nonequilibrium_statistical_operator

УДК 536.75

Печатается по решению Редакционно-издательского совета ФГАОУВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет»

методической комиссии института физики Протокол № 5 от 8 ноября 2011 г.

заседания кафедры теоретической физики Протокол № 3 от 5 октября 2011 г.

Научный редактор

доктор физ.-мат. наук, проф. Прошин Ю.Н.

Рецензенты:

доктор. физ.-мат. наук, проф. КФУ Таюрский Д.А. канд. физ.-мат. наук, доц. КГЭУ Желифонов М.П.

Хамзин А.А., Нигматуллин Р.Р.

Метод неравновесного статистического оператора и его приложение к кинетике изинговских магнетиков: Учебное пособие / А.А. Хамзин, Р.Р.

Нигматуллин. – Казань: Казанский университет, 2011. – 87 с.

Учебное пособие включает изложение основ метода неравновесного статистического оператора Зубарева и его приложение к кинетике изинговских магнетиков.

Предназначено для студентов пятого курса и магистрантов первого года обучения института физики, специализирующихся по теоретической физике. Это пособие принесет пользу студентам и аспирантам других специализаций, интересующихся проблемами неравновесной статистической механики.

© Казанский университет, 2011 © Хамзин А.А., Нигматуллин Р.Р. 2011

2

Предисловие

Цель настоящего пособия - помочь студентам освоить один из основных методов современной неравновесной статистической механики, метод неравновесного статистического оператора. Метод неравновесного статистического оператора был развит в работах Д.Н. Зубарева и В.П. Калашникова (см. [1-10], некоторые из них), и по своей общности сравним с методами построения кинетических уравнений в формализме МориЦванцига. Метод успешно применялся к различным задачам необратимых процессов в физике конденсированного состояния: теории ядерной спиновой диффузии, ядерного магнитного резонанса, динамической поляризации ядер, теории спин решеточной релаксации в полупроводниках и т.д. (см. обзор [11]). В настоящее время интерес к методу не угас, а напротив метод неравновесного статистического оператора активно развивается [12-13], и многие современные проблемы рассматриваются в его рамках (см., например, [14-15]).

Также отметим, что техника построения кинетических уравнений в рамках метода неравновесного статистического оператора очень часто использовалась и используется в настоящее время для исследования кинетических явлений в сильно коррелированных системах сотрудниками Казанского Университета, в частности кафедры теоретической физики. Так, например, Б.И. Кочелаевым с учениками была построена теория кинетических явлений в системе спинов и фононов под действием сверхвысокочастотного электромагнитного поля, света, гиперзвука, основанной на концепции спиновой температуры [16]. На основе этой теории удалось понять характер процессов спиновой релаксации в концентрированных парамагнитных кристаллах при сверхнизких температурах и явление гигантского перегрева системы фононов, находящихся в резонансе с парамагнитными ионами, и возникновение лавины фононов [17]. Н.Г. Фазлеевым была построена теория спиновой кинетики в проводниках с локализованными парамагнитными центрами [18-19]. Р.Р. Нигматуллиным и Д.А. Таюрским в рамках метода неравновесного статистического оператора были получены кинетические уравнения с учетом эффектов запаздывания (памяти) [20].

Метод неравновесного статистического оператора основан на построении локальных интегралов движения и в значительной мере использует идею Боголюбова Н.Н. [21] о сокращении числа параметров, необходимых для описания системы в процессе эволюции. Действительно, такое описание

4

становится возможным, если рассматривать ее на не слишком малых масштабах времени, когда становятся несущественными детали начального состояния системы.

