nonequilibrium_statistical_operator

Для решения полученной системы разностных уравнений, удобно ввести в

рассмотрение оператор трансляций pˆ , следующим образом действующий на функцию ϕm ( j, A′)

С помощью этого оператора система уравнений может быть записана в виде

81

+2 η2 ( pˆ −1)ϕ2 ( j, A′)

η1

и исключаем отсюда функцию ϕ2 ( j, A′) с помощью уравнения (П.50). В результате получаем следующее уравнение, содержащее только одну неизвестную функцию ϕ1( j, A′)

( pˆ −1)ϕ1( j, A′) =η1−1 (η12 −η22 )( pˆ2 − pˆ +1− pˆ−1) −2η0η2 ( pˆ2 − pˆ) +2η0η2 ( pˆ2 −1) ϕ1( j, A′),

которое удобно представить в виде

где

Уравнение (П.52) представляет собой разностное уравнение

Решение полученного одномерного разностного уравнения ищем методом Эйлера, согласно которому решение ищется в виде ϕ1( j, A′) = λj . Подстановка этого выражения в уравнение (П.54) приводит к следующему характеристическому уравнению на λ

Корни уравнения (П.55) имеют вид

82

где C1 (A′), C1± (A′) - произвольные постоянные, значения которых зависят от вида оператора A′ и должны определяться из дополнительных соотношений, играющих роль граничных условий. Выражение для остальных неизвестных функций имеет аналогичный вид

где Cm (A′), Cm± (A′) являются некоторыми линейными комбинациями констант

C1 (A′), C1± (A′) и ϕ0 ( A′).

В бесконечной цепочке Изинга, величины корреляционных функций

Третье соотношение получим из тождества

83

Аналогичным образом из системы (П.47-П.49) можно найти корреляционные функции как с большим числом спинов, так и с различной пространственной структурой. Анализ, проведенный М.П. Желифоновым [23], показал, что в

коррелятор; Cnα - произвольные постоянные, m=n/2 при n четном и m=(n+1)/2 при n нечетном. В качестве граничных значений для определения Cnα более сложных чем ϕm ( j, S0z ) , корреляторов можно использовать уже найденные значения Cmα .

85

Литература

1.Зубарев Д. Н., Статистический оператор для неравновесных систем, ДАН

СССР 140, 92 (1965).

2.Зубарев Д. Н., Локально равновесный ансамбль Гиббса и его связь с теорией флуктуаций и явлениями переноса, ДАН СССР 162, 532 (1965).

3.Зубарев Д. Н., Процессы переноса в системах с внутренними степенями свободы, ДАН СССР 162, 794 (1965).

4Зубарев Д. Н., Статистический оператор для нестационарных процессов,

ДАН СССР 164, 537 (1965).

5.Зубарев Д. Н., Калашников В. П., Экстремальные свойства неравновесного статистического оператора, ТМФ 1, 137 (1969).

6.Зубарев Д. Н., Граничные условия для статистических операторов в теории неравновесных процессов и квазисредние, ТМФ 3, 276 (1970).

7.Зубарев Д. Н., Калашников В. П., Построение статистических операторов для неравновесных процессов, ТМФ 3, 126 (1970).

8.Зубарев Д. Н., Калашников В. П., Теория возмущений и интегральные уравнения для неравновесных статистических операторов, ТМФ 5, 406 (1970).

9.Зубарев Д. Н., Калашников В. П., Эквивалентность некоторых методов в статистической механике необратимых процессов, ТМФ 7, 372 (1971).

10.Зубарев Д. Н., Калашников В. П., Вывод необратимого во времени обобщенного основного кинетического уравнения. Дубна: ОИЯИ, Препринт

P4-P5658, 1971, с. 3-31.

11.Kuzemsky A. L., Theory of transport processes and the method of the nonequilibrium statistical operator, International Journal of Modern Physics B 21, 2821 (2007)

12.Markiv B. B., Tokarchuk R. M., Kostrobij P.P., Tokarchuk M.B., Nonequilibrium statistical operator method in Renyi statistics, Physica A 390, 785 (2011).

86

13.Ryazanov V. V., Lifetime distributions in the methods of non-equilibrium statistical operator and superstatistics, The European Physical Journal B 72, 629 (2009).

14.Adams J., Reinholz H., Redmer R. and French M., Linear response treatment of the Hall effect within the Zubarev formalism, J. Phys. A 39, 4723 (2006).

15.Huanga X.-G., Sedrakiana A., Rischkea D.H., Kubo formulas for relativistic fluids in strong magnetic fields, Annals of Physics 326, 3075 (2011).

16.Kochelaev B.I. Spin temperature and non-equilibrium phonons, NMR and more (a volume in honor of Anatole Abragam). – Paris: Les Editions de Physique les Ulis, 1994. – P. 279-292.

