- •2.Основные постулаты квантовой механики.
- •2.1. Классическая физика и квантовая механика.
- •2.1.Классическая физика и квантовая механика.
- •2.1. Классическая физика и квантовая механика.
- •2.1. Классическая физика и квантовая механика.
- •2.Основные постулаты квантовой механики.
- •2.2.1. Необходимость использования операторов в квантовой механике.
- •2.2.1. Необходимость использования операторов в квантовой механике.
- •2.2.2. Математические свойства
- •2.2.2. Математические свойства операторов.
- •2.2.2. Математические свойства операторов.
- •2.2.2. Математические свойства операторов.
- •2.2.2. Математические свойства операторов.
- •2.2.2. Математические свойства операторов.
- •2.2.2. Математические свойства операторов.
- •2.2.2. Математические свойства операторов.
- •2.2.2. Математические свойства операторов.
- •2.2.2. Математические свойства операторов.
- •2.2.2. Математические свойства операторов.
- •2.2.2. Математические свойства операторов.
- •2.2.3. Эрмитово сопряжённые (эрмитовы) операторы.
- •2.2.3. Свойства эрмитовых операторов.
- •2.2.3. Свойства эрмитовых операторов.
- •2.2.3. Свойства эрмитовых операторов.
- •2.2.3. Свойства эрмитовых операторов.
- •2.2.3. Свойства эрмитовых операторов.
- •2.2.3. Свойства эрмитовых операторов.
- •2.Основные постулаты квантовой механики.
- •2.3.1. Волновая функция и её вероятностная интерпретация.
- •2.3.1. Волновая функция и её вероятностная интерпретация.
- •2.3.1. Волновая функция и её вероятностная интерпретация.
- •2.3.2.Операторы физических величин.
- •2.3.2. Операторы импульса и координаты.
- •2.3.2. Операторы импульса и координаты.
- •2.3.2. Операторы импульса и координаты.
- •2.3.2. Операторы импульса и координаты.
- •2.3.2. Оператор момента импульса.
- •2.Основные постулаты квантовой механики.
- •2.4.Правило построения операторов физических величин.
- •2.4. Правило построения операторов физических величин.
- •Операторы физических величин
- •2.5. Чистые и смешанные состояния.
- •2.5. Чистые и смешанные состояния.
- •2.5. Чистые и смешанные состояния.
- •2.5. Чистые и смешанные состояния.
- •2.5. Чистые и смешанные состояния.
- •2.5. Чистые и смешанные состояния.
- •Операторы физических величин
- •2.6. Среднее значение физической величины.
- •2.6. Среднее значение физической величины.
- •Убедимся в том, что коэффициенты bi можно найти как
- •2.6. Среднее значение физической величины.
- •2.6. Среднее значение физической величины.
- •Основные постулаты квантовой механики.
- •2.7. Соотношение неопределённостей.
- •2.7. Соотношение неопределённостей.
- •2.7. Соотношение неопределённостей.
- •2.7. Соотношение неопределённостей.
- •2.7. Соотношение неопределённостей.
- •2.7. Соотношение неопределённостей.
- •2.7. Соотношение неопределённостей.
- •2.7. Соотношение неопределённостей.
- •2.7. Соотношение неопределённостей.
- •2.7. Соотношение неопределённостей.
- •2.7. Соотношение неопределённостей.
- •2.7. Соотношение неопределённостей.
Убедимся в том, что коэффициенты bi можно найти как
Функции |
являются собственными функциями оператора некоторой |
физической величины. |
|
Операторы |
физических величин эрмитовы. Следовательно, их собственные |
функции образуют полный ортонормированный набор. |
|
Функции, образующие полный ортонормированный набор, обладают свойстом:
Таким образом, мы доказали, что
2.6. Среднее значение физической величины.
Рассмотрим теперь интеграл
В этом интеграле разложим волновую функцию Y в ряд по собственным функциям j оператора величины А.
Функции {j } – собственные функции оператора величины А, поэтому
2.6. Среднее значение физической величины.
Таким образом, интеграл
Но, как было показано ранее,
Среднее значение физической величины
Основные постулаты квантовой механики.
2.7. Соотношение неопределённостей.
2.7. Соотношение неопределённостей.
Для определения средних значений физических величин в микромире следует проводит их многократные измерения. Необходимость многократных измерений вытекает из статистического характера квантово-механических закономерностей. Точность многократных измерений можно охарактеризовать с помощью среднеквадратичных отклонений значений измеряемой величины.
Рассмотрим результаты измерения координаты и проекции импульса некоторой квантовой частицы. В качестве меры отклонения результатов измерения проекции импульса px и координаты x от средних значений
выберем их среднеквадратичные отклонения. Введём следующие обозначения:
x – значение координаты, получаемое в некотором акте измерения; <x> - среднее значение координаты частицы;
Dx = x - <x> - единичное отклонение результата измерения координаты от среднего значения;
p – значение проекции импульса, получаемое в некотором акте измерения; <p> - среднее значение проекции импульса частицы;
Dp = p - <p> - единичное отклонение результата измерения проекции импульса от среднего значения.
2.7. Соотношение неопределённостей.
Отметим, что среднее значение отклонений Dx всегда будет равно нулю, так как при очень большом числе измерений появятся примерно равные количества как положительных, так и отрицательных значений Dx. Это же справедливо и для Dp.
Среднеквадратичные отклонения определим так:
2.7. Соотношение неопределённостей.
Среднеквадратичные отклонения соответственно равны
С частицей связан волновой пакет. Выберем систему отсчёта, связанную с максимумом этого волнового пакета. Или, что то же самое, связанную с частицей. Начало координат расположим в точке с координатой x = <x>.
Система отсчёта движется вместе с максимумом волнового пакета, скорость волнового пакета (частицы) в ней равна нулю, следовательно
В этой системе отсчёта среднеквадратичные отклонения
2.7. Соотношение неопределённостей.
Запишем выражения для средних значений квадрата координаты и квадрата проекции импульса:
Нам необходимо установить связь между <(Dx)2> и <(Dp)2>. Для этого рассмотрим интеграл
где x – вспомогательная переменная (вещественная), х – координата; Y – волновая функция (комплексная).
По определению
2.7. Соотношение неопределённостей.
Преобразуем подинтегральную функцию:
Пeрепишем интеграл. Он положителен, так как это интеграл от квадрата модуля.
2.7. Соотношение неопределённостей.
Введём обозначения:
Это неравенство справедливо. Следовательно, уравнение относительно переменной x
действительных корней не имеет (возможны только комплексные корни).