nonequilibrium_statistical_operator

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский федеральный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Sp(Pn[ρ(t), H ])= −ε{Sp(Pnρ(t)) −Sp(Pnρq (t))}= 0

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.02.2015

Размер:

697.54 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 94 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

приводим (1.75) к виду (см. задача 1.3)

ρ(t,t) = ρ0 (t,t) + i1	0	[V (t +t1 ),ρ(t +t1,t +t1 )].
	−∞∫ dt1eεt1		(1.78)

Последовательно итерируя интегральное уравнение (1.78), получим разложение неравновесного статистического оператора в виде ряда по степеням взаимодействия V:

∞

ρ(t,0) =ρ0 (t,0) + ∑

∫ dt1eεt1

∫ dt2eεt2 ... ∫ dtk eεtk ×

k=1

(i )

−∞

+t2 ),...,[V (t1 +t2 +...

+tk ),ρ

(t +t1 +...+tk ,t +t1 +

× V (t1 ),[V (t1

...+tk ) ...]],

(1.79)

или в другой форме (см. задача 1.4)

∞

tk −1

ρ(t,0) =ρ0 (t,0) + ∑

∫ dt1

∫ dt2 ... ∫ dtk eεtk ×

k=1 (i

)

−∞

(1.80)

× V (t1 ),[V (t2 ),...,[V (tk ),ρ

(t +tk ,tk ) ...]].

Это разложение очень похоже на разложение Кубо для статистического оператора в теории реакции статистических систем на механические возмущения [35], но теперь ρ0 (t,0) не есть равновесный статистический оператор, а зависит от времени через макроскопические переменные, и под интегралами в (1.80) присутствуют затухающие множители eεtk .

1.5.Обобщенные кинетические уравнения

Впредыдущем разделе мы построили неравновесный статистический оператор в виде функционала от некоторого набора макроскопических

переменных < Pn >t или термодинамически сопряженных с ними функций Fn (t). Зависимость этих переменных от времени определяется системой уравнений (1.28)

Sp(Pnρq (t)) =Sp(Pnρ(t)),

(1.81)

число которых равно числу искомых функций. При подстановке в эти уравнения неравновесного и квазиравновесного статистических операторов

ρ(t) = ε ∫0	dt1eεt1 eit1L exp − ∑Fn	(t +t1 )Pn		+φ(t +t1 )	, ε → +0 ,
−∞	n
ρq (t) = exp − ∑Fn (t)Pn		+φ(t)	, φ(t) ≡ φ(F(t))
	n

мы получаем замкнутый набор макроскопических уравнений для

интенсивных переменных F (t).		Переход к переменным < P >t					достигается
	n					n
использованием термодинамических равенств (1.52), (1.54)
F (t) =	δS(t)	,	< P	>t = −	δφ(t)	.	(1.82)
	δ < P >t
n			m		δF (t)
	n				m

Уравнения (1.81) удобнее записать в дифференциальной форме, что можно сделать различными способами. Например, усредняя по неравновесному статистическому оператору (1.66) операторные уравнения движения

dPn	= P =	1	[P	, H ] ≡ iLP .	(1.83)

dt	n	i	n	n

Умножив уравнения движения для ρ(t)

∂
		+iL	ρ(t) = −ε(ρ(t) −ρq (t)),	ε → +0 ,
	∂t

слева на Pn и взяв Sp от обеих частей полученного равенства, а также воспользовавшись соотношением (1.81), получаем

δ2φ(t)

или

∂∂t Sp(Pnρ(t))= i1 Sp([Pn , H ]ρ(t)).

Приняв во внимание равенство (1.21), получаем

∂ < P	>t	=< P	t	=< iLP	t	.	(1.84)
n		=< P	>	=< iLP	>	.	(1.84)
∂t		n		n
∂t

Используя термодинамические равенства (1.82), мы можем записать левую часть уравнений (1.84) через временные производные от термодинамических сил Fn (t):

∂ < P	>t	= ∑	δ < P >t	Fm (t) = −∑		δ2φ(t)		Fm	(t),
n			m
n			m		δF	(t)δF	(t)
∂t		m	δF (t)	m	δF	(t)δF	(t)
			m		n	m

Тогда уравнения (1.84) можно записать в двух эквивалентных формах:

−∑m δFn (t)δFm (t)Fm (t) =< Pn >t ,

Fn (t) = −∑m δ < Pn δ>2tSδ(t<) Pm >t < Pm >t .

