуль j — пропорционален модулю E. Таким образом, можно записать

где σ — скалярный множитель (σ > 0), который называют удельной проводимостью. Если выбрать в пространстве некоторый базис e1, e2, e3 и разложить по нему векторы E = (E1, E2, E3) и j = (j1, j2, j3):

* Ом (Ohm) Георг Симон (1787—1854) — немецкий физик.

303

то равенство (6.1) можно заменить эквивалентной системой трех ска- лярных уравнений:

Каждая компонента j пропорциональна соответствующей компоненте E с одинаковым коэффициентом пропорциональности σ.

Если проводником является кристалл, то соотношение между ком- понентами j и E не будет таким простым, поскольку в общем случае электропроводность кристалла анизотропная. Оказывается, что для кристаллов соотношения (6.3) заменяется такими уравнениями:

где σ11, σ12, ... — постоянные. Как видим, каждая компонента j ли- нейно зависит от трех компонент E. Отсюда следует, что вектор j не совпадает по направлению с E (рис. 6.2, б). Каждый коэффициент в уравнениях (6.4) имеет определенный физический смысл. Например, коэффициент σ31 определяет компоненту j, которая параллельна оси Ох3, когда поле Е имеет составляющую вдоль оси Ох1.

Рис. 6.2. Соотношение между векторами плотности тока j и напряженности электрического поля E:

а — в изотропном проводнике, б — в анизотропном проводнике

Таким образом, чтобы определить электропроводность кристалла, нужно задать девять коэффициентов σ11, σ12,... Совокупность этих коэффициентов представляет собой тензор проводимости кристалла, а постоянные σik, i, k = 1,2,3, называют координатами тензора в данном базисе. Подобно тому, как три величины (E1, E2, E3) образуют вектор E, будем говорить, что девять величин (σ11, σ12,…)образуют тензор (σik). Укажем, что, в отличие от вектора, тензору нельзя дать простое геометрическое толкование.

В определение тензора, которое будет дано ниже, входит процеду- ра преобразования его координат при переходе от одного базиса к

304

другому, поэтому в следующем параграфе напомним формулы пере- хода от одного нормированного ортогонального базиса к другому.

6.1.1. Формулы перехода от одного ортогонального базиса к другому

Пусть в трехмерном евклидовом пространстве заданы два произвольных ортогональных нормированных базиса е1,е2,е3 и e1′ ,e′2,e′3 с общим началом в некоторой точке. Согласно определению

ортогонального нормированного базиса имеем такие соотношения для скалярных произведений базисных векторов:

Базисы e1,e2,e3 и e1′ ,e′2,e′3 будем условно называть старым и новым. Разложив векторы нового базиса по старому, получим

e1′ = α11e1 + α12e2 + α13e3,

Часто при работе с тензорами, для компактной записи, использу- ют правило суммирования (его предложил Эйнштейн): если в одном и том же члене выражения индекс встречается два раза, то автомати- чески проводим суммирование по этому индексу. Тогда, выражение

Индекс j в формуле (6.8) называют индексом суммирования (немым индексом). Понятно, что для немого индекса можно использовать

305

называется матрицей перехода от старого базиса е1, е2, е3 к новому базису e1′ ,e′2,e′3 .

Определим свойства этой матрицы. Умножим вектор ei′ = αi1e1 + + αi2e2 + αi3e3 скалярно на вектор e′j = αj1e1 + αj2e2 + αj3e3 (или, ко- ротко, ei′ = αik ek и e′j = αjeee ). Принимая во внимание (6.5), получаем

т.е., сумма квадратов элементов любой строки матрицы равняется единице, а сумма произведения соответствующих элементов двух разных строк матрицы равняется нулю. Матрица ||αij||, для которой выполняется условие (6.10), называется ортогональной. Таким обра- зом, матрица перехода от одного ортогонального нормированного ба- зиса к другому является ортогональной.

Умножив скалярно (6.7) на еk, найдем

новой системы координат и осью Oxk старой системы координат. Хо- тя cos (ei′ ek )= cos (ek ei′ ), но порядок индексов в αik важен: первый

индекс соответствует новому базису, а второй — старому. Понятно,

что αik ≠ αkі.

Теперь разложим векторы старого базиса е1, е2, е3 по новому бази-

су e1′ ,e′2,e3′ :

e1 = α11e1′ + α21e2′ + α31e′3,

Матрица перехода от нового базиса к старому имеет вид

306

Как видим, матрица (6.15) получается из матрицы (6.9) заменой строк на столбцы. Такая матрица называется транспонированной.

6.1.2. Определение ортогонального тензора

При построении формальной теории тензоров оказывает- ся, что скалярные величины и векторы можно включить в число тен- зоров. Так, скалярная величина L, инвариантная относительно пере- хода от одного ортогонального нормированного базиса к другому, на- зывается ортогональным тензором нулевого ранга. Температура, мас- са, длина вектора, давление являются ортогональными тензорами ну- левого ранга. Проекция вектора, скажем, на первую координатную ось является скалярной величиной, не инвариантной относительно перехода от одного базиса к другому, поэтому она не является тензо- ром нулевого ранга.

