- •Элементы квантовой теории систем, состоящих из большого числа одинаковых частиц
- •Гамильтониан системы многих частиц
- •Не зависящая от времени волновая функция стационарного состояния системы определяется стационарным уравнением Шредингера
- •Элементы квантовой теории систем, состоящих из большого числа одинаковых частиц
- •2. Адиабатическое приближение
- •Элементы квантовой теории систем, состоящих из большого числа одинаковых частиц
- •3. Симметричные и антисимметричные волновые функции
- •Из опыта известно, что система из двух электронов, двух протонов, двух нейтронов во
- •Этот вывод можно обобщить и на системы, состоящие из любого числа частиц. Формально
- •Уточнение принципа суперпозиции состояний: возможные состояния системы определяются только такими линейными комбинациями функций,
- •Элементы квантовой теории систем, состоящих из большого числа одинаковых частиц
- •4. Как построить симметричные и антисимметричные волновые функции
- •В системе, состоящей из N частиц возможны N! различных перестановок частиц.
- •В такой системе со слабым взаимодействием между частицами симметричную и антисимметричную волновые функции
- •Элементы квантовой теории систем, состоящих из большого числа одинаковых частиц
- •5. Элементарная теория атома гелия
- •Волновую функцию основного состояния атома можно записать как
- •Тогда антисимметричная комбинация будет выглядеть так
- •Энергия основного состояния с учётом первой поправки по теории возмущений:
- •Определение энергии и волновой функции электронов в атоме Не вариационным методом
- •Определение энергии и волновой функции электронов в атоме Не вариационным методом
- •5. Полученное выражение следует минимизировать по всем параметрам:
- •Пронормируем эту функцию.
- •Вычисляем интеграл
- •Воспользуемся результатом, полученным ранее (при решении этой задачи
- •Интеграл приобретает вид
- •Продифференцируем по параметру α правую и левую части интеграла Пуассона:
- •Возвращаемся к вычислению
- •Энергия основного состояния
- •Энергия ионизации двухэлектронных систем
Вычисляем интеграл |
0 |
1 2 |
; |
|
|
0 |
1 2 |
; |
|
dV , |
|
H |
|||||||||
|
E( ) * |
r ,r |
|
|
r ,r |
|
и минимизируем полученную функцию по параметру . Гамильтониан системы
H |
|
2 |
( |
) kZe2 |
|
1 |
1 |
|
k e |
2 |
|
||
|
. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2m |
r |
|
r |
|
r |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
12 |
|
Очевидно, что выражение для энергии можно представить, как сумму трёх слагаемых
E( ) E1 ( ) E2 ( ) E3 ( ).
E ( ) * |
r ,r ; |
|
|
|
2 |
( |
|
) |
|
|
|
r ,r ; |
|
dV dV , |
||||||||||||
|
|
|
2 |
0 |
|
|||||||||||||||||||||
1 |
0 |
1 2 |
|
|
2m |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
1 |
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
( ) kZe2 * |
r ,r ; |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
r ,r ; |
|
dV dV , |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|||||||||||||||||||
2 |
|
0 |
|
1 2 |
|
r1 |
|
|
|
|
1 2 |
|
|
1 |
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
3 |
0 |
1 2 |
|
|
|
1 |
|
0 1 2 |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|||||||||
|
E ( ) ke2 |
r ,r ; |
|
|
|
|
|
|
|
r ,r |
; |
|
dV dV . |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Воспользуемся результатом, полученным ранее (при решении этой задачи
методом теории возмущений) |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
e2 |
|
|||
3 |
( ) ke2 |
0 |
1 2 |
|
|
|
0 |
1 2 |
|
|
1 2 |
|
|
|||
E |
|
r ,r |
; |
|
r12 |
|
|
r ,r |
; |
|
dV dV |
8 |
k |
a |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычисляем интеграл
E ( ) * r ,r ;
1 0 1 2
2 |
( |
) |
|
r ,r ; dV dV . |
||
|
||||||
2m |
1 2 |
|
|
0 1 2 |
|
1 2 |
|
|
|
|
|
|
Во-первых, учтём, что пробная функция действительна, поэтому
0* r1,r2 ; 0 r1,r2 ; .
