nonequilibrium_statistical_operator

Задачи к главе 1

Задача 1.1. Показать, что уравнение Лиувилля (1.22) можно представить в виде

dρ(t,t) = 0 , dt

где второй временной аргумент – гейзенберговская зависимость оператора от времени (1.21).

Задача 1.2. Показать равенство нулю выражения (1.65), считая, что неравновесный статистический оператор ρ(t,0) удовлетворяет уравнению Лиувилля с источником (1.68).

Задача 1.3. Выполняя переход в представление Гейзенберга по формулам

ρ(t,t) = eiH0t / ρ(t,0)e−iH0t / , ρ0 (t,t) = eiH0t / ρ0 (t,0)e−iH0t / , V (t) = eiH0t / Ve−iH0t / ,

привести уравнение (1.75) к виду (1.78).

Задача 1.4. Показать эквивалентность формул (1.79) и (1.80). Задача 1.5. Доказать равенство

Задача 1.6. Используя тождество Кубо и правило дифференцирования операторной экспоненты, показать, что выражение для неравновесного статистического оператора приводится к виду (1.97).

Задача 1.7. Проверить выполнение равенства (1.113).

41

Задача 1.8. В борновском приближении показать, что кинетическое уравнение (1.116) принимает вид (1.119).

ГЛАВА 2. КИНЕТИКА ИЗИНГОВСКОГО МАГНЕТИКА

2.1. Кинетические уравнения изинговских систем

Описание неравновесного поведения многочастичных спиновых систем является сложной и до сих пор далеко не изученной проблемой. Ее сложность обусловлена в основном большими трудностями, возникающими при выводе и решении кинетических уравнений, описывающих неравновесные процессы. Из-за многочастичных взаимодействий, которые в общем случае не могут считаться малыми, кинетические уравнения таких физических систем часто принимают форму бесконечной цепочки зацепляющихся уравнений. Для решения этих уравнений приходится вводить ту или иную процедуру расцепления, которой не всегда удается найти физическое обоснование. Поэтому исследование модельных систем, для которых возможно получение точных результатов, представляет большой интерес, т. к. может дать ценную

42

информацию об особенностях кинетики и релаксации более сложных объектов.

Одной из таких моделей является модель Изинга, представляющая собой нетривиальную спиновую систему, допускающую в одно- и двумерных вариантах точное описание равновесных свойств. Изучение кинетики этой модели было начато Глаубером [38], который ввел феноменологическое управляющее уравнение для матрицы плотности одномерной модели Изинга и получил на его основе цепочку зацепляющихся кинетических уравнений для неравновесных спиновых корреляционных функций. В дальнейшем подход Глаубера был распространен на модели Изинга других размерностей [39-40] и другого спина [41]. Однако отсутствие в методе Глаубера процедуры, позволяющей замкнуть цепочку кинетических уравнений, не вводя при этом неконтролируемые приближения, существенно ограничивает возможности его применения.

Пусть гамильтониан рассматриваемой спин-системы имеет следующий

вид

где Hs - зависящий от спиновых переменных основной гамильтониан спинсистемы, H f - гамильтониан термостата, явный вид которого нам не понадобится, Hsf - гамильтониан взаимодействия спин-системы с термостатом. Не нарушая общности рассмотрения, гамильтониан Hsf можно представить в виде

где Vjα (s) = (Vj−α (s))+ - спиновые операторы, конкретный вид которых зависит от механизма релаксации, U αj ( f ) - некоторые функции стохастических

(случайных) переменных, характеризующие взаимодействие спинов с термостатом.

Неравновесное поведение многочастичной системы с гамильтонианом (2.1) в рамках метода неравновесного статистического оператора, описанного в главе 1, описываются системой кинетических уравнений для параметров сокращенного описания < Pn > (1.110)

43

−∞

где

Раскладываем спиновые операторы Vjα (s,t) в ряд Фурье по собственным частотам основного гамильтониана Hs

частоты основного гамильтониана. Используя разложение (2.8) и

44

В том случае, когда существует диагональный базис для гамильтониана H f , в котором матричные элементы операторов U α ( f ) действительны, имеют место соотношения

Используя свойства (2.13), (2.14) для корреляционных функций, преобразуем выражение (2.12) к виду (см. задача 2.2)

Коэффициенты Kα′α , Nα′α , Lα′α , Mα′α не являются независимыми. Так, например, всегда выполняется следующее соотношение:

46

Связь между остальными коэффициентами более сложная. В частности, когда корреляции в диссипативной подсистеме носят марковский характер и когда aαα′ (t) можно представить как

