8.5. Примеры расчёта статически неопределимых
стержневых систем по методу сил
Пример 1. Раскрыть статическую неопределимость балки методом сил и определить точки С приложения силы Р (рис.8.15,а).
Рис. 8.15.
Решение. Балка один раз статически неопределима, ибо в задаче возникает три неиз-
вестные опорные реакции RA , RB , mA , а уравнений равновесия можно составить то-
лько два. В качестве лишней связи выбираем опору В. На рис. 8.15,б,в изображены основная и эквивалентная системы. Каноническое уравнение метода сил имеет вид
.
(1)
Для определения коэффициентов
,
для основной системы строим эпюры от-
дельно от действия внешней нагрузки
(рис. 8.15,г) и от единичной силы
(рис. 8.15,д).
На основании формулы Мора и способа Верещагина находим
Подстановка полученных выражений в каноническое уравнение (1) приводит к выраже-нию:
откуда находим:
.
(2)
Теперь, используя (2), из уравнений равновесия для эквивалентной системы
находим опорные реакции:
75
На рис. 8.15,е,ж изображены окончательные эпюры перерезывающих сил и изгиба-
ющих моментов.
Для определения прогиба в точке С прикладываем в этой точке основной системы единичную силу Р = 1 (рис. 8.15,з). Перемножая эпюру от этой силы на результирую-
щую (рис.8.15,ж), находим:
Деформационная проверка правильности построенных эпюр состоит в определении перемещения точки В, которое заведомо равно нулю. Используя формулу Мора и спо-
соб Верещагина, перемножаем эпюру
моментов на эпюру от единичной силы
В результате находим:
Следовательно, эпюра моментов в данной задаче построена правильно.
Пример 2. Решим предыдущую задачу (рис. 8.16,а) несколько проще. Выберем основ-
ную систему так, как показано на рис. 8.13,б, т.е. разрежем балку в защемлении и вста-
вим шарнир. Этим самым мы освободим одну простую лишнюю связь. Экивалент-
ная система приведена на рис. 8.16,в, а эпюры от единичного момента и внешней наг-
рузки – на рис. 8.16,г,д. Коэффициенты канонического уравнения:
Подставляя полученные значения коэффициентов в каноническое уравнение, най-
дём
,
т.е. то же значение опорного момента mA
, что и в предыдущей задаче.
Далее для эквивалентной системы строим
эпюры Q, M.
Эпюра моментов может быть получена
весьма просто сложением эпюр моментов,
изображённых на рис. 8.16,г,д, при условии,
что ординаты единичной эпюры увеличены
раза.
После определе-
ния опорных реакций RA , RB из уравнений равновесия
,
обычным способом строится эпюра Q. Перемножая эпюры на рис. 8.16,е,ж, находим:
Деформационная проверка даёт
что подтверждает правильность решения.
76
Рис. 8.16.
Пример 3. Рассмотрим дважды статически неопределимую балку (рис. 8.17,а). Раскро-
ем её статическую неопределённость методом сил.
Возможны, как и в примерах 1 и 2, два варианта выбора эквивалентной системы (рис. 8.17.,б,в). Более рациональной является эквивалентная система на рис. 8.14,в, где в опорах врезаны внутренние шарниры.
Канонические уравнения метода сил имеют вид:
(1)
Для определения коэффициентов
строим
для основной системы эпю-
ры от внешней нагрузки (рис. 8.17,г) и единичных моментов (рис. 8.17,д).
Рис.
8.17
77
В результате их перемножения по способу Верещагина, находим:
Подставляя полученные значения коэффициентов в канонические уравнения (1), находим:
откуда следует:
Эпюра моментов от Х1 и Х2 построена на рис. 8.17,е. Складывая её с эпюрой моме-
нтов от внешних сил (рис. 8.17,г), находим суммарную эпюру моментов (рис. 8.17,ж).
Найдём далее из уравнений равновесия частей эквивалентной системы опорные реакции. Из рис. 8.14,в следует:
откуда находим:
Эпюра перерезывающих сил строится по известным правилам (см. рис. 8.17,з). Да-
лее производится деформационная проверка. Угол поворота сечения в опоре 1 (защем-
ление) и взаимный угол поворота сечений над опорой 2 равны нулю.
78
Сделаем проверку второго из этих условий:
Деформационная проверка подтверждает правильность полученного решения.
Пример 4. Раскрыть статическую неопределимость рамы и построить эпюры N, Q, M (рис. 8.18).
Рис. 8.18
Заданная стержневая система (рис. 8.12,а) один раз статически неопределима. На
рис. 8.18,б изображена основная система, на рис. 8.18,в – эквивалентная. Каноническое уравнение метода сил имеет вид:
(1)
Для определения коэффициентов
строим эпюры моментов от единичной силы
и внешней силы Р (рис. 8.19). При определении
используем
эпюру от единичной силы (рис. 8.19,а). Она
является одновременно эпюрой моментов
от задан-
ной и единичной нагрузки. Применяя формулу Мора (7.18) при сохранении члена с изгибающим моментом и способ Верещагина, получаем:
Для вычисления
воспользуемся формулой Мора (7.18) в виде
где использованы эпюры на рис. 8.19. Подставляя найденные значения в каноническое уравнение, получим:
откуда находим лишнюю неизвестную:
79
Рис. 8.19
При построении эпюр используем эквивалентную систему, в которой Х1 уже изве-
стно, и метод сечений. Построение эпюры моментов можно упростить, если применить способ разложения: эпюру моментов строить отдельно от внешней нагрузки и силы Х1 , а затем их сложить. Эпюра от внешней нагрузки изображена на рис. 8.19,б. Эпюру мо-
ментов от Х1 получим от единичной
силы
(рис. 8.19,а), если все ординаты этой эпюры
умножим на Х1 (рис. 8.20,а). Складывая
эту эпюру с эпюрой на рис. 8.19,б полу-
чим окончательную эпюру моментов (рис. 8.20,б). Эпюры нормальных и перерезываю-
щих сил строим с использованием метода сечений (см. рис. 8.18).
Рис 8.20
Для деформационной проверки определим перемещение в направлении силы Х1 эквивалентной системы (рис. 8.18). Для этого по правилу Верещагина перемножим окончательную эпюру изгибающих моментов (рис. 8.20,б) на единичную (рис. 8.19,а) -
80
либо, что всё равно, эпюры моментов Х1
и Р (рис. 8.20,а; 8.19,б) - на единичную от
.
В результате получим:
что подтверждает правильность полученного решения.
Пример 5. Рассмотрим два раза статически неопределимую раму (рис. 8.21,а). На
рис. 8.21,б изображена её эквивалентная
система. Для определения коэффициентов
системы
канонических уравнений (8.4) построим
эпюры от единичных сил и внешней нагрузки
(рис. 8.21). Используя формулы (7.18), (8.5) и
способ Верещагина найдём:
Подставляя найденные значения коэффициентов в канонические уравнения (8.4) для
i = 2, получим:
откуда:
Умножая единичные эпюры на рис. 8.21. соответственно на Х1 , Х2 , получим эпю-
ры моментов от этих сил (рис. 8.22,а,б). Складывая эти эпюры с эпюрой моментов от внешней нагрузки (рис. 8.20,в), получим суммарную эпюру моментов (рис. 8.23,а). Эпюры N и Q изображены на рис. 8.23,б,в соответственно.
Произведём деформационную проверку. Для этого найдём перемещения:
что подтверждает правильность полученного решения.
81
Рис. 8.21
Рис. 8.22
82
Рис. 8.23