Основы_акустики_Гринченко_Вовк

ной волны. Такую волну называют антисимметричной волной Лэмба.

Здесь между амплитудными коэффициентами имеем такие равенст- ва: a2 = –a1, b2 = b1, тогда

Далее нужно записать граничные условия — это равенство нулю на- пряжений σ33 и σ31 при x3 = ±h:

Отсюда получаем дисперсионное уравнение, т.е. уравнение, которое связывает постоянную распространение k с частотой ω для каждой нормальной волны; определив k, можно найти и отношение ампли- тудных коэффициентов А и В или С и D.

Определим необходимые уравнения для волн симметричного типа. После подстановки (6.232) в (6.234) и проведения несложных преоб- разований запишем такую систему алгебраических уравнений:

kt (kt2 − 2k2 )cos(ηeh )A + 2kηt cos(ηth )B = 0, ke

уравнения (6.236) устанавливает связь между ω и k и дает возмож- ность согласно уравнениям (6.235) определить отношение амплитуд- ных коэффициентов А и В. Таким образом, симметричная волна Лэм- ба (6.232) задана.

Аналогичные уравнения получим для волн антисимметричного ти- па. После подстановки (6.233) в (6.234) приходим к системе алгебраи- ческих уравнений:

kt (kt2 − 2k2 )sin(ηeh )C + 2kηt sin(ηth )D = 0, ke

381

Решение уравнений (6.236) и (6.238) и подобных им, которые воз- никают в других волноводных задачах, можно получить численными методами с помощью ЭВМ. При заданной частоте ω уравнение (6.236) или (6.238) имеет бесконечный дискретный набор решений для k. Для каждой частоты только несколько первых решений для k будут дей- ствительные, и, следовательно, только несколько номеров нормальных волн будут однородными; для других номеров волн k решения будут мнимыми или комплексными. Факт наличия комплексных корней в дисперсионном уравнении (6.236) или (6.238) свидетельствует о суще- ственном различии свойств твердого слоя как волновода для Р- и SV- волн по сравнению с SH-волнами или жидкостным волноводом. Если для SH-волн при каждом значении ω имеем конечное число действи- тельных корней и бесконечное число мнимых корней дисперсионного уравнения, то в случае SV- и Р-волн будет конечное число действи- тельных корней, конечное число мнимых корней и бесконечное число комплексных корней.

Понятно, что при анализе задачи о возмущении волнового движе- ния в слое одинаково важны все типы волнового движения, которые соответствуют действительным, мнимым и комплексным корням дисперсионного уравнения (6.236) или (6.238). Проведем короткий общий анализ указанных волновых движений. Вектор смещения в слое (см. (6.232) или (6.233)) схематично запишем в виде

где постоянная распространения k может быть действительной, мни- мой или комплексной.

В случае действительных k выражение (6.239) представляет собой бегущую волну, которая переносит энергию вдоль слоя, причем сред- ний во времени поток энергии в такой волне не зависит от координа- ты х1, что естественно, ведь в модели среды отсутствуют потери. В дисперсионных уравнениях (6.236), (6.238) могут использоваться два значения k, различающиеся знаками. Выбор одного из них можно связать с выбором направления переноса энергии в слое.

Для пары мнимых корней k = ±i k выражения (6.239) представ- ляют собой неоднородные волны u = U exp(± k x1)exp(−iωt), которые не переносят энергию вдоль слоя. Разным знакам величины k соответ-

382

ствуют волны, экспоненциально затухающие влево или вправо от не- которого фиксированного сечения x1 = const. Эти волны по своим свойствам подобны неоднородным SH-волнам, или неоднородным модам жидкостного волновода, которые отвечают мнимым корням соответствующих дисперсионных уравнений.

Комплексному корню k отвечает четверка чисел k = ±k′ ±іk″. Каж- дому значению k из этой четверки после подстановки его в (6.239) соответствует бегущая волна, у которой амплитуда затухает или воз- растает при распространении. Если, например, рассматривая задачу о возбуждении с торца полубесконечного волновода х1 ≥ 0, оставить только решение с затухающей амплитудой, то для корня k = k′ + ik″

слоя, хотя средний поток энергии экспоненциально уменьшается с ростом х1. Это возможно лишь при наличии поглощения в среде, что противоречит исходной постановке задачи (среда без поглоще- ния). Во избежание указанного противоречия между свойствами среды и структурой частных решений необходимо сгруппировать бегущие волны, которые распространяются навстречу друг другу:

Таким образом, получим стоячую волну с экспоненциально затухающей амплитудой в полубесконечном волноводе x1 ≥ 0. Такое решение не про-

тиворечит физическому содержанию задачи, поскольку стоячая волна не переносит энергию. Именно такие объединенные решения и нужно использовать при удовлетворении граничных условий на торце полубес- конечного слоя.

