- •Туннельный эффект
- •Рассмотрим прохождение квантовой частицей одномерного потенциального барьера. Вид зависимости потенциальной энергии от координаты
- •1 (x) A1e ikx B1eikx
- •Если считать, что мы рассматриваем частицу, падающую на барьер слева, то в области
- •1 (x) A1e ikx B1eikx
- •Коэффициент прозрачности потенциального барьера
- •Коэффициент прозрачности потенциального барьера
- •Коэффициент прозрачности прямоугольного высокого и узкого потенциального барьера
- •Туннельный эффект.
- •α-распад атомного ядра – вылет из ядра α – частицы (ядра атома гелия),
- •Явление α-распада можно объяснить, рассмотрев туннелирование α-частиц через потенциальный барьер, окружающий атомное ядро.
Туннельный эффект
Прохождение одномерного потенциального барьера прямоугольной формы
Рассмотрим прохождение квантовой частицей одномерного потенциального барьера. Вид зависимости потенциальной энергии от координаты показан на рисунке.
Запишем стационарное уравнение Шредингера:
|
2 d 2 (x) |
U (x) (x) E (x) |
|||
2m |
|
dx2 |
|||
|
|
||||
d 2 (x) 2m E U (x) (x) 0 |
|||||
|
dx2 |
2 |
|
В областях 1 и 3, где U(x) = 0 уравнение принимает вид:
d 2 (x) 2mE (x) 0. dx2 2
Решение уравнения в областях 1 и 3 имеет вид:
|
1,3 |
(x) A |
e ikx B eikx , |
k |
|
2mE |
|
. |
|
|
|
||||||
|
1,3 |
1,3 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
В области 2, где U(x) = V уравнение принимает
вид:
d 2 (x) 2m E V (x) 0. dx2 2
При этом величина (E - V) < 0. Следовательно, решение будет иметь вид:
|
2 |
(x) A e x B e x . |
|||||
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
Здесь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2m(V E) |
. |
|
|||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
Решение уравнения Шредингера можно записать в виде:
|
(x) A e ikx B eikx |
|
1 |
1 |
1 |
|
(x) A e x B e x |
|
2 |
2 |
2 |
k 2mE ,
3 (x) A3e ikx B3eikx |
|
|
2m(V E) |
|
. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
1 (x) A1e ikx B1eikx
2 (x) A2e x B2e x
3 (x) A3e ikx B3eikx
Волновые функции можно рассматривать, как плоские волны.
Напомним, что волну (x) Be ikx можно считать волной,
вида |
|
распространяющейся вдоль положительного направления оси OX. |
|
A волну вида (x) Aeikx |
можно считать волной, распространяющейся |
вдоль отрицательного направления оси OX.
Таким образом, решение уравнения Шредингера в области 1 можно рассматривать, как суперпозицию волны, падающей на барьер слева направо, и волны, отраженной от барьера справа и распространяющейся влево.
Аналогично, решение уравнения Шредингера в области 3 можно рассматривать, как суперпозицию волны, падающей на барьер справа налево и волны, прошедшей через барьер и распространяющейся вправо.
Если считать, что мы рассматриваем частицу, падающую на барьер слева, то в области 3 (за барьером) может существовать только прошедшая волна. Поэтому коэффициент B3 при
волне, идущей из бесконечности к барьеру можно считать равным нулю.
1 (x) A1e ikx B1eikx
2 (x) A2e x B2e x
3 (x) A3e ikx
Отношение квадрата амплитуды прошедшей волны к квадрату амплитуды |
||||||||||||||||||||||||||||
падающей волны назовем коэффициентом прозрачности барьера. |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
A |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
T |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
, |
t |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
A |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
A1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Отношение квадрата |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
амплитуды отражённой волны к квадрату амплитуды |
|||||||||||||||||||||||||||
падающей волны назовем коэффициентом отражения барьера. |
||||||||||||||||||||||||||||
R |
|
|
B1 |
|
|
2 |
|
, |
r |
|
|
B1 |
|
|
. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A1 |
|
|
|||||||||||||
|
|
A |
|
2 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 (x) A1e ikx B1eikx
2 (x) A2e x B2e x
3 (x) A3e ikx
Потребуем непрерывности волновой функции и её первой производной в точках x = 0 и x = a.