(1.85)

(1.86)

(1.87)

Эквивалентность этих уравнений вытекает из соотношений ортогональности:

∑	δ2	φ(t)		δ2 S(t)					= −δnn′ .
∑	δF (t)δF (t) δ < P			>	t	δ < P	′ >	t	= −δnn′ .
m	δF (t)δF (t) δ < P			>		δ < P	′ >
	n	m	m			n

Правые части уравнений (1.86), (1.87) представляют собой нелинейные

функционалы от переменных	F (t)	или	< P >t . Нелинейные
	n		n

индегродифференциальные уравнения (1.86) или (1.87) образуют полную систему; их число равно числу неизвестных функций Fn (t) или < Pn >t .

Рассмотрим случай, когда возможно упрощение системы уравнений (1.86) или (1.87) в общем виде, - это случай слабого взаимодействия между подсистемами. Пусть гамильтониан системы имеет вид

H = H0 +V , L = L0 + LV ,

(1.88)

где H0 мы будем интерпретировать как гамильтониан основного состояния, а V – как малое взаимодействие подсистем. Пусть уравнения движения для операторов Pn можно представить в виде:

Pn = i∑cnm Pm + Pn(V ) ,

Pn = iLPn , iL0 Pn = i∑cnm Pm , Pn(V ) = iLV Pn .	(1.89)
m

Системы такого типа рассматривались, например, в работах ПелетминскогоЯценко [36], Покровского [37]. Будем называть набор операторов Pn , обладающих свойством (1.89), замкнутым по отношению к движению с невозмущенным гамильтонианом H0 .

Покажем прежде всего, что в системе с замкнутым набором базисных операторов оператор производства энтропии S(t) не содержит членов нулевого порядка по V. Действительно, в этом случае

S(t) = ∑{Pn Fn (t) +(Pn − < Pn >t )Fn (t)} =

			t	δF (t)			t
=∑ PnFn	(t) +(Pn	−< Pn	> )∑	n		< Pm	>	=(используем уравнение (1.89))=
=∑ PnFn	(t) +(Pn	−< Pn	> )∑		t	< Pm	>	=(используем уравнение (1.89))=
n			m	δ< Pm >

		t		δF (t)				t
		t		δF (t)				t
= ∑ ∑ icnm Pm Fn (t) +(Pn − < Pn >			)	n			∑icmk < Pk >		+
= ∑ ∑ icnm Pm Fn (t) +(Pn − < Pn >			)	δ < P	>	t	∑icmk < Pk >		+
n	m			δ < P	>		k
				m

+Pn(V ) Fn (t) + ∑(Pn − < Pn >t )	δFn (t)
	δFn (t)	< Pk (V )	>t .	(1.90)
	t	< Pk (V )	>t .	(1.90)
k	δ < Pk >

Рассмотрим среднее от [S(t), H0 ]/ i ≡ iL0 S(t)

1 [S(t), H0 ] q

≡

1 Sp([S(t), H0 ]e−S (t ) )=

Sp([e−S (t )

, S(t)]H0 )= 0 =

= 1

[∑Pn Fn (t), H0 ]

= ∑

< 1 [Pn , H0 ] >q

Fn (t) = ∑icnm < Pm

>t Fn (t) .

(1.91)

Дифференцируя (1.91) по t , имеем

∑icnm Fn (t) +∑icnk

< Pk >t

δFn (t)

= 0.

(1.92)

δ < Pm >

Умножая это

соотношение

на оператор

(P − t )

суммируя

по m,

находим, что

δFn (t)

∑ ∑icnm

(Pm − < Pm >t )Fn (t) +(Pm − < Pm >t )∑icnk < Pk

= 0,

m n

δ < Pm >

или, принимая во внимание, что (см. задача 1.5)

δFm (t)

δFn (t)

и (1.91)

δt

δ t

δFn (t)

∑ icnm Pm Fn (t) +(Pn − < Pn >t )

∑icmk < Pk

>t = 0 .