Настоящее учебно-методическое пособие разделено на две части (главы). В первой главе излагаются основы метода неравновесного статистического оператора. Определены неравновесный и квазиравновесный статистические операторы, выведено уравнение Лиувилля для неравновесного статистического оператора, определено интегральное уравнение и построена теория возмущений для неравновесного статистического оператора, получены линейные релаксационные уравнения для макроскопических переменных. Во второй главе рассматривается приложение метода неравновесного статистического оператора к построению кинетики изинговских спин-систем. Выбор в качестве демонстрации возможностей метода неравновесного статистического оператора рассмотрение в его рамках кинетики изинговских систем не случаен. Во-первых, это относительная простота гамильтониана изинговской спин-системы. Именно благодаря этой простоте низкоразмерные модели допускают строгое определение как термодинамических величин (теплоемкость, статическая магнитная восприимчивость), так и равновесных спиновых корреляционных функций, квазиравновесные аналоги которых используются при построении кинетических уравнений. В рамках модели Изинга, как будет показано в главе 2, можно получить ряд строгих результатов в кинетической теории. Во-вторых, строгая кинетическая теория изинговских магнетиков построена учеными, которые принадлежат Казанской научной школе, а именно сотрудниками Физико-технического института КНЦ РАН А.Р. Кесселем и Г.О. Беримом (см. монография [22]). Поэтому, авторы настоящего пособия, в какой-то степени, преследовали цель познакомить студентов, обучающихся в КФУ, с некоторыми научными результатами, принадлежащими Казанской научной школе и получившими заслуженное признание в мировой науке. Структура второй главы построена следующим образом. Вначале, основываясь на общих кинетических уравнениях, полученных в первой главе, выводятся кинетические уравнения применительно к изинговским спин-системам. Затем, опираясь на решения полученных кинетических уравнений, описывается релаксация энергии линейной и квадратной моделей Изинга с взаимодействием ближайших соседей, имеющих спин ½. В приложении излагается метод расчета равновесных корреляционных функций модели Изинга, который также разработан представителями Казанской научной школы (см. [23-26]), а именно сотрудниками Физико-технического института КНЦ РАН М.П. Желифоновым и Р.З. Бариевым. В этом же приложении приведен расчет

5

спиновых корреляционных функций линейной модели Изинга с взаимодействием ближайших соседей и спином ½. Включение этого материала связано с необходимостью использования при построении кинетических уравнений изинговской спиновой системы квазиравновесных аналогов спиновых корреляционных функций.

Отметим принципы, которыми авторы руководствовались при написании данного пособия. Как уже упоминалось выше, метод неравновесного статистического оператора является признанным методом анализа кинетических явлений для широкого круга физических систем. К настоящему времени уже имеется достаточного много как учебных, так и монографических работ (см., например, [27-32]), где излагается этот подход. Однако большая часть публикаций рассчитана на читателя, имеющего солидную научную подготовку, нежели та, которой обладают студенты университетов физического и математического факультетов к пятому курсу обучения. Поэтому ощущается острый недостаток в литературе для «начинающих», в которой бы соблюдался естественный баланс между общими положениями теории и простыми примерами их практической реализации. Другой принцип состоит в том, что авторы по возможности старались избегать таких оборотов, как «очевидно» и «легко показать». Не секрет, что очень часто за этими словами скрываются громоздкие и трудоемкие вычисления. Мы старались написать текст так, чтобы вернуть этим словосочетаниям их исходный смысл. Однако, в некоторых местах текста мы используем слова «очевидно» и «легко показать» с целью привлечь читателя к самостоятельному выводу некоторых формул. Указания на самостоятельный вывод оформлены в виде задач, решение которых позволит читателю усвоить излагаемый материал в более полной форме. Так как это учебное пособие, то мы также старались выделить некоторые ключевые слова и словосочетания курсивом, чтобы лишний раз подчеркнуть наиболее важные положения или выводы.

6

ГЛАВА 1. МЕТОД НЕРАВНОВЕСНОГО СТАТИСТИЧЕСКОГО ОПЕРАТОРА

1.1. Уравнение Лиувилля и его решение

Квантовая система может находиться в чистом или смешанном состоянии. Если система находится в чистом состоянии, то она может быть описана волновой функцией ψ, которая подчиняется уравнению Шредингера:

состоянии, описываемом волновой функцией ψ, определяется выражением < A >=< ψ | A | ψ >. Физические величины, получающиеся в результате усреднения, должны быть действительными. Это приводит к тому, что операторы физических величин являются эрмитовыми и удовлетворяют условию A+ = A, A+ = A* , где знак тильды означает транспонирование, а звездочка, как обычно,− комплексное сопряжение элементов матрицы. Описание системы на языке волновых функций является наиболее полным с точки зрения квантовой механики и в каком-то смысле соответствует описанию частиц на языке траекторий в классической механике.

Определим теперь понятие смешанного состояния в квантовой теории. Рассмотрим систему, которая является частью некоторой большой системы, находящейся в чистом состоянии. Пусть совокупность координат x описывает интересующую нас подсистему, а совокупность величин q – остальные координаты замкнутой системы. Волновая функция ψ(q, x) зависит от переменных x и q и не распадается на произведение функций, зависящих только от x и только от q. По этой причине интересующая нас малая система не имеет волновой функции и не может быть описана с максимально допустимой в квантовой механике полнотой.

