nonequilibrium_statistical_operator

Из равенства (П.7) следует тождество

( S jz χm = mχm , m = −S,−S +1,..., S ) имеет лишь один отличный от нуля и равный

71

m=−S

Поскольку

S

< χm | Qm | χm >= ∏ (m − p) ,

p=−S , p≠m

то оператор rj (m) можно следующим образом выразить через базисные операторы Qm

p=−S , p≠m

Операторы rj (m) обладают следующими свойствами

72

где ωM = ω0 + ∑mk ωek , mk M есть собственные частоты модели. Здесь M

M

есть элемент множества {M} всевозможных наборов m1, m2 , ..., mn из n квантовых чисел mk , каждое из которых принимает одно из 2S+1 значений: -

S, -S+1, …, S.

В частном случае изинговской решетки, в которой все обменные

Как и Rj (ωM ) , операторы Rj (ωM ) имеют смысл проективных операторов в

пространстве спиновых состояний Ψ{mj } = ∏χmj , где {mj } есть множество

j

наборов из N квантовых чисел всех спинов. Оператор Rj (ωM ) проектирует

73

эти состояния на подпространство состояний, в которых суммарная проекция на ось z спинов, взаимодействующих со спином j , равна M.

Рассмотрим корреляционную функцию вида < S +j (τ)S −j A >, где A - оператор, содержащий произвольную комбинацию спиновых операторов, не относящихся к выделенному узлу j . Воспользуемся тождеством

где O1 (τ) - произвольный квантово-механический оператор в представлении Гейзенберга, O2 - произвольный квантово-механический оператор в представлении Шредингера. Подставляя в тождество (П.22) O1 (τ) = S +j (τ) , O2 = S −j A , получим

< e−β(ω0 +θj ) (S(S +1) + S jz −(S jz )2 )A >=< (S(S +1) − S jz −(S jz )2 )A >, (П.23)

где мы воспользовались известными тождествами

74

опрокидывании. В случае спина S=1/2 λk представляют собой 2n линейных комбинаций вида

{λk }= 2 (±ωe1 ±ωe2 ±... ±ωen ).

В результате для оператора θj можно определить аннулирующий многочлен

[50] вида

то, очевидно, что этот аннулирующий многочлен будет минимальным. Детальное рассмотрение модели Изинга различных размерностей показывает, что минимальный аннулирующий многочлен для оператора локального поля θj имеет вид

m

Wmin (λ) = ∏(λ −λk ), m ≤ m, λk1 ≠ λk2 при k1 ≠ k2 .

k=1

Наличие минимального аннулирующего многочлена у θj позволяет выразить

высшие степени оператора локального оператора через низшие. Поэтому, согласно определению функции от матрицы [50], функция f (θj ) ,

определенная на спектре оператора локального поля θj представляется в виде

где L(λ) - интерполяционный многочлен Лангранжа-Сильвестри [50], коэффициенты которого определяются интерполяционными условиями вида

Принимая во внимание эти соотношения, перейдем непосредственно к изложению метода расчета равновесных корреляционных функций модели

76

Изинга. Для простоты дальнейшего изложения ограничимся рассмотрением модели Изинга со спином S=1/2. Тогда операторное тождество (П.28) принимает вид

виде многочлена и поэтому тождество (П.33) примет вид

k=0

где коэффициенты ηk находятся из решения системы линейных уравнений

(П.32)

Если в уравнении (П.34) оператор A представить в виде A=FA’ и в качестве F взять всевозможные независимые произведения, составленные из спиновых операторов частиц непосредственно взаимодействующих с центральной частицей кластера j , то получим систему линейно независимых уравнений для определения всех необходимых корреляционных функций

где k = 0,1.

Соотношения (П.36) связаны с кластером отдельно взятой частицы и число неизвестных корреляционных функций в них всегда превышает число уравнений в два раза, если рассматривать (П.36) как систему алгебраических уравнений. Поэтому, согласно [23], систему уравнений (П.36) для корреляционных функций следует рассматривать как систему разностных

77

уравнений. При этом все n-частичные корреляторы можно рассматривать как одну и ту же функцию, взятую при различных значениях пространственных переменных

< Skz1 Skz2 ...Skzn >= ϕn (k1,k2 ,..., kn ) .

Изменение пространственных переменных в корреляционных функциях ограничивается размерами кластера, и по существу независимыми пространственными переменными оказываются только координаты центра кластера, т.е коррелятор как функция координат представляется в форме

ϕn (k +α1,k +α2 ,..., k +αn ) = ψn (k +{αi }) ,

где {αi } - некоторый набор констант. Отсюда следует, что все корреляторы, у которых набор {αi } один и тот же, можно определить как различные значения одной “однокоординатной” функции ψn (k +{αi }) . Учет этого обстоятельства упрощает характер зависимости корреляторов от пространственных переменных. В работе [23] было фактически показано, что система соотношений типа (П.36) в случае линейной модели образует полную систему разностных уравнений. Согласно общей теории разностных уравнений в такой системе уравнений всегда можно провести линейные преобразования, приводящие к одному соотношению для однотипных корреляционных функций

∑aj ψn (k + j) = 0,

j

где aj - некоторые коэффициенты, зависящие от величины обменного

интеграла и температуры.

В случае плоских и объемных решеток соотношения (П.36), связанные с кластером отдельной частицы, не образуют полную систему разностных уравнений. Для решения задачи необходимо использовать точные соотношения для корреляционных функций, связанные с расширенным кластером, содержащим р центральных частиц, окруженных оболочкой из q граничных частиц. Детальное рассмотрение показывает, что задача получения полной системы разностных уравнений для корреляционных функций заключается в построении такого кластера (p, q), у которого число граничных спинов q оставалось бы постоянным при дальнейшем его расширении, т.е.

78

при увеличении p. Таким свойством обладают только одномерные системы. Для того, чтобы прийти к одномерным системам в случае плоских и объемных решеток, необходимо выбирать расширенные кластеры таким образом, чтобы они полностью пересекали решетку соответственно в одном и двух направлениях, и их положение определялось единственной пространственной переменной. Например, для плоской решетки ширины n такой кластер образуют n центральных частиц, расположенных в узлах (k, l), l=1, 2, …, n, и окруженных двумя рядами ближайших соседей. Соответственно в объемной решетке, образованной рядом плоскостей размером n×m, такой кластер образуют частицы в узлах (k, l, h), l=1, 2,…,n, h=1, 2, …, m, и окружение двумя плоскостями ближайших соседей.

Продемонстрируем изложенную выше методику расчета равновесных корреляционных функций на примере линейной модели Изинга с взаимодействием ближайших соседей. Для этого случая операторное

следовательно, его спектр имеет три значения {-ωe , 0, ωe }. В результате основное операторное тождество (П.34) определится выражением

где коэффициенты η0 , η1, η2 находятся из решения системы уравнений (П.35) и имеют следующий вид

Подставляя в уравнение (П.38) выражение для оператора локального поля, приведем его к виду

79