nonequilibrium_statistical_operator

2.3. Кинетика двумерного изинговского магнетика со спином S=1/2

Рассмотрим изинговскую систему спинов S=1/2 на бесконечной квадратной решетке с взаимодействием между ближайшими соседями в отсутствии постоянного магнитного поля, которая находится в контакте с термостатом. Гамильтониан такой системы можно представить следующим образом:

где ωe = J , J - обменный интеграл, который может принимать как положительные (ферромагнитная связь), так и отрицательные (антиферромагнитная связь) значения. Для определенности примем J > 0. Связь спин-системы с термостатом H f описывается гамильтонианом Hsf ,

который при одночастичном механизме релаксации имеет вид:

HSf = ∑∑U αj,k Sαj,k , α = 0,±1; S0j,k ≡ S jz,k , S ±j,1k ≡ S±j,k = S jx,k ±iS jy,k . j,k α

Центральным пунктом вывода кинетических уравнений в используемом нами методе неравновесного статистического оператора являются выбор параметров сокращенного описания неравновесной системы и построение квазиравновесного статистического оператора. Общие соображения, касающиеся выбора этих параметров при описании кинетики произвольной модели Изинга, были приведены в пункте 2.1, и мы воспользуемся ими ниже.

Для рассматриваемой модели единственным оператором, коммутирующим с секулярной частью диполь-дипольного взаимодействия является гамильтониан Hs , который мы и выберем в качестве параметра сокращенного описания. В этом случае необходимый для построения кинетических уравнений квазиравновесный статистический оператор имеет вид

зависимость неравновесного среднего параметра сокращенного описания.

61

При выводе кинетического уравнения для неравновесного < Hs > то обстоятельство, что вследствие однородности гамильтониана его среднее значение < Hs > может быть представлено в виде

ωμα = αωμ и проективные операторы Rj,k (ωμ ) (2.35) для рассматриваемой модели определяются следующими соотношениями

где

Aj,k = σj+1,k +σj−1,k +σj,k+1 +σj,k−1, Bj,k = σj+1,k σj−1,k σj,k+1σj,k−1 . (2.81)

Используя соотношения (2.78), (2.79) и (2.80) при одночастичном механизме релаксации из (2.38) получим следующее кинетическое уравнение для среднего < σ0σ1 >q (см. задача 2.12)

(2.82)

62

где σ2 = σ0,−1, σ3 = σ−1,0 , σ4 = σ0,1 , zμ = th( βωμ / 2) (μ=1, 2), ωμ = μωe -

резонансные частоты рассматриваемой модели Изинга, Kμ - кинетические

параметры, определяемые формулами (2.39).

Уравнение (2.82) связывает между собой квазиравновесные средние всевозможных произведений спинов из ближайшего окружения спина σ0 . Поэтому оно не является замкнутым и не может быть проинтегрировано на данном этапе. Для замыкания уравнения (2.82) воспользуемся тем обстоятельством, что оператор ρq(t), определяющий средние <...>q, по форме совпадает с равновесной матрицей плотности ρT = exp(−βHS ) / Sp[exp(−βHS )]

двумерной модели Изинга (2.76). В связи с этим входящие в (2.82) квазиравновесные корреляционные функции совпадают с соответствующими равновесными корреляционными функциями модели (2.76), если в последних положить T=T(t). Используя известные результаты для равновесных корреляторов [44-45], получим, таким образом, точные выражения для необходимых квазиравновесных средних при T ≥TC :

< σ1σ3 >q = 1−1κ′ − π24κ2 E2(κ)+ 2κ′E(κ)K(κ)-(κ′)3 K2(κ) ,

63

где

E(κ), K(κ) - полные эллиптические интегралы первого и второго рода, соответственно.

Подставляя значения корреляционных функций (2.83) в уравнение (2.82), придем к дифференциальному уравнению для эллиптического модуля

κ (см. задача 2.13):

где функция F(κ,κ′) может быть представлена в виде

(2.85)

Общее решение уравнения (2.84) находится в квадратурах и имеет вид

Формулы (2.78), (2.83), (2.85) в принципе позволяют определить неравновесное значение энергии в любой момент времени при любом значении параметров модели (обменного интеграла, температуры термостата, начального отклонения энергии от равновесия). Однако сложность функции F(κ,κ′) не дает возможности найти искомое решение в явном аналитическом виде. Поэтому ниже будут подробно рассмотрены некоторые наиболее интересные случаи, для которых интеграл (2.86) вычисляется до конца.