Для исследования процесса переноса энергии в слое, а также структуры волнового поля вдали от источника возбуждения, основ- ное значение имеют распространяющиеся моды, которые соответ- ствуют действительным корням дисперсионного уравнения. Рассмот- рим эти волны более подробно.

На рис. 6.29, а, б показаны результаты численного решения дис- персионных уравнений (6.236) (а) и (6.238) (б) для распространяю- щихся нормальных волн при коэффициенте Пуассона ν = 0,3. На оси абсцисс отложено безразмерное волновое число ς = 2kh/π, а на оси ординат — безразмерная частота Ω = 2kth/π, где kt = ω/ct, число около кривой соответствует номеру моды. Штриховые кривые на рис. 6.29, а, б определяют волновые числа ke = ω/cе, kt = ω/ct продольной (е) и поперечной (t ) волн, которые не взаимодействуют.

383

Рис. 6.29. Дисперсионные кривые:

а, в — симметричные моды; б, г — антисимметричные моды

Важными характеристиками распространяющихся мод есть фазо- вая υф = ω/k и групповая υгр = dω/dk скорости. Имея расчетные кри- вые, которые приведены на рис. 6.29, а, б можно вычислить величины

384

ные кривые для нормированных значений фазовой υф/ct и групповой υгр/ct скоростей от безразмерной частоты Ω = 2kth/π для первых но- меров волн Лэмба, в отвечает симметричным модам, г — антисим- метричным (υф — штриховые кривые, υгр — сплошные).

Как видно на рис. 6.29, для волн всех номеров характерна значи- тельная дисперсия скорости. Особенно интересной является первая мода, которая распространяется при любой частоте (здесь критическая частота равна нулю). Проанализируем первую симметричную моду, начиная с очень малых частот, когда величины ηeh и ηth можно считать малыми по сравнению с единицей. Из формулы (6.232) для компонент смещения следует, что для малых частот продольные сме- щения (компонента u1) постоянны вдоль сечения (координаты x3) с точностью до квадратов этих малых величин (разложение функций ко- синуса и синуса в ряд: cosε = 1 – ε2/2 + …, sinε = ε – ε3/6 + …) и значи- тельно превышают поперечные (компонента u3). В дисперсионном

Принимая во внимание, что ηe2 = ke2 −k2 : и проводя преобразование с учетом формул (6.123), (6.124), получаем

скольку на малых частотах движение частиц в слое практически яв- ляется продольным, то при этих условиях первую симметричную моду также называют юнговской продольной волной. Пока частота остается

Аналогично можно проанализировать дисперсионное уравнение (6.238) для первой антисимметричной моды в области малых частот,

где ηeh <<1 и ηth <<1. Но в этом случае приближение типа tgε ≈ ε,

ε << 1 является слишком грубым, поскольку члены, которые удер- живают k2 в дисперсионном уравнении, взаимно сокращаются. Что- бы получить приближенное решение нужно продолжить разложение тангенса до второго члена: tgε ≈ ε + ε3/3, ε << 1. Тогда, после

385

несложных преобразований, дисперсионное уравнение (6.238) приобретет вид

откуда следует, что для волн, которые распространяются (для них ве- личина k2 должна быть положительной), необходимо выполнение ус-

вольном значении коэффициента Пуассона ν; график пересекает ось абсцисс (F(y) = 0) в точке y > 1. Итак, считая условие k2 > kt2 выпол- ненным и, сохраняя только старшие члены с k (члены с k4), находим

Здесь отрицательное значение k2 < 0 соответствует неоднородной волне, в которой присутствует экспоненциальное затухание вдоль оси волновода (оси Ох1). При k2 > 0 имеем нормальную распространяю- щуюся волну, ее называют изгибной волной в тонкой пластине. На- звание становится понятным, если рассмотреть формулы (6.233), ко- торые определяют компонентные смещения. Как видим, вследствие малости ηeh и ηth смещение частиц происходит практически в попе- речном направлении и, как для юнговской волны, не зависит от ко- ординаты х3.