Вычислим снова среднее значение оператора A, который относится к малой системе и действует только на переменные x. Обобщая результаты, полученные для чистых состояний, имеем

Введем более удобное для практических приложений определение среднего (1.2). Определим полный набор собственных функций ϕn (x) некоторого оператора, например оператора Гамильтона, для выделенной подсистемы и аналогичный набор θn (q) − для остальной системы. Тогда очевидно, что волновая функция ψ(q, x) может быть разложена в ряд

Учитывая ортонормированность собственных функций θi(q) и θj(q), получаем

где Anm = ∫ϕ*n (x)Aϕm (x)dx .

Для того чтобы продвинуться дальше, необходимо заметить, что

Величина ρmn, введенная выше, носит название матрицы плотности. Физический смысл введенной матрицы плотности проще понять, если рассмотреть диагональные матричные элементы

которые можно легко интерпретировать. Действительно, будем считать, что состояние малой системы является смесью чистых состояний, которые нумеруются индексом j. Тогда величина Wj имеет смысл вероятности

8

реализации состояния j, а произведение anj* anj – вероятности реализации n-го собственного значения для j -го чистого состояния. Величина ρnn (1.7) имеет смысл вероятности для системы находиться в n-м стационарном состоянии, которое может реализоваться в любом из возможных чистых состояний системы. Используя определение (1.6), среднее значение оператора A можно записать достаточно просто:

Пусть теперь оператор A, входящий в определение среднего, равен единичному оператору. Среднее значение такого оператора, очевидно, равно единице. Поэтому вместо (1.8) получаем

Последний результат является очевидным, поскольку диагональный матричный элемент матрицы плотности имеет смысл, как это отмечено выше, вероятности нахождения системы в n-м стационарном состоянии. Вероятность находиться в одном из возможных состояний полного набора состояний равна единице.

Уместно привести пример системы, находящейся в контакте с термостатом. Будем считать, что волновые функции ϕn (x) являются собственными функциями оператора Гамильтона: Hϕn (x) = Enϕn (x) , где En – собственные значения энергии системы. В этом случае вероятность для системы, находящейся в смешанном состоянии, иметь значение энергии En определяется распределением Гиббса:

ρ= exp(−En /T ) . (1.10)

nn∑m exp(−Em /T )

Вквантовой механике чистые и смешанные состояния различаются принципиально. Если система в некоторый момент времени t находилась в чистом состоянии, то, в силу линейности уравнения Шредингера, она и будет оставаться в чистом состоянии на протяжении всей эволюции. В действительности чистые состояния являются идеализацией и, видимо, не

9

могут быть реализованы, если система взаимодействует со своим окружением.

Интересная взаимосвязь чистых и смешанных состояний возникает в связи с проблемой измерения. Предположим, что мы имеем систему, находящуюся в чистом состоянии, с волновой функцией ψ = ∑n CnUn , где Un− собственные

функции, например, оператора энергии. Обычное квантово-механическое среднее

< A >= ∑Cn*Cm ∫Un* (x)AUm (x)dx

n,m

для чистого состояния можно записать, используя определение среднего (1.8). Отсюда получаем простое выражение для компонент матрицы плотности системы в чистом состоянии

Будем производить измерение энергии в ансамбле таких одинаковых систем. Произведя многократное измерение, очевидно, получим вероятности Pn нахождения системы со значением энергии E = En. Таким образом, в результате измерения сформируется смешанное состояние, которое описывается другой матрицей плотности, не совпадающей с исходной. Это становится особенно ясным, если снова найти среднее значение оператора

Сравнивая два последних результата, видим, что произошла редукция матрицы плотности, и она потеряла недиагональные элементы, которые приводят в чистом состоянии к интерференции состояний с разными значениями n. Здесь ситуация полностью аналогична случаю, когда в некоторой точке пространства складываются значения векторов напряженности электрического поля для двух когерентных источников света, в то время как для некогерентных источников складываются квадраты интенсивностей (освещенности) и явление интерференции пропадает. Таким образом, в процессе измерения чистое состояние заменилось смешанным и произошла потеря информации о системе. Поскольку потеря информации означает возрастание энтропии, то мы сталкиваемся с ситуацией, когда

10