nonequilibrium_statistical_operator

где μ определяет различные наборы {μ1,μ2 ,...,μm} значений коэффициентов

подпространство, в котором состояния спинов, обменно связанных с ним,

что в свою очередь определяет свойство ортогональности операторов Rj (ωμ )

Используя соотношения (2.23), (2.24), (2.32) и (2.16) для множества операторов P{ jl } в случае симметричной модели Изинга с S=1/2 произвольной

размерности при одночастичном механизме релаксации получим следующие кинетические уравнения

51

2.2.Кинетика одномерного изинговского магнетика со спином S=1/2

Вкачестве демонстрации, развитой в предыдущих параграфах методики расчета, рассмотрим подробно кинетику одной из простейших моделей Изинга – линейную модель со спином ½ и взаимодействием ближайших соседей. Гамильтониан модели в случае отсутствия внешнего переменного магнитного поля может быть записан в виде

предыдущем параграфе, для изучения кинетических процессов в данной ситуации в качестве параметров сокращенного описания достаточно выбрать неравновесные средние значения операторов

кинетические уравнения для которых имеют форму (2.38).

Отметим, что в силу трансляционной инвариантности модели средние

52

Согласно формулам (2.33) и (2.35) в рассматриваемой модели существуют три собственные частоты:

Кинетические уравнения (2.38) для базисных операторов (2.41) можно привести к виду (см. задача 2.4)

где zμ = th(β ωμ / 2) . Подстановка в уравнения (2.46) проективных операторов

(2.45) с учетом (2.42) и (2.43), приводит к следующим кинетическим уравнениям для параметров σ и E1 (намагниченность и обменная энергия) (см. задача 2.5):

Здесь

a0 = z0 K0 + 12 (z1K1 + z−1K−1 ) , a1 = K0 + 12 K1(1−2z1 ) + 12 K−1(1+ 2z−1 ),

53

а значение индекса j в спиновых корреляционных функциях положено равным нулю.

Для замыкания кинетических уравнений (2.48) может быть предложен специфический прием, основанный на применении в неравновесной теории соотношений равновесной теории и дающий вследствие этого возможность строго осуществить процедуру замыкания. Этот прием базируется на том, что при выборе в качестве параметров сокращенного описания средних значений операторов P1 и P2 квазиравновесный статистический оператор имеет вид

ρT = C exp(−βH ) для некоторой линейной модели Изинга с гамильтонианом (2.40) и эффективными частотами Зеемана и обмена, равными ω0 (t) = 2β1 (t) / β и ωe (t) = 4β2 (t) / β. Поэтому все квазиравновесные средние, входящие в правые части кинетических уравнений (2.47), (2.48), совпадают с равновесными средними этой фиктивной модели и допускают точное статистическое решение.

Равновесные средние для рассматриваемой модели Изинга рассчитаны в приложении и даются выражениями (П.64), (П.67), (П.68). Они зависят только от двух параметров βω0 и βωe , в связи с чем имеется принципиальная возможность выразить все корреляционные функции модели через какиенибудь два равновесных средних. Для наших целей в качестве независимых функций удобно использовать намагниченность σT и обменную энергию E1T . Равновесные аналоги входящих в уравнения (2.47), (2.48) корреляционных функций следующим образом выражаются через σT и E1T :

EmT =< σ0σm >T = σT2 +(E1T −σT2 )m (1−σT2 )1−m ,

54

В соответствии со сказанным выше соотношения (2.51) сохраняют свою форму и для квазиравновесных средних. Это обстоятельство в сочетании с условием < Pn >=< Pn >q позволяет привести кинетические уравнения (2.47),

(2.48) к замкнутой форме (см. задача 2.6)

Система (2.52), (2.53) является конечным результатом нашего общего вывода кинетических уравнений для одномерной модели Изинга. Главным достоинством этих уравнений является то, что при их замыкании не использовались никакие другие приближения, кроме весьма общего предположения о том, что неравновесные свойства физической системы определяются двумя параметрами – неравновесной намагниченностью σ и неравновесной обменной энергией E.

Поскольку система уравнений (2.52), (2.53) является математически сложной и не всегда допускает аналитические строгие решения, имеет смысл проанализировать физически интересные случаи, в которых эти существенно нелинейные уравнения могут быть упрощены.

