8.3. Статически определимые и неопределимые стержневые

неизменяемые системы

Кинематически неизменяемая стержневая система называется стати-

чески определимой если все внутренние силовые факторы можно найти из независимых уравнений статики. В противном случае система называется статически неопределимой. Степенью статической неопределённости на-

зывается разность n между числом неизвестных внутренних силовых фак-

торов, опорных реакций и числом независимых уравнений статики.

На рис.8.9. приведён статически неопределимая рама, у которой число внешних неизвестных реакций в опорах равно шести, а независимых урав-

нений равновесия можно составить только три. Следовательно, степень статической неопределимости n = 6 – 3 = 3. Эту систему назовём основной системой. В данном примере мы имеем три простые лишние связи в

опоре В.

а) б)

в) г)

Рис.8.9

Соответствующие им опорные реакции Х₁ = Н_В, Х₂ = R_B, X₃ = m_B назовём лишними неизвестными. Число лишних неизвестных и соответствующих им лишних простых связей определяет степень статической неопределимо-

сти n=3. Основную систему с приложенными к ней лишними неизвестны-

ми Х₁, Х₂, Х₃ и внешней нагрузкой Р называют эквивалентной системой при условии, что её действительные перемещения согласуются с наложен-

ными на исходную систему связями. Основных и эквивалентных систем может быть несколько. На рис.8.9,г изображена эквивалентная система, в которой в качестве лишних связей и неизвестных выбраны внутренние силовые факторы Х₁=N, X₂=Q, X₃=M. Рассмотрим раму с замкнутым стер-

жневым контуром (рис.8.10,а). Внешние реакции этой системы можно най-

ти из уравнений равновесия рамы: Н_А= - Р, R_B= - R_A= .

Это означает, что по отношению к внешним связям и внешним реакци-

ям рама статически определима. Рассекая раму, мы тут же убеждаемся, что определить внутренние силовые факторы X₁=N, X₂=Q, X₃=M не представ-

ляется возможным, т.к. они не могут быть определены из уравнений равно-весия. Следовательно, замкнутый стержневой контур рамы трижды статически неопределим.

а) б)

Рис.8.10

Таким образом, в рассмотренных двух примерах число лишних неизвест-

ных либо связей определяет степень статической неопределимости систе-

мы.

Рассмотрим теперь три другие рамы, которые содержат замкнутые контуры (рис.8.11).

а) б) в)

Рис.8.11

Первая рама (рис.8.11,а) имеет шесть простых внешних связей при трёх необходимых для плоской системы. Следовательно, система имеет

Л = 6 – 3 = 3 лишние внешние связи. Система имеет один замкнутый кон-

тур К = 1, который имеет три лишние внутренние простые связи, т.е. триж-

ды статически неопределим. Следовательно, степень статической неопре-

делимости системы n = Л + 3К = (6 – 3) + = 6. Вторая рама (рис.8.11,б) имеет пять внешних простых связей при трёх необходимых. Следователь-

но, Л = 5 – 3 = 2 и система внешним образом дважды статически неопреде-лима. Система имеет два замкнутых контура К = 2, каждый из которых трижды статически неопределим, следовательно, внутренним образом сис-

тема 3К = = 6 шесть раз была бы статически неопределима, если