Основы_акустики_Гринченко_Вовк

Рис. 5.42. График функции Gm (k ) при величине h′ =1,7 ; m =1,2,3,4,5

Дальнейшее увеличение величины h′ еще более усложняет анализ структурных изменений импульсного возмущения в процессе его рас- пространения. Поскольку существенный вклад будут вносить моды более высоких номеров, то явление деструктивной интерференции можно будет наблюдать и в акустически жестком волноводе. Вообще, сохранить форму исходного сигнала в процессе его распространения в многомодовом волноводе практически невозможно.

Таким образом, при распространении импульсного сигнала в вол- новоде его пространственно-временная структура, вследствие дис- персии и особенности волновода как фильтра, претерпевает измене- ния. Представленные расчеты временных зависимостей давления в волноводе дают наглядную картину характера и степени искажения формы исходного сигнала в процессе его распространения.

291

Рис. 5.43. Временные зависимости давления при распространении сигнала

1, h′ =1,7 , z /h = 0,5 :

а, в – акустически мягкий волновод; б, г – акустически жесткий волновод;

а, б – x′ =1; в, г – x′ = 7

292

5.16. Особенности распространения звука в движущейся жидкости

До сих пор мы рассматривали распространения звука в неподвижной среде, т. е. при отсутствии течений. Однако есть не- мало практически важных ситуаций, когда акустические устройства различного назначения излучают звук в среду с течениями. Соответ- ствующие примеры дает воздушная акустика в пространстве вне помещения, морская акустика, медицинская акустика. Как влияет движение среды на законы распространения звука? Конечно, можно предвидеть, что звуковые волны будут сноситься течением. Но это не все, ведь в движущейся жидкости давление и плотность зависят от скорости течения (точнее от векторного поля течения, которое в общем случае изменяется в пространстве и времени). От давления и плотности зависит скорость звука, поэтому при наличии течения среда становится неоднородной. Изучение данной проблемы начнем

свывода уравнений для звуковых волн в движущейся среде.

5.16.1.Уравнения звуковых волн в движущейся жидкости

Исходными, для поставленной задачи, являются общие уравнения акустики (см. раздел 4). Перепишем их с использованием оператора

Гамильтона = i ∂∂x + j ∂∂y + k ∂∂z , здесь i, j, k — единичные орты де-

картовой системы координат. Таким образом, исходные нелинейные уравнения имеют вид

где P = P0 + p , ρ = ρ0 + ρ , V = V0 + v . Здесь давление P0 , плотность ρ0 и скорость течения V0 определяют состояние среды при отсутствии

звуковой волны. Величины p,ρ , v — переменные составляющие дав- ления P , плотности ρ и скорости V соответственно, которые обу-

словлены присутствием звуковой волны в среде. Как и в разделе 4 полагаем, что имеют место такие неравенства:

Гамильтон (Hamilton) Уильям Роуан (1805-1865) — ирландский математик.

293

Колебательные величины p,ρ , v полагаем величинами первого

порядка малости. Если они перемножаются, то образуется величина второго порядка малости. Далее будем пренебрегать величинами вто- рого порядка малости (как мы делали при выводе волнового уравне- ния в разделе 4). Кроме того, ограничимся рассмотрением только та- ких течений, в которых скорость течения V0 не зависит от времени,

и, кроме того, изменяется в пространстве настолько медленно, что градиент этой скорости является величиной второго порядка малости и им можно пренебрегать в сравнении с градиентом колебательной скорости в звуковой волне. Другими словами, мы ограничиваемся рассмотрением таких течений и частот звука, для которых на протя- жении длины звуковой волны скорость течения изменяется очень ма- ло. Вследствие этого можно пренебрегать также градиентами средне- го давления P0 и средней плотности ρ0 (которые возникают именно

за счет изменения скорости течения). Можно также пренебрегать градиентами величин производных от среднего давления и средней плотности, например градиентом скорости звука (см. формулы (4.17), (4.20)). Когда мы говорим, что градиентами разных величин пренеб- регаем, у читателя не должно складываться впечатление, что мы по- лагаем эти величины постоянными. Нет, они и в дальнейшем рас- сматриваются как функции координат, но достаточно медленные, чтобы пространственными производными от них можно пренебре- гать, если они присутствуют как члены суммы вместе с другими сла- гаемыми.

