2.3.1. Волновая функция и её вероятностная интерпретация.

5. Волновая функция ограничена.

Если функция не ограничена, то существуют такие интервалы, в которых вероятность обнаружить частицу стремится к бесконечности, а это не имеет смысла.

6. Волновая функция нормирована.

Вычисляя интеграл от квадрата волновой функции по всей области её определения, мы определяем вероятность обнаружить частицу где-то внутри этой области.

Если частица существует, то эта вероятность равна единице.

2.3.2.Операторы физических величин.

1.Каждой наблюдаемой физической величине в квантовой механике соответствует эрмитов оператор.

2.Собственные функции этого эрмитова оператора есть волновые функции системы в соответствующем состоянии.

3.Собственные значения этого эрмитова оператора равны тем значениям физической величины, которые могут быть получены в эксперименте.

4.Среднее значение некоторой физической величины A можно определить по формуле

где интеграл берётся по всей области определения волновой функции Ψ(x).

2.3.2. Операторы импульса и координаты.

Оператор проекции импульса на координатную ось.

Пусть частица движется вдоль оси OX, при этом её импульс согласно гипотезе де Бройля

Согласно соотношению неопределённостей, если импульс определён абсолютно точно, то неопределённость координаты бесконечно велика.

Следовательно, состоянию частицы с точно определённым значением импульса можно поставить в соответствие плоскую волну, определённую во всём пространстве.

Докажем, что плоские волны являются собственными функциями оператора

Для этого должно выполняться уравнение

где px – собственное значение импульса.

2.3.2. Операторы импульса и координаты.

Итак,

Будем искать решение в виде плоской волны

Получаем:

2.3.2. Операторы импульса и координаты.

Таким образом,

во-первых, плоская волна является собственной функцией оператора px; во-вторых, собственное значение оператора px равно значению проекции

импульса на координатную ось.

есть оператор проекции импульса на ось OX.

Оператор импульса

2.3.2. Операторы импульса и координаты.

Оператор координаты

2.3.2. Оператор момента импульса.

Применим правило построения операторов физических величин для построения оператора орбитального момента импульса в декартовых координатах.

Или, по компонентам в декартовых координатах

2.Основные постулаты квантовой механики.

2.4.Правило построения операторов физических величин.

2.4.Правило построения операторов физических величин.

1.Следует записать формулу, по которой данная физическая величина выражается через координаты и импульсы в классической механике.

Например, кинетическая энергия

2. В записанной формуле заменить проекции импульса и координаты на операторы проекций импульса и координат.

Для кинетической энергии

При этом возведение в степень для производных заменяем производными соответствующих степеней.

2.4. Правило построения операторов физических величин.

Применим это правило для построения оператора орбитального момента импульса.

Или, по компонентам в декартовых координатах