1 (0) |
2 (0) |
|||
|
|
(0) |
|
(0) |
1 |
2 |
|||
|
|
(a) 3 (a) |
||
2 |
||||
|
|
|
|
(a) |
2 |
(a) 3 |
Разделим все уравнения на А1.
|
|
A1 B1 A2 B2 |
|
|
|||||
|
ikA1 |
ikB1 A2 B 2 |
|||||||
|
|||||||||
|
A2e |
a |
a |
A3e |
ika |
|
|||
|
|
|
|
B2e |
|
|
|||
|
|
a |
|
a |
|
|
ika |
||
A2e |
|
|
|
B2e |
ikA3e |
|
1 |
|
B1 |
|
|
A2 |
|
|
B2 |
|
|
|
|
A2 |
e a |
B2 |
|
e a |
A3 |
e ika |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
A |
A |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
A |
|
|
|
A |
A |
A |
|
|||||||||||||||
|
1 |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|||||||
ik ik |
|
B1 |
|
|
|
A2 |
|
|
B2 |
|
A2 |
|
e a B2 |
e a ik |
A3 |
e ika |
||||||||||
|
A |
|
|
A |
|
A |
A |
|
A |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
1 B1 A2
A1 A1
ik ik B1 A1
|
A2 |
e a |
B2 |
|
e a |
||
|
A |
A |
|||||
|
|
1 |
1 |
|
|
||
A2 |
e a B2 |
e a |
|||||
A |
|||||||
|
|
A |
|
||||
1 |
|
1 |
|
|
B2 |
|
|
|
|
|
|
Используем обозначения: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
A1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
A2 |
|
|
|
|
B2 |
|
|
t |
|
|
3 |
|
|
|
, |
r |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
, |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A1 |
|
|
|
|
|
|
|
A1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
A1 |
|
|
A1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
e |
ika |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
A1 |
|
|
|
|
|
Физический смысл этих обозначений: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
ik |
A3 |
|
e ika |
|
t |
|
2 T, |
|
|
r |
|
2 |
|
|
R. |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим |
|
|
|
два |
первых уравнения |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
системы. Умножим первое уравнение на η:
|
|
1 r |
|
||
|
ik ik r |
||||
|
|||||
|
e a e a |
te ika |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
a |
|
ika |
e |
|
e |
ikte |
|
r ,
ik ik r .
Сложим и вычтем уравнения:
r ik ikr 2 ,
r ik ikr 2 .
r ik ikr 2 ,r ik ikr 2 .
Отсюда коэффициенты α и β
ik r ik 2 ,ik r ik 2 .
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
1 r |
|
|
|||||
|
|
|
ik |
|
r |
ik |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
ik ik r |
|||||||
|
|
ik r ik |
|
|
e |
a |
a |
te |
ika |
|
|||||||
|
|
. |
|
|
|
e |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
a |
|
|
ika |
|||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
e |
|
|
e |
ikte |
|
Рассмотрим теперь два последних уравнения системы. Подставим значения α и β.
|
|
ik r ik |
|
e |
a |
|
ik r ik |
|
a |
te |
ika |
|
|||
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
e |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
ik r ik |
|
|
|
|
|
|
|
ik r ik |
|
|
|
|
|
|
|
e |
a |
|
a |
ikte |
ika |
||||||||
|
2 |
|
|
2 |
|
e |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ik |
|
r |
|
ik |
|
|
ik |
|
r |
|
ik |
|
|
|
|
|
e a |
|
|
e a 2 te ika |
|||||||
|
|
|
|
r |
ik e a ik |
|
r |
ik e a 2ikte ika |
||||||
ik |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Снова заменим уравнения их суммой и разностью.
|
|
ik |
|
r |
|
ik |
|
|
|
2te ika |
|
ik |
|
|
|||||||||||||
2 |
|
|
|
e a |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
ik |
r ik e a |
|
2te ika ik |
|
||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда ищем коэффициент t. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
a |
te |
ika |
ik |
|
|
|
||||||||||||
ik e |
|
|
r ik e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ik e |
a |
r ik e |
a |
te |
ika |
ik |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
ik |
a |
te |
ika |
ik |
|
||||||||||||||||
r ik e |
|
e |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ik e |
a |
ik e |
a |
te |
ika |
ik |
|
|||||||||||||||||||
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ik e a |
|
|
ik e a te ika ik |
|
||||||||||||||||||||||
|
ik e a |
|
ik e a te ika ik |
|
|
|
|
|
|
|
|
ik e a |
|
|
|
ik e a te ika ik |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ik e a |
|
ik e a te ika ik |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
ik |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e a |
|
|
|
ik |
|
e a te ika |
|
ik |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
e a ik |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ik |
|
e a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ik |
|
e a |
te ika |
ik |
|
|
|
|
|
|
|
ik |
|
e a |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ik |
|
2 |
e a te ika |
|
ik |
|
2 e a te |
ika |
ik |
|
2 |
|
|
ik |
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
ika |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||
|
te |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ik e |
|
ik |
|
|
|
ik |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ik e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
ik |
|
2 |
|
|
ik |
|
2 |
|
|
eika |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ik 2 e a ik 2 e a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4ik |
|
|
|
|
|
|
|
eika . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ik 2 e a ik 2 e a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|