Из формулы (6.242) следует, что изгибной волне присуща диспер- сию, ее фазовая и групповая скорости соответственно равны:

Как видим, в изгибной волне групповая скорость больше фазовой в два раза (убедитесь в этом самостоятельно).

При увеличении частоты в первой симметричной моде начнут по- являться дисперсионные свойства, и характер дисперсии в антисим- метричной первой моде начнет изменяться. Вместе с этим распределе-

386

ние смещений вдоль сечения слоя становится неравномерным. При дальнейшем росте частоты, первые симметричные и антисимметрич- ные моды становятся все более “похожи” одна на другую. При kth >> 1 их фазовые и групповые скорости стремятся к скорости волны Рэлея cR (рис. 6.29), смещения локализуются вблизи свободных границ вол-

новода, и их распределение вдоль координаты х3 стремится к распре- делению смещения в рэлеевськой волне. Интересно, что нулевая сим- метричная волна при увеличении частоты асимптотически превраща- ется в две волны Рэлея, которые распространяются синфазно каждая по своей границе слоя, а нулевая антисимметричная — также в две волны Рэлея, которые смещены одна по отношению к другой на поло- вину длины волны.

Рис. 6.30. Распределение нормированных амплитуд компонент вектора смещения u1 и u3 первой моды вдоль координаты х3 для разных значений безразмерной частоты Ω = 1, 2, 4, 8, 16 (кривые соответственно 1,2,3,4,5); а, б — симметричная первая мода, в, г — антисимметричная

В качестве иллюстрации к проведенному анализу, на рис. 6.30 пока- зано распределение нормированных амплитуд компонент вектора сме- щения u1 и u3 первой моды вдоль координаты х3 для разных значений безразмерной частоты Ω = 1, 2, 4, 8, 16 (кривые соответственно 1,2,3,4,5); рис. 6.30 а, б для симметричной первой моды, а рис. 6.30 в, г — анти- симметричной. Нормирование каждой пары кривых u1 и u3 проводилось относительно своего значения u max. Кривые представлены для полови- ны толщины слоя, на другой половине они определяются симметрией,

387

которая характерна для данного типа моды (симметричная или несим- метричная). Проследите самостоятельно характер изменения кривых, которые при росте частоты наглядно изображают процесс формирова- ния волны Рэлея вдоль поверхности слоя (сравните кривые 5 с кривыми на рис. 6.19).

Вообще исследование волн Лэмба довольно сложное и без числен- ных расчетов можно определить только некоторые свойства. Для волн с номерами, выше первого, волны зарождаются на частотах, кото- рые превышают соответствующие критические частоты. В качестве примера определим их для симметричных мод. Поскольку на кри- тической частоте фазовая скорость стремится в бесконечность, то имеем k = 0 и, следовательно, ηe = ke и ηt = kt. Тогда граничные усло- вия (6.235) приобретают вид:

Эти условия можно удовлетворить, если: 1) sin(ηth) = 0, на этой часто- те A = 0 ; 2) cos(ηeh) = 0, на этой частоте B = 0 .

В первом случае на критической частоте образуется стоячая волна поперечного типа с фронтами, параллельными границам волновода. Во втором случае имеем такую же волну, но продольного типа. При частотах, выше критических, для данной моды постоянная распро- странения k волны Лэмба становится отличной от нуля. Это можно изобразить как поворот направления распространения двух продоль- ных или поперечных волн, которые образуют стоячую волну на кри- тической частоте, от оси Ох3 в сторону оси Ох1. При этом вследствие отражения от границ слоя возникают Р- или SV-волны, и волна Лэмба оказывается “составленной” из четырех компонент — двух Р-волн и двух SV-волн, которые “согласованы” одна с другой таким образом, что проекции волновых векторов на ось Ох1 одинаковы (рис. 6.28), а напряжения, которые образуют четыре волны на границах x3 = ±h, равны нулю. При достижении некоторой частоты продольные волны становятся неоднородными и остаются неоднородными при даль- нейшем увеличении частоты (обдумайте это, принимая во внимание закон Снеллиуса и то, что ce > ct). Асимптотически при ω → ∞ симмет- ричная или антисимметричная волна Лэмба с номером, выше перво- го, превращается в пару бегущих SV-волн, распространяющихся под некоторым углом к оси Ох1, который стремится к нулю при ω → ∞, и в пару неоднородных продольных волн, которые заметны только вблизи границ. Итак, при ω → ∞ для этих волн фазовые и групповые скоро- сти асимптотически приближаются к ct (рис. 6.29). Можно сказать, что в высокочастотной области все волны Лэмба становятся практи- чески бездисперсионными.

