Основы_акустики_Гринченко_Вовк

где хi и yj — координаты некоторых векторов x = (x1, x2, x3) и y = (y1, y2, y3), образуют тензор второго ранга. Действительно, пусть в базисе

для любых векторов x и y. Подставив в правую часть уравнения (6.34) выражение старых координат векторов х и у через новые:

которое и требовалось доказать (см. (6.20)). Аналогично совокупность коэффициентов инвариантной полилинейной формы ранга р ≥ 1 об- разует тензор р-го ранга.

Билинейна форма называется симметричной, если bij = bji. Поло- жив в симметричной билинейной форме y = х, получим так называе-

Коэффициенты bij инвариантной квадратичной формы образуют

симметричный тензор второго ранга (bij), т. е. тензор для которого имеет место соотношение bij = bji. Таким образом, если имеем симмет- ричный тензор (bij), то он определяет единственную квадратичную

форму bij xi xj.

Пусть имеем (bik) — симметричный тензор второго ранга. Образуем с его помощью квадратичную форму bij xi xj и рассмотрим совокуп-

Уравнение (6.40) является уравнением поверхности второго порядка,

которую называют характеристической поверхностью тензора (bij).

В частном случае, когда все bij > 0, получим уравнение эллипсоида. Известно [8], что поворотом осей координат уравнение поверхности

311

ными числами. Далее последовательно подставляем каждое λi, i = 1,2,3, в систему уравнений (6.44). Соответствующее для каждого

λi, i = 1,2,3 решение системы (6.44) в виде трех чисел yk(i ), i,k = 1,2,3,

определяет компоненты вектора y(i ) = (y1(i), y2(i), y3(i)), который колли-

неарен одному из главных направлений.

Теперь покажем, что три главные направления тензора являются ортогональными. Пусть три главных значения различны по величине:

Вследствие симметрии тензора bik = bki левые части уравнений (6.46) будут одинаковыми. Отсюда имеем

что приводит (напомним, что λ1 ≠ λ2) к условию ортогональности век- торов y(1) и y(2): yi(1)yi(2) = y(1)y(2) = 0 (два вектора ортогональны, если их

скалярное произведение равно нулю). Аналогично можно доказать, что y (1) y (3) и y (2) y (3). Можно показать, что три взаимно перпен- дикулярные главные направления существуют и в случае, когда уравнение (6.45) имеет кратные корни [1].

Большое значение имеют величины, составленные из компонент тензора, которые не изменяются при переходе к новой системе ко- ординат. Их называют инвариантами тензора. Определим инвари- анты тензора второго ранга, пользуясь тем, что решения уравнений (6.45) являются главными значениями тензора, а, следовательно, не зависят от выбора системы координат. Тогда, раскрыв определитель (6.45), можно утверждать, что коэффициенты полученного уравне- ния, которые выражаются через компоненты тензора bik, не должны зависеть от системы координат. Таким образом, согласно (6.45) име- ем уравнение

313

Отсюда искомые инварианты имеют вид

b31 b32 b33

Заметим, что кроме рассмотренных инвариантов, существует множество других, поскольку произвольная от них функция есть также инвариантом. Например, часто используют комбинацию инва- риантов І1 и І2 вида

которая всегда является положительной суммой квадратов элементов тензора.

Инварианты І1, І2, І3 можно выразить через главные значения λ1, λ2, λ3 как корни уравнения (6.48). Поскольку уравнение (6.48) можно записать в виде

(λ − λ1)(λ − λ2 )(λ − λ3 ) = 0 ,

Вообще, если некоторая величина представляет собой симметрич- ный тензор второго ранга, то ее физический смысл фактически опре- деляется тремя инвариантами (6.49).

6.2. Твердое упругое тело как акустическая среда

В п. 4.1.1 построена модель акустической среды в виде идеальной сжимаемой жидкости. Подумаем над тем, какими свойст- вами нужно дополнить эту модель, чтобы ее можно было использовать для описания волновых процессов в твердых телах. Согласно модели идеальной сжимаемой жидкости работа, которая выполняется над

314

жидкостью (или газом), зависит только от изменения ее объема, и не зависит от формы сосуда, в котором она находится. Жидкости ока- зывают сопротивление при изменении их объема, но не оказывают сопротивление при изменении формы. Это свойство определяется из- вестным законом Паскаля*, согласно которому давление передается во все стороны одинаково. Например, если сжимать жидкость порш- нем, то одинаковое давление будет действовать со стороны жидкости на все стенки сосуда. При этом любая сила давления, которая дейст- вует на жидкость или передается ею, всегда перпендикулярна к по-

верхности стенки: касательная к поверхности сила, которая не уравновешивается отсутствующим в жидкости сопротивлением изменению формы, не может существовать в условиях равновесия.