17.Альтшулер С.А., Валишев Р.М., Кочелаев Б.И., Хасанов А.Х., Исследование фононной лавины по Мандельштам-бриллюэновскому рассеянию света в условиях насыщения магнитного резонанса, ЖЭ'ТФ 62, 239 (1972).

18.Фазлеев Н.Г. ФНТ 5, 380 (1979).

19.Фазлеев Н.Г. ФНТ 6, 1422 (1980).

20.Nigmatullin R. and Tayurskii D. A straightforward memory function calculation with the non-equilibrium statistical operator method, Physica A 175,

275(1991).

21.Боголюбов Н.Н. Избранные труды. В 3 т. – Киев: Наук. Думка, 1970.

22.Кессель А.Р., Берим Г.О. Магнитный резонанс изинговских магнетиков. –

М.: Наука, 1982. – 147 с.

23. Желифонов М.П. Высшие корреляционные функции изинговского ферромагнетика. Случай линейной модели для спина S=1/2, ТМФ 8, 401 (1971).

24.Bariev R.Z., Zhelifonov M.P., The new formulation of Ising problem, Physica Letters 50A, 105 (1974).

25.Bariev R.Z., Higher-order correlation functions of the planar Ising model, Physica 83A, 388 (1976).

26.Bariev R.Z., On the rotational symmetry of the spin-spin correlation function of the two-dimensional Ising model., Physica Letters 55A, 456 (1976).

27.Зубарев Д.Н. Неравновесная статистическая термодинамика. – М.: Изд. Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1971. – 415 с.

28.Зубарев Д.Н., Морозов В.Г., Репке Г. Статистическая механика неравновесных процессов. Т. 1.. – М.: Физ.-мат. лит., 2002.- 432 с.

29.Зубарев Д.Н., Морозов В.Г., Репке Г. Статистическая механика неравновесных процессов. Т. 2.. – М.: Физ.-мат. лит., 2002.- 296 с.

30.Ляпилин И.И. Введение в теорию кинетических уравнений. Учебное пособие. - Екатеринбург: УГТУ-УПИ, 2004. - 332 с.

87

31.Ляпилин И.И., Калашников В.П. Неравновесный статистический оператор и его приложения к кинетике парамагнитных явлений в проводящих кристаллах. – Екатеринбург: УрО РАН, 2008.- 366 с.

32.Биккин Х.М., Ляпилин И.И. Неравновесная термодинамика и физическая кинетика. – Екатеринбург: УрО РАН, 2009. – 500 с.

33.Пригожин И. От существующего к возникающему: время и сложность в физических науках. - М.: Наука, 1985.

34.Гуров К. П. Феноменологическая термодинамика необратимых процессов. - М.: Наука, 1978.

35.Кubо R., Statistical-Mechanical Theory of Irreversible Processes: I. General Theory and Simple Applications to Magnetic and Conduction Problems, J. Phys. Soc. Japan. 12, 570 (1957).

36.Пелетминский С.В., Яценко А.А., Метод производящего функционала и вириальные разложения в неравновесной статистической механике, ТМФ,

3, 287 (1970).

37.Покровский Л.А., Получение обобщенных кинетических уравнений с помощью неравновесного статистического оператора, ДАН СССР 183, 806 (1968).

38.Glauber R.J. Time Dependent Statistics of the Ising Model, J. Math. Phys. 5,

294(1963).

39.Matsudaira N. Some dynamical properties of the Ising ferromagnet, Canad. J. Phys. 45, 2091 (1967).

40.Matsudaira N. Some Dynamical Properties of the Ising Ferromagnet. II. Cubic Lattices, J. Phys. Soc. Jap. 23, 232 (1967).

41.Tanaka M., Takahashi K., Kinetic Ising Model with the Bilinear and Biquadratic Interactions, J. Phys. Soc. Jap. 43, 1832 (1977).

42.Буишвили Л.Л., Звиададзе Н.Д. Препринт ин-та теор. физики, №82, Р.

Киев, 1970.

43.Провоторов Б.Н. О магнитном резонансном насыщении в кристаллах,

ЖЭТФ 41, 1582 (1961).

44.Fisher M. E., Perpendicular susceptibility of the Ising model, J. Math. Phys. 4,

124(1963).

45.Allan G. A., Betts D. D., The frequency-dependent initial perpendicular susceptibility of the Ising model, Can. J. Phys. 46, 15 (1968).

46.Halperin B. L, Hohenberg P. C, Ma S., Renormalization-group methods for critical dynamics: I. Recursion relations and effects of energy conservation, Phys. Rev. B 10, 139 (1974).

47.Houtappel R. M. F., Order-disorder in hexagonal lattices, Physica 16, 425 (1950).

88

48.Callen H. B. A note on Green functions and the Ising model, Phys. Lett. 4, 161 (1963).

49.Suzuki M. Generalized exact formula for the correlations of the Ising model and the other classical systems, Phys. Lett. 19, 26 (1965).

50.Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. – М.: Наука, 1966.- 576 с.

89