Перейдем к выводу уравнения звуковых волн в среде при наличии течения. Обратимся к уравнению (5.246). В нем присутствует полная производная по времени и ее следует вычислять с учетом движения среды. Итак,

Мы пренебрегли первыми тремя членами в скобках в соответствии с принятыми выше приближениями. Таким образом, и далее будем по- лагать, что вычисление полной производной по времени от некоторой величины определяется по формуле

Принимая во внимание формулу (5.250) и, пренебрегая градиентом среднего давления, запишем уравнение (5.246) в виде

Упростим уравнение (5.247), пренебрегая градиентом средней плот- ности и другими величинами второго порядка:

Линеаризированное уравнение (5.248) имеет вид (см. (4.26), (4.2 7))

где c = γP0 /ρ0 — скорость звука в среде.

Учитывая (5.254), перейдем от трех уравнений (5.252)-(5.254) к

Получим из этих двух уравнений одно уравнение относительно давле- ния. Для этого (5.255) дифференцируем по координатам (или, что то же самое, формально умножаем на оператор Гамильтона ), а (5.256) дифференцируем по времени (имеется в виду полная производная) и вычитаем из первого уравнения второе. Предлагаем читателю само-

ках принятых приближений, при вычитании дают нуль. В результате получаем уравнение для звукового давления в виде

Это уравнение отличается от обычного волнового уравнения (4.27) (и весьма существенно) тем, что в нем присутствует полная вторая производная по времени (которую следует вычислить по правилу (5.251)) вместо частной производной как в уравнении (4.27).

5.16.2. Волны в движущемся жидком полупространстве, возбуждаемые пространственной гармоникой

В параграфе 5.10 мы рассмотрели задачу определения звукового поля в жидком полупространстве при заданном гармониче- ском во времени и пространстве давлении на его поверхности. Было установлено, что в результате такого воздействия на поверхность жидкости в ней возникает плоская волна, которая распространяется вглубь жидкости под некоторым углом к поверхности, зависящем от пространственного периода гармонической составляющей давления на поверхности.

295

однородную волну, которая распространяется в полупространстве под углом θ к оси Oz , таким что

но затухающей вглубь полупространства.

Как видно с формулы (5.264), чем больше скорость течения, тем больше угол наклона направления распространения волны к оси Oz , т. е. волна сносится течением. При достаточно большой скорости те-

чения Vc0 > kβ −1 = Lλ −1 волна становится неоднородной.

Введем лучевую координату r , которую будем отсчитывать вдоль направления распространения волны. Относительно этой координаты

и, как видим, зависит от скорости течения. Эта зависимость исполь- зуется в ультразвуковых приборах для измерения скорости течения. Обратите внимание на тот факт, что частота волны (частота сигнала, который принимается в точке на расстоянии r ) равна частоте излу- чения, т. е. в данном случае эффект Доплера не наблюдается. Это ес- тественно, ведь излучатель и точка наблюдения не движутся один от- носительно другого, движется только жидкость.

5.17. Задачи

5.1. Две плоские звуковые волны — одна в воде, другая в воздухе — имеют одинаковую интенсивность. Покажите, что отно- шение их амплитуд давления приблизительно равняется 60. Покажи-

297

те, что при равенстве амплитуд давлений отношение интенсивностей приблизительно составляет 0,0003.

5.2. Определите амплитуду колебательной скорости частиц среды, амплитуду давления и интенсивность звука, если известно, что потен- циал скорости определяется выражением ϕ = 5 10–3 cos(1256t – kx). Сре- да — воздух.

Ответ: 1,9 10–2 м/с, 8 Па, 7,6 10–2 Вт/м2.

5.3. Определите амплитуду перемещения частиц среды в поле плоской волны, если частота колебаний равняется 1000 Гц, а эффек- тивное давление — 0,2 Па. Среда - воздух.

Ответ: 1,1 10–7 м.

5.4. Отношение удельных акустических сопротивлений двух сред составляет 100. На плоскую границу их раздела нормально падает волна из менее жесткой среды с амплитудой давления 5 Па. Опреде- лите давление в прошедшей волне. Найдите давление в прошедшей волне, если волна с давлением 5 Па падает из более жесткой среды.

Ответ: 9,9 Па, 0,099 Па.

5.5. Какой должна быть амплитуда скорости движения излучателя плоской волны, если он создает волну с интенсивностью 10–4 Вт/м2. Среда — воздух.

Ответ: 6,8 10–4 м/с.

5.6. Определите отношение амплитуд колебательной скорости бе- гущей плоской волны в воде и воздухе при одинаковом акустическом давлении.

Ответ: 3600.

5.7. Амплитуда колебательной скорости в плоской гармонической волне в воде равняется 5 10–5 см/с. Определите амплитуду смещения и звуковое давление на частоте 100 Гц. Как изменятся эти величины, если ту же самую колебательную скорость будет иметь волна в воздухе.