Твердые упругие тела, наоборот, оказывают сопротивление изме- нению, как объема, так и формы. Как говорят, они оказывают сопро- тивление любой деформации. Работа должна выполняться и в том случае, когда мы хотим изменить форму тела, не изменяя его объем. Можно считать, что внутренняя энергия твердого тела зависит не только от объема, но и от формы. С этим связано то обстоятельство, что для твердых тел закон Паскаля не выполняется. Давление, кото- рое передается твердым телом, будет различным в разных направле- ниях. Сила, которая возникает в твердом теле при его деформирова- нии, называется упругим напряжением. В отличие от давления в жидкости сила упругих напряжений в твердом теле может иметь лю- бое направление относительно площадки, на которую она действует.

Итак, в твердом теле картина напряженного состояния более сложная и требует более детального анализа картины деформаций. Как увидим далее, здесь вместо скаляров - давления и сжатия - появ- ляются тензор напряжений и тензор деформаций.

6.3. Тензор напряжений

В недеформированном теле распределение частиц среды отвечает его состоянию теплового равновесия. При этом каждый ус- ловно выделенный в теле объем находится в состоянии механическо- го равновесия. Внешние силы, которые действуют на физическое те- ло, можно отнести или к объемным, т.е. распределенным по всему объему тела (например, сила тяготения), или к поверхностным, т.е. распределенным на поверхности (например, давление, действующее на поверхность, которая ограничивает тело). Под действием внешних сил тело деформируется, т.е. происходит относительное перемещение

* Паскаль (Pascal) Блез (1623—1662) — французский математик, физик и философ.

315

частиц тела. Вследствие этого в теле возникают внутренние силы, которые противодействуют процессу деформирования.

Рис. 6.3. Условно выделенная в теле элементарная площадка

Напомним, что модель акустической среды представляет собой сплошную среду. Поэтому, если условно выделить в деформирован- ном теле область V, которая ограничена поверхностью S (рис. 6.3), то действие внутренних сил на частицы, которые находятся вне области V и наоборот, происходит непосредственно через поверхность S. Вы- делим на поверхности S малый поверхностный элемент dS; сила, ко- торая действует на него, имеет вид σdS, σ — некоторый конечный вектор. Точкой приложения вектора σ можно считать любую точку, которая принадлежит элементу dS. Итак, вектор σ представляет со- бой вектор внутренних усилий, которые рассчитываются на единицу площади; его называют вектором напряжения в точке.

Усилие σdS есть сила взаимодействия частей тела, которые при- ложены с одной и с другой стороны к поверхностному элементу dS. При этом согласно направлению нормали n (рис. 6.3) σdS определяет силу, с которой часть среды, которая находится вне V, действует на часть, которая принадлежит V; сила, с которой часть среды в середи- не V действует на часть тела вне V, на основе принципа равенства действия и противодействия будет равна –σdS.

Вообще, любая площадка (т.е. поверхностный элемент), которая условно проведена внутри тела, разделяет две части тела, которые примыкают к площадки. Для того, чтобы различать две части тела, проводят нормаль n к площадке и приписывают ей некоторое поло- жительное направление (рис. 6.3). Итак, под усилием, которое дейст- вует на площадку, мы всегда будем понимать силу, с которой часть тела, которая находится с положительной стороны нормали, действу- ет на часть, которая находится с отрицательной стороны.

Таким образом, когда рассматриваются усилия, которые действу- ют со стороны окружающей среды на поверхность S, ограничиваю- щую некоторый объем V, нужно провести нормаль к S, которая будет

внешней относительно V. Другими словами, растягивающие усилия относительно области V считают положительными, а сжимающие

316

(векторы σ и n имеют противоположные направления) — отрица-

тельными. В общем случае, вектор напряжения σ в некоторой точке твердого тела зависит от ориентации площадки dS. Поэтому именно совокупность всех векторов напряжений σ в точке для всех направ- лений n определяет напряженное состояние в точке. Понятно, что имеем бесконечное множество таких векторов напряжения!

Однако такая ситуация не является безвыходной. Оказывается, напряженное состояние в трехмерном тела записывается в виде тен- зора. Убедимся в этом. В общем случае напряженное состояние при переходе от точки до точки изменяется, но всегда есть возможность выбрать в окрестности любой точки довольно малую область, для ко- торой напряженное состояние можно считать однородным. Такой подход возможен только в пределах принятой гипотезы сплошной среды, которая позволяет переход к предельно малым объемам.