(1.93)

δ < Pm >

Таким образом, сумма членов нулевого порядка по V в выражении (1.90) тождественно обращается в нуль. В результате оператор S(t) оказывается, по крайней мере, первого порядка малости по V:

				δFn (t)
S(t) = ∑ Pn(V ) Fn	(t) +(Pn	− < Pn	>t )∑	δFn (t)	< Pk (V )	>t	≡ S(V ) .	(1.94)
S(t) = ∑ Pn(V ) Fn	(t) +(Pn	− < Pn	>t )∑	t	< Pk (V )	>t	≡ S(V ) .	(1.94)
n			k	δ < Pk >

В нулевом порядке по V

∂
		+iL0 S(t) = 0 ,	(1.95)
	∂t

т.е. оператор энтропии является интегралом движения. Поэтому при V=0

eit1L0 S(t +t ) = S(t).	(1.96)
1

Раскроем теперь величины < Pn >. Действуя аналогично выводу формулы (1.77), приведем выражение для неравновесного статистического оператора к виду (см. задача 1.6)

ρ(t) = ρq (t) + ∫0	dt1eεt1 ∫1	dτeit1Le−τS (t+t1 ) S(t +t1 )e(τ−1)S (t+t1 ) .	(1.97)
−∞	0

Усредняя по распределению (1.97) оператор Pn , получаем уравнение (1.86) в виде

∂ < Pn >	=< Pn >q + ∫0	dt1eεt1 ∫1 dτSp{Pneit1Le−τS (t+t1 ) S(t +t1 )e(τ−1)
∂t	−∞	0

S (t+t1 ) }. (1.98)

Подставляя сюда выражение для производства энтропии (1.94), получаем

∂ < Pn >

=< Pn >q + ∫0

dt1eεt1 ∑∫1 dτSp{Pneit1Le−τS (t+t1 ) (Pm(V ) Fm (t +t1 ) +

∂t

−∞

m 0

t+t

δF (t

+t )

t+t

+(P

− < P

∑k

< P

(τ−1)S (t+t )

1 )

(1.99)

δ < P

>t+t1

k (V )

С точностью до членов второго порядка по V (которое носит название борновского приближения) обобщенные кинетические уравнения (1.99) примут вид:

∂ < P

εt

it L

−τS (t+t

)

Pm(V ) Fm

(t +t1 )e

(τ−1)S (t+t

)

=< Pn >q + ∫ dt1e 1

∑ ∫dτSp Pn(V )e 1 0 e

∂t

−∞

1					δF (t +t )
it L	−τS (t+t	)		t+t	δF (t +t )		t+t		(τ−1)S (t+t	)
+∫dτSp Pn(V )e 1 0 e	1		(Pm − < Pm >	1 )∑k	m 1	< Pk (V ) >	1	e	1		.
+∫dτSp Pn(V )e 1 0 e	1		(Pm − < Pm >	1 )∑k	δ < P >t+t1	< Pk (V ) >	1	e	1		.
0					k

(1.100)

Систему уравнений (1.100), полученную в борновском приближении, можно записать в более простом виде, выполнив интегрирование по τ. С учетом соотношения (1.95) и тождества Кубо имеем

∫1 dτSp Pn(V )eit1L0 e−τS (t+t1 ) ∑Pm(V ) Fm (t +t1 )e(τ−1)S (t+t1 ) =

{

it1L0

[V ,e

−S (t+t1 )

]

≡ −iSp

{

it1L0

L ρ

(t +t )

(1.101)

n(V )

}

n(V )

}

it L

−τS (t+t

)

t+t

δF (t +t )

t+t

(τ−1)S (t+t

)

∫dτSp Pn(V )e 1 0 e

(Pm

− < Pm >

1 )∑k

m 1

< Pk (V ) >

δ t+t1

= −∑Sp

δρ

(t +t

)

Pn(V )eit1L0

Sp(Pk iLV

ρq (t +t1 )) .