Обратим внимание на петлеобразный фрагмент на рис. 6.29, в вблизи оси абсцисс между кривыми групповой скорости второй и

388

третьей мод. Он определяет групповую скорость второй моды, кото- рая распространяется в противоположном направлении к другим мо- дам. Это явление названо “обратной” волной и детально проанализи- ровано в работе [18].

6.18. Приближенные модели описания упругих волн в твердых телах

Приведенные выше соотношения динамической теории упругости позволяют изучать характеристики волновых движений в твердых телах в широком диапазоне частот. Однако сложная струк- тура полей обусловливает значительные трудности при решении со- ответствующих граничных задач. Поэтому в акустике много внима- ния уделяется изучению возможностей упрощения общих постановок для практически важных условий формирования волновых полей. Особое значение в инженерной практике имеют модели, которые строятся для изучения относительно низкочастотных движений. В этом случае характерные размеры упругого объекта могут быть ма- лыми по сравнению с длиной волны. Это дает возможность использо- вать определенные гипотезы для пространственных характеристик волн и снижать общую размерность задачи. При этом математиче- ское описание поля становится значительно более простым.

Такие подходы применяют при рассмотрении динамических процессов в теории оболочек, пластинок и стержней. Ниже будут приведены примеры таких упрощенных модельных подходов при изучении продольных волн и изгибных волн в упругих стержнях.

Стержень — это твердое упругое тело удлиненной формы, в котором поперечный размер намного меньше длины. При этом форма попереч- ного сечения произвольная, и линия, которая соединяет центр масс се- чений, есть прямая. Рассмотренные ниже варианты модельных подходов для описания волнового процесса в стержне, определяются разным ха- рактером внешнего влияния на стержень. Как будет показано ниже, вследствие построения приближенных модельных подходов описание волнового движения в стержне как трехмерном объекте будет сведено к одномерной ситуации.

6.19. Продольные волны в стержне

В этом параграфе рассмотрим волновое движение в стерж- не, которое возбуждается определенным типом нагрузки — внешние воздействия равномерно распределяются на торцах. При такой нагруз- ке ось стрежня остается прямой, и вследствие действия нагрузки будет происходить лишь изменение длины стержня. Естественным является также предположение о том, что все плоские сечения стрежня x = const

389

в процессе деформации остаются плоскими и смещаются лишь отно- сительно друг друга. В дальнейшем изложении будем использовать это предположение, хотя более точный анализ динамики стержня показы- вает, что в общем случае данное предположение несправедливо. Одна- ко в области относительно низких частот, когда длина волны λ в стержне намного больше величины характерного размера D поперечно- го сечения (λ > 4D), такое предположение не вносит существенных по- грешностей при оценке характеристик волнового движения. Понятно, что при такой модели и типе нагрузки характеристики волнового поля в стержне (напряжение, смещение, деформации) будут зависеть только от одной координаты. Обозначим ее х, направив ось Ох вдоль оси стержня.

Рис. 6.31. Напряжения, которые действуют на элемент стрежня

Используя введенные понятия и обозначения, можно легко полу- чить уравнение движения элемента стержня. Если рассматривать дифференциальный элемент стрежня (рис. 6.31), то при проекции на ось Ох второй закон Ньютона запишется в форме

где S — площадь поперечного сечения стержня. Если перейти от разно- сти напряжений к их дифференциалу, то получим уравнение

Уравнение (6.247) имеет две неизвестные функции. При использова- нии закона Гука (6.97) и определения (6.98) между величинами, кото- рые входят в (6.247), устанавливается такая связь:

Подставив (6.248) в (6.247), получим искомое уравнение:

390