- •Элементы квантовой теории систем, состоящих из большого числа одинаковых частиц
- •Гамильтониан системы многих частиц
- •Не зависящая от времени волновая функция стационарного состояния системы определяется стационарным уравнением Шредингера
- •Элементы квантовой теории систем, состоящих из большого числа одинаковых частиц
- •2. Адиабатическое приближение
- •Элементы квантовой теории систем, состоящих из большого числа одинаковых частиц
- •3. Симметричные и антисимметричные волновые функции
- •Из опыта известно, что система из двух электронов, двух протонов, двух нейтронов во
- •Этот вывод можно обобщить и на системы, состоящие из любого числа частиц. Формально
- •Уточнение принципа суперпозиции состояний: возможные состояния системы определяются только такими линейными комбинациями функций,
- •Элементы квантовой теории систем, состоящих из большого числа одинаковых частиц
- •4. Как построить симметричные и антисимметричные волновые функции
- •В системе, состоящей из N частиц возможны N! различных перестановок частиц.
- •В такой системе со слабым взаимодействием между частицами симметричную и антисимметричную волновые функции
- •Элементы квантовой теории систем, состоящих из большого числа одинаковых частиц
- •5. Элементарная теория атома гелия
- •Волновую функцию основного состояния атома можно записать как
- •Тогда антисимметричная комбинация будет выглядеть так
- •Энергия основного состояния с учётом первой поправки по теории возмущений:
- •Определение энергии и волновой функции электронов в атоме Не вариационным методом
- •Определение энергии и волновой функции электронов в атоме Не вариационным методом
- •5. Полученное выражение следует минимизировать по всем параметрам:
- •Пронормируем эту функцию.
- •Вычисляем интеграл
- •Воспользуемся результатом, полученным ранее (при решении этой задачи
- •Интеграл приобретает вид
- •Продифференцируем по параметру α правую и левую части интеграла Пуассона:
- •Возвращаемся к вычислению
- •Энергия основного состояния
- •Энергия ионизации двухэлектронных систем
Элементы квантовой теории систем, состоящих из большого числа одинаковых частиц
1. Гамильтониан системы многих частиц.
Гамильтониан системы многих частиц
До сих пор мы рассматривали движение одной частицы в заданном внешнем поле. Однако на практике часто сами движущиеся частицы взаимодействуют друг с другом и изменяют внешнее поле.
Если скорость движения частиц много меньше скорости света, в принципе, можно определить гамильтониан системы как функцию координат и импульсов частиц. Если же скорости частиц сопоставимы со скоростью света, то нужно рассматривать наряду с частицами и поле, которое передает взаимодействия, поэтому даже в случае конечного числа частиц N система будет обладать бесконечным числом степеней свободы.
Но и в случае нерелятивистских систем возникающая задача чрезвычайно сложна. В этом случае гамильтониан можно записать в виде:
|
N |
|
|
|
|
||
H H |
V (ri , |
pi ), |
|
||||
где |
1 |
|
|
|
|
||
|
|
2 |
ˆ |
ˆ |
|
||
|
|
U (r1,...,rN ) |
|||||
H |
|
|
|||||
2m |
|||||||
|
|
|
|
|
- гамильтониан отдельной частицы;
|
N |
|
|
|
|
2 |
ˆ ˆ |
|
|
|
H H V (ri , pi ), |
H |
|
|
U |
(r1,...,rN ), |
|||||
2m |
||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
U (r1,...,rN ) |
|
|
|
V (ri |
, pi ) |
-оператор потенциальной энергии отдельной частицы, зависящий от координат частиц;
-оператор потенциальной энергии, характеризующий т.н. спин-орбитальное взаимодействие.
Этот оператор учитывает взаимодействие между спинами частиц и часть потенциальной энергии, зависящей от импульсов частиц и частично учитывающей запаздывание взаимодействия вследствие конечности скорости света.
Взаимодействия, учитываемые этим слагаемым в нерелятивистском случае малы (пропорциональны v2/c2) и могут быть учтены приближенно, например, по теории возмущений.
Волновая функция определяется уравнением Шредингера
|
r ,t |
|
|
|
i |
|
H r ,t 0. |
||
t |
||||
|
|
|
Не зависящая от времени волновая функция стационарного состояния системы определяется стационарным уравнением Шредингера
H r E r .
Волновая функция является функцией пространственных переменных, спиновых переменных всех частиц и, возможно, времени.