Рис. 6.4. Вектор напряжения на гранях параллелепипеда

Чтобы описать напряженное состояние в точке, представим себе, что через нее проведены три площадки, перпендикулярные к осям координат Ох1, Ох2, Ох3 декартовой системы, причем в качестве поло- жительного направления нормалей к этим площадкам возьмем поло- жительные направления соответствующих осей. Пусть напряжения на этих трех площадках считаются определенными. Для этого в окре- стности исследуемой точки выделим элементарный объем в виде прямоугольного параллелепипеда (рис. 6.4). Если размеры параллеле- пипеда уменьшать, то он будет стягиваться в точку, тогда в пределе все грани параллелепипеда будут проходить через точку. Поэтому на- пряжение на соответствующих площадках можно рассматривать как напряжение в исследуемой точке.

Рис. 6.5. Разложение вектора σ(3), который действует на элемент поверхности x3 = const, на три компоненты

317

Вектор напряжения на каждой площадке можно разложить на три составляющие по координатным осям Ох1, Ох2, Ох3. Например, для вектора напряжения σ(3) на площадке x3 = const имеем (рис. 6.5):

Рис. 6.6. Компоненты вектора напряжения на гранях объемного элемента

На рис. 6.6 показаны составляющие векторов напряжений на трех гранях параллелепипеда (т.е. на трех взаимно перпендикулярных площадках, которые проходят через исследуемую точку тела). По- скольку выделенный параллелепипед находится в состоянии равнове- сия, то на его противоположных (невидимых) гранях (рис. 6.6) возни- кают соответственно те же напряжения, но противоположно направ- ленные.

Теперь покажем, что девять величин (6.54) достаточно, чтобы пол- ностью описать внутреннее напряженное состояние и что σij — дейст- вительно тензор. Для этого нужно убедиться в том, что по известным девяти числам (6.54) для некоторой точки тела можно найти вектор

напряжения σ(n ) = (σ1(n ),σ(2n ),σ(3n )) на произвольно ориентированной площадке, которая проходит через исследуемую точку.

318

Рис. 6.7. Вектор и компоненты напряжения на поверхностях элементарной пирамиды

Еще раз выделим в окрестности исследуемой точки элементарный объем, но уже не в виде параллелепипеда, а в виде пирамиды (рис. 6.7). Три грани выделенного элемента совпадают с координат- ными плоскостями декартовой системы координат, а четвертая явля- ется плоскостью общего положения. Ее ориентацию в пространстве определяют направляющие косинусы нормали n = (n1, n2, n3):

Если плоскость грани ABC элементарной пирамиды (рис. 6.7) обозна- чить dS, то площади граней ОВС, ОАВ, ОАС соответственно будут иметь вид

Элементарная пирамида (рис. 6.7) имеет такие же свойства, что и рассмотренный выше параллелепипед. При уменьшении размеров она стягивается в точку, и, следовательно, все ее грани проходят че- рез эту точку. Поэтому напряжение на гранях элементарной пирами- ды можно рассматривать как напряжение в исследуемой точке, но на ориентированных по-разному площадках.

Поскольку выделенный на рис. 6.7 объем в виде пирамиды нахо- дится в равновесии, сумма всех сил, которые действуют на грани пи- рамиды, должна равняться нулю. Объемные силы здесь можно не учитывать, поскольку они пропорциональны х1 х2 х3 и при хі → 0 будут бесконечно малыми по сравнению с поверхностными, которые пропорциональны х1 х2, х2 х3 и т.п. Тогда сумма проекций поверх- ностных сил на каждую координатную ось равна нулю. Например, для оси Ох1 имеем

Знаки минус в уравнении (6.57) обусловлены тем, что внешние нор- мали к площадкам OAB, OBC, OAC противоположны базисным векто- рам е1, е2, е3 координатной системы. Сокращая на dS и записывая аналогичные уравнения для осей Ох2 и Ох3, получаем

Рис. 6.8. Компоненты сил, которые действуют на грани сечения маленького кубика

Итак, мы действительно можем выразить вектор напряжения σ(n ) = (σ1(n ),σ(2n ), σ(3n)), который действует на произвольно ориентиро-

ванную площадку с вектором нормали n = (n1, n2, n3) через величины σij и полностью описать внутреннее напряженное состояние. Выра- жение (6.59) позволяет утверждать, что величины σij задают тензор второго ранга, ведь σ(n) и n — векторы, а коэффициенты σji определяют соответствующий линейный оператор (см. п. 6.1.3).

Тензор σij называют тензором напряжений. Покажем, что тензор напряжений есть симметричный тензор (σji = σij). Для этого рассмот- рим элементарный кубик, ребра которого совпадают с отрезками ко- ординатных осей. На рис. 6.8 приведено сечение кубика плоскостью х3 = 0. Стрелками показаны компоненты сил, которые действуют на его грани. Для равновесия кубика необходимо, чтобы суммы дейст-

320