(1.102)

δ < Pk >

t+t1

Еще раз используя соотношение (1.95), находим

it L

δρq (t +t1 )

δρq (t)

δ t

∑e 1 0

Sp(PmiLV ρq (t +t1 )) = ∑

Sp(PmiLV ρq (t +t1 )) .

δ < Pm >

t+t1

δ < Pk >

δ < Pm >

t+t1

m,k

(1.103)

< Pk >t+t1 =Sp(eit1L0 Pk ρq (t)) = ∑(eict1 )km

< Pk >t ,

(1.104)

δ < Pk

= ∑(e−ict1 )lm δkl

= (e−ict1 )km ,

(1.105)

δ < Pm

t+t1

∑(e−ict1 )km Sp(PmiLV ρq (t +t1 )) =Sp(e−it1L0 Pk iLV ρq (t +t1 ))=
m
=Sp(Pk iLV (t1 )ρq (t))= −	1	Sp([Pk ,V (t1 )]ρq (t))= −	1	[Pk ,V (t1 )] tq .	(1.106)
=Sp(Pk iLV (t1 )ρq (t))= −	i	Sp([Pk ,V (t1 )]ρq (t))= −	i	[Pk ,V (t1 )] tq .	(1.106)
	i		i

Аналогично

Sp(Pn(V )eit1L0 iLV ρq (t +t1 ))= −Sp(iLV (t1 )Pn(V )ρq (t))= 12 [[Pn ,V ],V (t1 )] tq , (1.107)

где для произвольного оператора A

iL (t)A =	1	[A,V (t)],	V (t) = eitL0V ,	(1.108)

v	i

а через с (в выражениях (1.104) - (1.106)) обозначена числовая матрица с компонентами cnm . Теперь мы можем записать систему уравнений для макроскопических переменных с точностью до членов второго порядка по взаимодействию:

∂ < Pn >t	= ∑ianm < Pm >t + < Pn(V ) >tq +						1	∫0	dt1eεt1 {<[[Pn ,V ]V (t1 )] >tq −
∂ < Pn >t	= ∑ianm < Pm >t + < Pn(V ) >tq +						2	∫0	dt1eεt1 {<[[Pn ,V ]V (t1 )] >tq −
∂t	m							−∞
		δ <[P ,V ] >			t
	−∑	n			q	<[Pk ,V (t1 )] >tq .				(1.109)
	−∑	δ < P	>	t		<[Pk ,V (t1 )] >tq .				(1.109)
	k	δ < P	>
		k

Эти уравнения не содержат запаздывания и являются чисто марковскими. В приложениях часто оказывается, что средние вида

<[P	,V ] >t	= 0 ,	<[P ,V (t )] >t			= 0 ,
n	q		k	1	q

если ρq (t) не зависит от V. Такая ситуация имеет место, например, при

построении интегралов столкновений для пространственно-однородных систем взаимодействующих частиц. В этих случаях уравнения (1.109) еще более упрощаются:

∂ < P >t	= ∑icnm < Pm >	t		1	0	εt	t
n			+		∫ dt1e 1		<[[Pn ,V ],V (t1 )] >q .	(1.110)
n			+	2	∫ dt1e 1		<[[Pn ,V ],V (t1 )] >q .	(1.110)
∂t	m				−∞

Обобщенные кинетические уравнения вида (1.109) возможно получить более простым и коротким способом, используя для этой цели интегральное уравнение (1.74) для неравновесного статистического оператора

ρ(t,0) =ρq (t,0) − ∫

−∞

−ε(t−t

)

−i(t−t

∂

dt1e

ρq (t1,0) +

[ρq (t1

,0),H0

[ρ(t1

,0),V ] .