Рассмотрим приближение высоких температур. Будем считать, что температура термостата T =β−1 существенно превосходит все собственные

Кроме того, предположим, что неравновесные температуры динамических подсистем также высоки, что соответствуют условию E, σ <<1. В этом случае

55

кинетические уравнения (2.52), (2.53)) могут быть линеаризованы и приведены к виду (см. задача 2.7)

Времена τσ , τE и τσE определяют скорость установления равновесия в динамической системе. Решения полученной системы уравнений имеет следующий вид (см. задача 2.8)

где Δσ(0) и E(0) - начальные отклонения от равновесия намагниченности и обменной энергии. Таким образом, динамическая система имеет два времени релаксации, τ+ и τ− , и на больших временах t >> τ± независимо от начальных условий стремится к равновесию ( σ(∞) = E(∞) = 0 ). Однако на конечных временах установление равновесия может носить немонотонный характер и сопровождаться перераспределением энергии и энтропии между магнитной и обменной динамическими подсистемами. Для примера рассмотрим релаксацию изинговской системы из состояния равновесия с равновесной

56

намагниченностью ( Δσ(0) = 0 ), но с неравновесной обменной энергией E(0) ≠ 0 . В этом случае изменение намагниченности в ходе релаксации дается выражением

Отсюда следует, что в процессе релаксации обменной энергии из состояния σ(0) = σT происходит отклонение намагниченности σ(t) от равновесного значения σT . Это отклонение происходит через максимум в момент времени

вновь приходим к системе уравнений (2.55), (2.56) со следующим значениями времен релаксации:

где

Cμ =μ2 (1−μzμ ) +1−13μ2 (1− f− )2 (1+ 2zμσT +σT2 ) ,

Поскольку кинетические уравнения при малых отклонениях от равновесия совпадают по форме с уравнениями (2.55), (2.56), их решение будет иметь форму (2.58), (2.59). Однако из-за отсутствия приближения высоких температур времена релаксации приобретают дополнительную температурную зависимость, обусловленную корреляцией изинговских спинов и входящую в выражения (2.63) через параметры zμ и σT .

57

В отсутствии постоянного магнитного поля решение системы (2.55), (2.56) сильно упрощается

Δσ(t) = Δσ(0)exp(−t / τσ ),

где роль времен релаксации играют времена τσ и τE , которые в данном случае определяющиеся уравнениями

Отсюда видно, что с понижением температуры времена релаксации увеличиваются и в пределе T → 0 обращаются в бесконечность ( τσ , τE → ∞). Это означает, что обмен энергией между спин-системой и термостатом при T → 0 в случае ω0 = 0 либо прекращается совсем, либо носит неэкспоненциальный характер. Ниже, для случая ω0 = 0 , будет показано, что имеет место именно вторая ситуация.

Рассмотрим релаксацию в отсутствии постоянного магнитного поля. При ω0 = 0 собственные частоты динамической системы становятся равными ωμ = μωe и, вследствие этого условия, получаем

z−1 = z1 ≡ z, K−1 = K1 ≡ K ,

а система уравнений (2.52), (2.53) приобретает вид (см. задача 2.10)

Первое уравнение имеет очевидное частое решение

58

которое реализуется при начальном условии σ(0) = 0. Такое начальное условие является естественным, так как при ω0 = 0 равновесное значение σT = 0 . Частному решению (2.68) соответствует следующее решение для обменной энергии (см. задача 2.11):

релаксации τE = (4K )−1 ch( βωe / 2) .

Спонижением температуры происходит увеличение времени

релаксации, причем lim τE = ∞. Однако обмен энергией между спин-системой

T →0

и термостатом не прекращается полностью при T=0. Действительно, переходя к пределу T → 0 в (2.67) или (2.69), получаем

В [22] показано, что параметр K, имеющий смысл вероятности спинрешеточной релаксации, при T=0 не обращается в нуль благодаря нулевым колебаниям кристалла. Это означает, что выражение (2.70) в пределе T → 0 действительно описывает процесс релаксации, который носит уже

колебаний динамической подсистемы. Поэтому приближенно можем считать, что параметры релаксации

не зависят от индекса μ. При этом условии кинетические уравнения (2.52), (2.53) приобретают вид

а в отсутствии внешнего постоянного магнитного поля упрощается еще более

( z0 = 0, z−1 = −z1 ≡ −z ):

Из (2.73) немедленно вытекает экспоненциальный закон затухания намагниченности

приближения к равновесию энергии E(t) очень сложен, и установление точного аналитического вида функции E(t), даже когда функция σ(t) определена, продолжает оставаться трудной задачей. Иллюстрацией сложности поведения E(t) может служить решение

где τE = (4K)−1 ch( βωe / 2) , которое получается из второго уравнения с использованием (2.74) при условии (1− z)σ(0) <<1, накладываемом на начальное значение намагниченности.

60