Представив вектор как тензор, можно дать такое определение. Пусть величина L определяется в произвольном ортогональном нор- мированном базисе тремя числами: в базисе е1,е2,е3 числами L1,L2,L3,

где αik — матрица перехода от базиса е1,е2,е3 к базису e1′ ,e′2,e′3 , то величину L называют ортогональным тензором первого ранга и обо- значают символом (Li), т.е. L ≡ (Li). Числа Li, i = 1,2,3, называют коор- динатами тензора L в базисе е1,е2,е3, а числа Li′ , i = 1,2,3, соответст-

венно, — координатами этого тензора в базисе e1′ ,e′2,e′3 .

Покажем, что любой вектор x является ортогональным тензором

Умножив (6.17) скалярно на ei′ , и учитывая (6.5) и (6.11), получим

307

3

xi′ = αi1x1 + αi2x2 + αi3x3 = ∑ αik xk , i =1,2,3. (6.18) k =1

Формулы (6.18) имеют такой же вид, что и формулы (6.16). Таким об- разом, вектор х является ортогональным тензором первого ранга. Очевидно, каждый ортогональный тензор первого ранга можно рас- сматривать как вектор.

Согласно формуле (6.17) соответственно имеем

Сформулируем теперь определение тензора второго ранга. Пусть величина L определяется в каждом ортогональном нормированном базисе девятью числами: в базисе е1,е2,е3 числами Lij, i, j = 1,2,3, в ба-

величину L называют ортогональным тензором второго ранга и обо- значают символом (Lij), т.е. L ≡ (Lij). Числа Lij, i, j = 1,2,3, называют ко- ординатами тензора L в базисе е1,е2,е3, а числа Lij′ , i, j = 1,2,3, — его

координатами в базисе e1′ ,e′2,e′3 .

Аналогично формулируется определение ортогонального тензора произвольного ранга р, который определяется совокупностью 3р чисел (для тензора второго ранга р = 2). Пусть величина L определяется в каждом ортогональном базисе е1,е2,е3 совокупностью 3p чисел:

ортогональному нормированному базису e1′ ,e′2,e′3 эти числа преобра- зуются по закону

где αij — матрица перехода от базиса е1, е2, е3 к базису e1′ ,e′2,e′3 , то величину L называют ортогональным тензором p-го ранга и обозна-

308

чают символом (Li1i2...ip ), т.е. L ≡ (Li1i2...ip ). Числа Li1i2...ip , называют координатами тензора L в базисе е1,е2,е3, а числа Li′1i2...ip — его коор-

динатами в базисе e1′ ,e′2,e′3 .

В определениях мы ограничились лишь множеством ортогональ- ных нормированных базисов и определили соответствующие им орто- гональные тензоры. Поскольку никакие другие тензоры, кроме орто- гональных, не будут рассматриваться, то дальше всюду они называ- ются просто тензором. Отметим также, что определения сформули- рованы для трехмерного пространства. Аналогично их можно сфор- мулировать и для N-мерного пространства, но это нам не понадобит- ся.

6.1.3. Связь между тензорами второго ранга и линейными операторами

Напомним, что линейным оператором или линейной век-

тор-функцией называется функция

которая каждому вектору х ставит в соответствие вектор y и для ко- торой выполняется равенство

е1,е2,е3. Умножим скалярно обе части уравнения (6.25) на еі. Прини- мая во внимание (6.5), получаем

Подставляя в формулу (6.27) выражения

309

Формулы (6.29) совпадают с формулами (6.20); итак, показано, что линейный оператор L является тензором второго ранга. Можно также доказать, что каждому тензору второго ранга (Lij) однозначно ставит- ся в соответствие линейный оператор. Такое представление тензора второго ранга широко используется в физике. Возможно и другое ин- тересное представление тензора, которое рассмотрим в следующем параграфе.

6.1.4. Связь между тензорами и инвариантными полилинейными формами

Пусть задана тройка чисел b1,b2,b3 , причем эти числа при

переходе от одной системы координат к другой преобразуются так, что величина b1x1 +b2x2 +b3x3 , где x1,x2,x3 — координаты произ- вольного вектора x , остается инвариантной. Выражение b1x1 +b2x2 +b3x3 , обладающее таким свойством, называют линейная

форма. Тогда величины bi, i = 1,2,3, образуют тензор первого ранга. Убедимся в этом.

Подставим в правую часть (6.30) выражение xk = αik xi′(см. (6.19)), то- гда имеем

Как видим, коэффициенты линейной формы b1, i = 1,2,3, преобразу- ются при переходе от одной системы координат к другой как коор- динаты тензора первого ранга (см. (6.16)).

Аналогично, коэффициенты инвариантной билинейной формы

310