∂t1

(1.111)

Установим зависимость производной ∂ρq (t1,0) / ∂t1 от взаимодействия. Для

этого напомним, что квазиравновесный статистический оператор зависит от времени только через лангранжевы множители Fm (t) , которые в свою очередь

могут быть выражены через средние < Pn >t из условий самосогласования

(1.28). Поэтому

∂ρq (t,0)		δρq (t,0) ∂ < P >t				δρq (t,0)
	= ∑			n	= ∑			i∑cnm		<
∂t		δ < Pn >	t			δ < Pn >	t
	n			∂t	n				m

где мы воспользовались (1.89) и ввели обозначение Jn (t)

Pm >t +Jn (t) , (1.112)

=< Pn(V ) >t . Нетрудно

проверить (см. задача 1.6), что

−i∑	δρq (t,0)		cnm	< Pm	>	t	=	1	[ρq	(t,0), H0 ] .	(1.113)
−i∑	δ < P >	t	cnm	< Pm	>		=	i	[ρq	(t,0), H0 ] .	(1.113)
n,m	δ < P >							i
	n

Поэтому соотношение (1.112) можно записать как уравнение для квазиравновесного статистического оператора:

∂ρq (t,0)	+	1	[ρq (t,0), H0 ] = ∑	δρq (t,0)		Jn (t) .	(1.114)
∂t		i		δ < P >	t
			n
				n

Исключая с его помощью производную ∂ρq (t1,0) / ∂t1 в (1.111) получим

∂ρ(t,0)	t	−ε(t−t ) −i(t−t ) L		δρq (t1,0)		1
∂t	= ρq (t,0) − ∫ dt1e	1 e 1 0	∑m			Jm (t1 ) +		[ρ(t1	,0),V ] .
∂t	= ρq (t,0) − ∫ dt1e	1 e 1 0	∑m	δ < P	>t1	Jm (t1 ) +	i	[ρ(t1	,0),V ] .
	−∞			m

(1.115)

Это выражение вместе с формулой (1.89) приводит к обобщенному кинетическому уравнению

∂ t

−i∑cnm

< Pm >

<[Pn ,V ] >q −

∂t

ε(t

−t )

δρq (t1,0)

∑

−

∫ dt1e 1

Sp [Pn ,V (t1 −t)]

Jm (t1 ) +

[ρ(t1

,0),V ] . (1.116)

δ < P

−∞

Пока наши уравнения (1.115) и (1.116) являются точными. Если рассматривать гамильтониан взаимодействия V как малое возмущение, то можно записать разложения

∞	∞
ρ(t,0) = ρq (t,0) + ∑ρ(k ) (t),	< Pn(V ) >t = ∑Jn(k ) (t) ,	(1.117)
k=1	k =1
где ρ(k ) (t) и Jn(k ) (t) имеют k-й порядок	по взаимодействию,	и решать

уравнения (1.116) итерациями. Тогда правая часть кинетического уравнения (1.116) находится в виде ряда по степеням взаимодействия. Кинетическое уравнение, справедливое до второго порядка по взаимодействию (борновское приближение), получается из (1.116), если положить ρ(t1,0) ρq (t1,0) и

< P	>t1 ≡ J	n	(t )	J (1)	(t ) , где
n(V )		n	1	n	1

J (1)	(t ) =	1	<[P	,V ] >t1	(1.118)

n	1	i	n	q

- первое приближение для интеграла столкновений. После простых алгебраических преобразований интегрального члена, в которых используется инвариантность следа при циклической перестановке операторов (см. задача 1.7), получим

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 94 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.02.201525.12 Mб30New_English_File_Sb_pre-int.pdf
#
10.02.20159.82 Mб264New_English_File_Wb_elem_copy.pdf
#
26.09.2019213.12 Кб4Ne_vlezli_v_zhopu_bez_myla__15_tema_bez_otvetov...docx
#
10.02.20151.76 Mб6Nizhnekamsk[1].docx
#
05.12.2018332.8 Кб5nm.doc
#
10.02.2015697.54 Кб13nonequilibrium_statistical_operator.pdf
#
10.02.2015138.2 Кб29novaya_k.docx
#
22.04.201927.9 Кб0Novoe_33_1.docx
#
19.11.20191.05 Mб18Novostnaya_zhurnalistika.doc
#
24.09.201958.88 Кб2Novye_voprosy_po_fiz-re22222.doc
#
27.11.201869.54 Кб3novye_voprosy_po_UU_ot_SLM.docx