Проанализируем релаксацию обменной энергии вблизи точки фазового перехода. Как известно, в двумерной модели Изинга в отсутствие внешнего магнитного поля существует фазовый переход в упорядоченное состояние, температура Тс которого определяется соотношением sh2 (J / 2Tc ) =1. Рассмотрим процесс релаксации энергии, описываемый уравнениями (2.82), (2.86) в случае, когда температура термостата Т близка к Tс, но не совпадает с ней, т.е. 0 < (T −TC ) /TC <<1. Введем для большей физической наглядности результатов параметры

которые характеризуют соответственно равновесное состояние термостата и неравновесное состояние спиновой системы. Предполагая далее, что отклонение изинговской спин-системы от равновесия настолько мало, что выполняются неравенства

и вычисляя величины, входящие в уравнение (2.84) с точностью до первых неисчезающих степеней |Х| и δ , получим следующее простое уравнение для

параметра X (см. задача 2.14):

где время релаксации τ равно

65

Поскольку параметры релаксации Kμ являются температурно зависимыми, то

коэффициент A также зависит от температуры. Однако эта зависимость, определяемая характеристиками термостата, не имеет особенностей, и поэтому в рассматриваемой малой окрестности TC можно положить A(T ) ≈ A(TC ) и считать коэффициент A в (2.90) константой.

Решение уравнения (2.89) имеет вид X (t) = X (0)exp(−t / τ) и определяет закон эволюции энергии системы E(t) = −(J / 2) < σ0σ1 >q приходящейся на один спин:

отклонение энергии от равновесия. Отметим, что при выводе формулы (2.91) использовалось соотношение

следующее из формулы (2.83) при условиях (2.88).

Из решения (2.91) видно, что вблизи температуры фазового перехода приближение энергии системы к равновесию происходит экспоненциально со временем релаксации τ, определяемым соотношением (2.90). При T →TC это время стремится к бесконечности по логарифмическому закону τ ln 4TC2 / J (T −TC ) , т. е. процесс релаксации замедляется. Это явление,

известное под названием критического замедления, следует также из феноменологической теории критических явлений [46], в рамках которой показывается, что характер расходимости времени релаксации энергии в зависимости от величины Т—Тс совпадает с характером расходимости теплоемкости системы. Полученный нами на основе микроскопического рассмотрения результат подтверждает этот вывод, поскольку известно, что теплоемкость двумерной модели Изинга расходится при T →TC по

логарифмическому закону: C ln TC /(T −TC ) [47].

66

Рассмотрим релаксацию обменной энергии в точке фазового перехода (T =TC ). Полагая, по-прежнему, что отклонение системы от равновесия мало (|Х|<<1), и проводя вычисления аналогично случаю T ≠TC , придем к следующему уравнению для X(t) (см. задача 2.15):

решение которого имеет вид

где X (0) < 0 . При условии X <<1 энергия E(t) связана с X (t) соотношением

которое при учете (2.94) приводит к следующему закону релаксации энергии:

Таким образом, при Т=ТС релаксация энергии не описывается обычной экспоненциальной зависимостью, а носит более сложный (неэкспоненциальный) характер.

Отметим, что закон релаксации энергии в одномерной модели Изинга при температуре термостата T=0, являющейся для этой модели температурой фазового перехода, имеет вид (2.70), и существенно отличается от соответствующего закона (2.97) для двумерной модели. Последнее

67

обстоятельство свидетельствует о том, что размерность модели оказывает определяющее влияние на ее релаксационные свойства в критической точке.

Проанализируем также релаксацию обменной энергии в области высоких температур. Если температура термостата T, а также неравновесный параметр T(t) удовлетворяют условиям высокотемпературного приближения (T >> J ), то уравнение (2.84) для эллиптического модуля κ имеет простой

вид (см. задача 2.16)

а связь энергии E(t) со значением κ(t) дается выражением

Подставляя в (2.99) решение уравнения (2.98), получим экспоненциальный закон приближения энергии системы к равновесию

со временем релаксации τ−E1 = 2(K1 + K2 ) .

