8.4. Расчёт статически неопределимых систем

методом сил

Наиболее распространённым методом раскрытия статически неопреде-

лимых систем является метод сил. Он заключается в том, что система осво-

бождается от лишних связей и их действие заменяется лишними неизвест-

ными, которые принимаются за основные неизвестные задачи (рис.8.12, 8.13). Стержневая система, получаемая из заданной путём отбрасывания лишних связей и внешней нагрузки называется основной (рис.8.9,б, 8.10,б).

а) б) в)

Рис.8.12

Основных систем может быть несколько. Основная система с приложенными лишними неизвестными X_i и внешней нагрузкой Р носит название эквивалентной системы. Условие эквивалентности этой зада-

нной системы состоит в том, что величины лишних неизвестных должны быть подобраны так, чтобы перемещения системы в точности соответство-

вали тем ограничениям, которые накладываются на неё отброшенными связями.

72

Рис.8.13

Для рамы на рис.8.12. горизонтальное и вертикальное линейные пере-

мещения точки А равны нулю. Взаимные линейные и угловые обобщённые перемещения краёв разреза В-В также равны нулю. Аналогично для балки на рис.8.13. Таким образом, обобщённые перемещения:

, (8.1)

где i = 1, 2, … , 5.

Пользуясь принципом независимости действия сил,(8.1) запишем в виде:

. (8.2)

Пользуясь законом Гука, каждое из перемещений от силы X_j представим в виде:

, (8.3)

где - коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом влияния. Его геометрический смысл легко выяснить, полагая X_j = 1. В этом случае . Следовательно, - это перемещение в направлении

i-ой единичной силы от действия единичной силы, приложенной в направ-

лении j.

Учитывая (8.3), выражение (8.2) запишем в виде:

(8.4)

или в развёрнутом виде:

73

Полученные уравнения (8.4) носят название канонических уравнений метода сил. Их количество зависит от степени статической неопределимо-

сти стержневой системы.

Коэффициенты влияния находятся с помощью формулы Мора (7.18), где внутренние силовые факторы от внешней нагрузки следует за-

менить таковыми от единичной силы X_j = 1:

(8.5)

Из (8.5) следует, что . Перемещения определяются обычным путем с помощью формулы Мора (7.18).

Если возникает необходимость определения перемещения некоторой точки С статически неопределимой системы, то в этой точке в направле-

нии искомого перемещения следует приложить единичную силу (рис.8.14,а). а) б)

Рис.8.14

Если силу приложить к заданной системе (рис.8.12,а), то в таком случае вновь возникает задача о раскрытии статической неопределённости. Эта трудность устраняется, если работать с эквивалентной системой. В этом случае единичная сила прикладывается к основной системе (рис.8.14,б).Указанный способ часто используется для, так называемой, де-

формационной проверки правильности построенных эпюр. В эквивалент-

ной системе определяются заведомо известные перемещения некоторых точек. Обычно это перемещения тех точек, где были отброшены лишние связи. Если полученный результат совпадает с ожидаемым, то это подтвер-

ждает правильность построенных эпюр.

74