2.2.2. Математические свойства операторов.
Примеры операторов:
2.2.2. Математические свойства операторов.
Операторные равенства.
Рассмотрим другой оператор
2.2.2. Математические свойства операторов.
Операторные равенства.
Операторы равны, если в результате действия каждого из операторов на одну и ту же произвольную функцию получаются одинаковые функции.
2.2.2. Математические свойства операторов.
Линейные операторы.
Линейные операторы удовлетворяют следующим условиям: 1.
где c – константа. 2.
Убедимся, что оператор |
является линейным. |
2.2.2. Математические свойства операторов.
Сумма операторов.
Суммой операторов называют оператор, действие которого на произвольную функцию равно сумме действий на неё отдельных операторов:
если
Пример.
2.2.2. Математические свойства операторов.
Произведение операторов.
Произведением операторов называют оператор, действие которого на произвольную функцию равно произведению действий на неё отдельных операторов:
если
Пример.
2.2.2. Математические свойства операторов.
Произведение операторов.
В общем случае произведение операторов некоммутативно:
Пример.
Говорят, что такие операторы не коммутируют.
2.2.2. Математические свойства операторов.
Произведение операторов.
Однако, существует множество операторов, произведение которых коммутативно. Для них выполняется равенство
Говорят, что такие операторы коммутируют. Пример.
2.2.2. Математические свойства операторов.
Произведение операторов.
Выражение
называется коммутатором двух операторов. Если операторы коммутируют, то
Если операторы не коммутируют, то
В рассмотренных ранее примерах
2.2.2. Математические свойства операторов.
Собственные значения и собственные функции операторов.
Множество функций {fn(x)}, являющихся решениями уравнения
называются собственными функциями оператора A. Множество чисел {an} называются собственными значениями оператора A.
Пример. Найдём собственные значения и собственные функции оператора
Уравнение, определяющее собственные значения и собственные функции оператора
Собственные функции этого оператора {ebx}, собственные значения – любые числа {b}.