Задачи к главе 2

Задача 2.1. Принимая во внимание формулы (2.9) и (2.10), показать, что релаксационный член (2.4) приводится к виду (2.11).

Задача 2.2. Используя свойства (2.13), (2.14) преобразовать выражение для релаксационного члена (2.12) к виду (2.15-2.16).

Задача 2.3. С помощью операции эрмитова сопряжения показать выполнение тождества (2.22).

Задача 2.4. Показать, что кинетические уравнения (2.38) для базисных операторов (2.41) линейной модели Изинга имеют вид (2.46).

Задача 2.5. Показать, что при подстановке в кинетические уравнения (2.46) линейной модели Изинга проективных операторов (2.45) они приводятся к виду (2.47-2.49).

68

Задача 2.6. Показать, что подстановка в кинетические уравнения (2.47-2.49) линейной модели Изинга корреляционных функций (2.51) приводит их к виду

(2.52-2.53).

изинговской спин-системы (2.52-2.53) приобретают форму (2.55-2.57). Задача 2.8. Доказать, что решение системы дифференциальных уравнений

(2.55-2.56) имеет вид (2.58-2.61).

Задача 2.9. Показать, что после линеаризации кинетических уравнений (2.52- 2.52) по Δσ(t) и E(t) они приводятся к виду (2.55-2.56) с параметрами (2.63- 2.64).

Задача 2.10. Показать, что в отсутствии внешнего магнитного поля (ω0 = 0 ) система кинетических уравнений (2.52-2.53) линейной модели Изинга приобретает вид (2.67).

Задача 2.11. Доказать, что решение второго уравнения в системе уравнений

(2.67) при σ(t) = 0 имеет вид (2.69).

Задача 2.12. Показать, что кинетическое уравнение (2.38) для двумерной модели Изинга с < P >=< Hs > (2.78) при подстановке в него (2.79-2.81) принимает вид (2.82).

Задача 2.13. Получить дифференциальное уравнение (2.84) из (2.82), при подстановке в него выражений (2.83) для корреляционных функций. Указание: можно воспользоваться пакетами, имеющие возможности символьных вычислений, например Mathematica, Maple.

Задача 2.14. Предполагая, что X << δ <<1, −ln δ >>1, X и δ

определяются выражениями (2.87) и вычисляя величины входящие в уравнение (2.84) с точностью до первых неисчезающих степеней |Х| и δ ,

получить уравнение для параметра X (2.89-2.90).

Указание: можно воспользоваться пакетами, имеющие возможности символьных вычислений, например Mathematica, Maple.

Задача 2.15. Полагая в уравнении (2.84) T =TC и |Х|<<1, получить уравнение

(2.93) и его решение (2.94).

Указание: можно воспользоваться пакетами, имеющие возможности символьных вычислений, например Mathematica, Maple.

Задача 2.16. Для случая высоких температур (T >> J ) уравнение (2.84)

привести к виду (2.98).

Указание: можно воспользоваться пакетами, имеющие возможности символьных вычислений, например Mathematica, Maple.

69

ПРИЛОЖЕНИЕ Расчет равновесных корреляционных функций модели Изинга

Гамильтониан модели Изинга с произвольным спином имеет вид:

где ω0 - зееманова частота спинов в постоянном магнитном поле, параллельном оси анизотропии обменного взаимодействия, ωek ≡ J (δk ) - обменный интеграл для спинов S jz и S jz+δk , которые расположены в узлах решетки, задаваемых векторами j и j +δk , n – число спинов, с которыми спин S jz связан обменным взаимодействием

взаимодействующих спинов. Случай ωek >0 соответствует ферромагнитной связи вдоль направления δk , случай ωek <0 – антиферромагнитной связи.

Составим уравнение движения для операторов S ±j в представлении

Подставляем сюда коммутатор [Hs , S ±j ], получим уравнение

Решение уравнения (П.4) имеет вид:

70