Элементы квантовой теории систем, состоящих из большого числа одинаковых частиц
2. Адиабатическое приближение.
2. Адиабатическое приближение
В многочастичную систему могут входить самые разнообразные частицы, но часто мы будем иметь дело с системами, состоящими из двух групп частиц, близких по своим характеристикам внутри группы и сильно отличающихся для частиц из двух различных групп. Например, молекула состоит из ядер атомов (одна группа тяжелых частиц) и электронов (вторая группа легких частиц). Так же можно разделить на две группы частицы, составляющие твердое тело и так далее.
В такой системе характеристики движений частиц, принадлежащих к различным группам, существенно отличаются. Так, скорости движения ядер и электронов могут отличаться на несколько порядков. То же можно сказать и о характерных частотах процессов в коллективе ядер и в коллективе электронов.
В связи с этим можно приближенно считать, что, например, воздействие ядер атомов на движение электронов в молекуле или твердом теле (да и в отдельном атоме тоже) сводится к тому, что ядра создают практически
стационарное поле, в котором движутся электроны. |
|
|
Это означает, что в слагаемом гамильтонианаV (ri , pi ) |
мы |
пренебрегаем запаздыванием для взаимодействий ядро – электроны. Такое приближение называют адиабатическим.
Элементы квантовой теории систем, состоящих из большого числа одинаковых частиц
3. Симметричные и антисимметричные волновые функции.
Бозоны и фермионы.
3. Симметричные и антисимметричные волновые функции
Пусть все частицы рассматриваемой системы одинаковы (рассматриваем только один коллектив тождественных частиц). Все характеристики этих частиц
одинаковы |
|
m1 m2 ...; |
q1 q2 ..., |
т.е. частицы неотличимы друг от друга.
В дальнейшем мы будем пользоваться сокращённой дираковской системой обозначений квантовых состояний системы.
Перенумеруем все возможные состояния N частиц в системе. Таких состояний может быть больше, чем N. Каждому состоянию поставим в соответствие вектор
1 , 2 ,..., k ,..., N ,...
В принципе, каждый вектор есть волновая функция частицы в том или ином состоянии. Какая-то часть этих состояний занята (в пределе, наименьшее число занятых состояний – одно, наибольшее - N), какая-то часть свободна.
Введем оператор перестановки пары частиц
Pk .
Pk .
Оператор перестановки перемещает одну частицу из состояния | k
в состояние | , |
а частицу, находившуюся в состоянии | , |
перемещает в состояние | k .
Всё сводится к перемене номеров частиц. Оператор Гамильтона не должен изменяться от такой перестановки частиц.
Пусть
12 (1) (2)
– волновая функция системы двух частиц.
(1) – волновая функция частицы 1, |
(2) – волновая функция частицы 2. |
Тогда функция
21 (2) (1)
также является волновой функцией системы этих частиц.
Действие оператора перестановки сводится к тому, что он превращает функцию 12 в функцию 21 и наоборот.
P12 1,2 (2,1),
P12 2,1 (1,2).
Найдём собственные значения оператора перестановок. Для этого запишем уравнение, определяющее собственные значения оператора перестановок:
P12 (1,2) (1,2).
Оператор перестановок эрмитов, и поэтому его собственное значение – действительное.
Подействуем на волновую функцию 1,2 оператором перестановок дважды.
|
|
|
(1,2) |
|
2 |
P12 P12 |
|
(1,2). |
|||
С другой стороны, |
|
|
|
|
|
|
(1,2) (1,2), |
||||
|
P12 |
||||
|
|
|
|
|
(1,2). |
|
|
|
|||
|
P12 P (1,2) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1,2) |
|
2 |
|
|
|
|
(1,2). |
|
|
|
|
|||||||
P12 P12 |
|
(1,2). |
P12 P (1,2) |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сравнивая эти уравнения, получаем, что |
2 1, |
|
1. |
|
Оператор перестановки имеет два действительных собственных значения
1 1, |
2 1. |
Других собственных значений этот оператор не имеет. Следовательно, возможны два результата действия оператора перестановок на волновую функцию двух частиц. В одном случае это будет
P12 s (1,2) s (1,2).
Это соответствует собственному значению = +1.
Собственная функция s , соответствующая значению = +1, называется
симметричной.
Другой возможный результат действия оператора перестановок на волновую
функцию системы из двух частиц соответствует собственному значению = -1
P12 a(1,2) a(1,2).
Собственная функция a , |
соответствующая значению = -1, называется |
антисимметричной.