Во-вторых, подействуем операторами Лапласа на пробную функцию:
( 1 2 ) 0 r1,r2 ; |
|
|
2 0 r1,r2 ; |
|
2 |
0 r1,r2 ; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
r2 |
|
|
|
|
|
|
r2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
(r1 |
r2 ) |
|
|
2 |
|
1 |
|
|
(r1 r2 ) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
e |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
e |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
r2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
r2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
3 |
|
a2 |
|
(r1 r2 ) |
|
|
a2 |
|
|
(r1 |
r2 ) |
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
2 |
e |
|
|
(r1 |
r2 ) |
. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 e |
a |
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
Интеграл приобретает вид
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
5 |
|
|
|
|
||||||
E ( ) |
|
A2 |
|
|
|
|
|
|
e |
a(r1 |
r2 ) |
e |
a(r1 |
r2 ) 4 r2dr 4 r2dr |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
2m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
8 |
|
|
a |
|
3 |
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
8 |
|
|
e |
a(r1 r2 )e |
a(r1 |
r2 ) 4 r2dr 4 r2dr |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1 |
2 |
||||||||||||||
|
2m |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
5 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
2 a(r1 r2 ) 4 r |
2dr 4 r2dr |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
5 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
8 |
|
|
|
|
|
16 2 |
|
e 2 a r1 r2dr |
e 2 a r2 r2dr. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1 |
|
2 |
||||||||
|
2m |
a |
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||
Вычислим интеграл |
|
|
|
|
|
|
2 r |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
a 1 r2dr . |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Нам известен интеграл Пуассона |
|
|
|
e x2 dx |
|
|
. |
||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
Продифференцируем по параметру α правую и левую части интеграла Пуассона:
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|||||
x2 |
2 |
|
|
|
|
3/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
e |
|
x |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
dx |
4 |
3/ 2 |
||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2 |
r1 |
r2dr ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
. |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
3/ 2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
2 a r1 r2dr |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Точно так же |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
3/ 2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
e 2 a r2 r2dr |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Возвращаемся к вычислению |
E1 ( ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
5 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
E ( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
2 |
|
|
|
|
|
e 2 a r1 r2dr |
e 2 a r2 r2dr |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
2m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
8 2 |
5 |
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
a |
3 |
|
|
|
|
8 2 |
5 |
2 |
|
|
2 |
|
1 a |
3 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
. |
||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
16 8 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
2m |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2m |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E ( ) 2 |
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
a |
|
|
2 |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
kae2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
kme2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
E ( ) |
2 |
2 |
|
kae |
2 |
|
2 |
|
|
2 2 |
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ke |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
m |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
( ) kZe2 |
* |
|
r |
,r ; |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
r ,r ; |
|
dV dV , |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
2 |
|
|
r1 |
|
|
|
|
1 2 |
|
1 2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
E |
( ) kZe2 |
* |
|
r ,r ; |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
r ,r ; |
|
dV dV |
2kZ e2 . |
||||||||||||
|
|
|
|
0 |
||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
0 |
|
1 2 |
|
|
r1 |
|
|
r2 |
|
|
|
1 2 |
|
|
|
1 |
|
2 |
a |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итого
E( ) E1 ( ) E2 ( ) E3 ( ),
E( ) k |
e2 |
2 |
2kZ k |
5 |
, |
|||||
|
a |
8 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
E( ) k |
e2 |
|
|
2 |
|
2Z |
5 |
|
|
|
|
|
|
8 |
. |
||||||
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
Найдём минимум этого выражения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
dE( ) |
0; |
k |
e2 |
|
2 0 |
|
2Z |
5 |
|
0, |
0 Z |
|
5 |
. |
|
|
|
8 |
|
|
||||||||||
|
d |
|
16 |
||||||||||||
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
Энергия основного состояния |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
E0 E( 0 ) |
e2 |
|
|
Z |
|
5 2 |
2Z |
|
Z |
|
|
5 |
|
|
|
5 |
Z |
|
5 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
16 |
|
8 |
16 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
5 |
|
|
|
25 |
|
2Z |
2 |
2Z |
5 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
25 |
|
|
||||||||||
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
16 |
|
256 |
|
16 |
|
8 |
128 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E k e2 Z 2 |
|
5 Z |
25 |
|
|
|
|
||||
0 |
|
|
8 |
256 |
|
|
a |
|
|
Энергия ионизации двухэлектронных систем
Эксперимент |
Расчет |
Расчет |
(Ryd ) |
по теории |
вариационным |
возмущений |
методом |
|
|
(Ryd ) |
(Ryd) |
He |
0,9035 |
0,75 |
0,85 |
|
|
|
|
Li |
2,7798 |
2,62 |
2,72 |
Be |
5,6560 |
5,50 |
5,60 |
C |
14,4070 |
14,25 |
14,35 |