Ответ: 8 10−10 м; 0,75 Па; 2,1 10−4 Па.

5.8. Определите критический угол падения плоской волны на гра- ницу раздела масло (скорость звука 1350 м/с, плотность 850 кг/м3) — вода. Определите коэффициент прохождения звука в воду, если угол падения равняется сорок пять градусов.

Ответ: 65,60; 0,96.

5.9.Чем отличается отражение плоской негармонической волны от границы раздела двух сред при падении под углом θ > θкр и θ < θкр?

5.10.Почему неоднородная волна не может существовать в беско- нечном пространстве?

298

5.11. При угле падения волны θ > θкр на границу раздела в другой среде возникает неоднородная волна. В ней частицы двигаются по эллипсам. Определите зависимость отношения диаметров эллипсов от угла падения θ. Постройте график этой зависимости для сред вода- воздух.

5.12.Покажите, что для чисто мнимого входного импеданса слоя звук полностью отражается от слоя.

5.13.Найдите выражение для интенсивности звука при суперпо- зиции двух плоских гармонических волн одинаковой частоты, кото-

рые имеют интенсивности I1 и I2 и разность фаз α, в случае одинако- вого направления обеих волн; противоположного направления волн.

Ответ: I = I1 + I2 + 2 I1I2 cos α, I = I1 – I2.

5.14. Самолет летит к вертикальной скале со скоростью, которая равна половине скорости звука, и излучает короткие тональные от- резки (цуги) с частотой 1000 Гц. Найдите частоту эхо-сигнала, отра- женного от скалы.

Ответ: 3000 Гц.

5.15. Скорость потока крови в аорте приблизительно равняется 0,28 м/с. Вдоль потока направляют ультразвуковые волны с частотой 4,2 Мгц. Эти волны отражаются от эритроцитов. Какой будет частота отраженной волны? Считайте, что скорость звука в крови равняется скорости звука в воде.

Ответ: 1,6 кГц.

5.16. Определите ослабление звука с частотой 1000 Гц при прохо- ждении по нормали сквозь стальную пластину толщиной 2,54 см, ко- торая разделяет два резервуара с водой.

Ответ: 0,86.

5.17. Из воды нормально к границе раздела вода-дно моря набега- ет плоская гармоническая волна. Определите скорость звука в среде дна моря, если согласно измерениям звукового поля отношения мак- симума к минимуму звукового давления равняется 3,16, а первый ми- нимум размещен на расстоянии четверти длины волны от поверхности дна. Плотность донной среды — 2,2 г/см3.

Ответ: 2160 м/с.

5.18. Найдите решение задачи 5.17 при условии, что первый минимум расположен на поверхности дна.

Ответ: 216 м/с.

5.19. Определите фазовую скорость гармонической с частотой ω неоднородной волны, которая распространяется вдоль плоской гра-

299

ницы, если известно, что при отдалении от границы на расстояние l амплитуда волны уменьшается в е раз.

5.20. На одном конце (х = 0) трубы (длина 30 см, площадь сечения 10 см2) размещен поршень, который создает в трубе гармоническое звуковое поле. На втором конце (x = 30 см) трубы, которая заполнена

воздухом, размещена заглушка. Измерение звукового давления пока- зало, что в точках х = 3, 15, 27 см имеем максимум амплитуды давле- ния, которое равняется 1 Па. Минимальная амплитуда давления со- ставляет 0,657 Па и наблюдается в точках х = 9, 21 см. Найдите вход- ное сопротивление заглушки и частоту звука.

Ответ: 4201−i0,207 , 1440 Гц. 1+ i0,207

5.21. Для данных волновых уравнений получите дисперсионные уравнения:

5.22. Определите гармоническое звуковое поле в полупространст- ве z > 0, если на плоскости z = 0 оно имеет след в виде двойного ряда Фурье:

p(x,y) = ∑∑gmn exp(imξx + inηy).

m n

5.23. Плоская гармоническая волна падает под углом θ на плоский слой толщиной h, который опирается на акустически жесткую по- верхность. Среда слоя представляет собой пористую структуру из ка- пилляров, которые перпендикулярны к поверхностям слоя. Ширина капилляров мала по сравнению с их глубиной h и длиной волны λ. Пренебрегая потерями энергии на стенках капилляров вследствие трения, определите коэффициент отражения по давлению.

Ответ: V = ictg(kh )cosθ −1, k = 2π. ictg(kh )cosθ+1 λ

300