где τf α - времена корреляции, то имеют место соотношения

С помощью (2.18) и (2.20) выражение для релаксационного члена (2.15) немного упрощается и приобретает форму

уравнении такие неравновесные средние, которые осциллируют на различных собственных частотах динамической системы. В решения такой системы

интереса. Условие ωαν′ = −ωμα , в свою очередь, позволяет в сумме (2.21)

ограничиться членами с α′ = −α. Последнее условие может быть обосновано в общем виде посредством привлечения соотношений теории групп для неприводимых спиновых операторов. Однако для наших целей будет достаточно указать, что все операторы Vjα,μ , используемы в дальнейшем,

построены таким образом, что их отличные от нуля Фурье компоненты соответствуют частотам α| ωμ | .

47

Наиболее простую форму приобретает релаксационный член R(Pn ) в том случае, когда набор Pn представлен только диагональными операторами. С помощью операции эрмитово-сопряжения можно показать (см. задача 2.3), что

в результате чего мнимые члены в (2.21) обращаются в нуль, и в этом случае система кинетических уравнений (2.3) приобретает вид

где введены следующие упрощенные обозначения

Лежащая в основе метода неравновесного статистического оператора идея сокращенного описания базируется на существенном предположении о существовании в спин-системе взаимодействий, способных установить за время (много меньшее времени спин-решеточной релаксации) квазиравновесное состояние, для описания которого требуется небольшое число параметров. Поэтому ключевым пунктом для квантово-механического описания физической модели является выбор параметров сокращенного описания < Pn >t , однозначные требования для которых не так легко сформулировать. Как правило, основным критерием, которому должны удовлетворять операторы Pn , является выполнение соотношения

где cnm - некоторые константы, причем чаще всего используется частный случай этого соотношения

48

Не вдаваясь в общий анализ и поиск общих критериев построения операторов Pn , рассмотрим эту проблему применительно к изинговским системам. В этом случае операторы Pn следует искать среди бесконечного набора операторов

где набор { jl } определяет множество несовпадающих узлов решетки. Квантовостатистическое описание изинговской системы набором

операторов (2.27) является сокращенным, поскольку эти операторы не содержат x и y компонент спинов. Дальнейшее сокращение может быть получено путем ограничений, накладываемых на вид диагональных операторов (2.27).

Известно, что конкретной причиной сокращения описания неравновесных парамагнитных спин-систем служит магнитное дипольдипольное взаимодействие Hd [42-43]. Действительно, в концентрированных магнетиках Hd существенно превосходит спин-решеточное взаимодействие

неравновесного поведения спин-системы на временах порядка времени спинрешеточной релаксации τsl τss исключаются все недиагональные, а также большая часть диагональных операторов из набора (2.27). Число остающихся операторов, удовлетворяющих условию

вообще говоря, различно для различных моделей. Так, например, для симметричной модели Изинга, в которой каждый спин взаимодействует с n другими спинами, в том случае, когда все обменные интегралы Jk имеют разную величину, этими операторами являются следующие наборы:

49

а в случае, когда все Jk равны между собой ( Jk = J ), число искомых операторов сокращается до двух:

Оператор P1 представляет собой в безразмерной форме зеемановскую энергию спинов в постоянном магнитном поле, а операторы Pk и P2 - энергию изинговского обменного взаимодействия соответствующих модельных систем.

Помимо этих двух операторов в сокращенное описание следует добавить оператор Hd или в безразмерной форме

Операторы P1, Pk , P3 и P1, P2 , P3 составляют подходящие наборы для сокращенного описания неравновесных свойств симметричных изинговских модельных систем в случаях Ji ≠ Jk и Ji = Jk = J (i ≠ k ) соответственно. При изучении последнего случая неравновесные средние операторов P1, P2 , P3 сокращенно будут называться зеемановой, обменной и дипольной энергиями.

Чтобы сосредоточить внимание на особенностях кинетики модели Изинга, мы не будем учитывать действие переменного поля. Тогда резервуар диполь-дипольных взаимодействий можно считать находящимся в равновесии, в связи с чем он не оказывает влияния на кинетику спин-системы и при её неравновесном описании может быть опущен. Наконец, мы ограничимся рассмотрением только одночастичных спин-решеточных взаимодействий

точно для любого конкретного гамильтониана. Например, для спинов S=1/2, расположенных в симметричной решетке (n=2m, J (δk ) = J (−δk ) ), получим

50