3.2 Механические приложения производной.

Если -функция, описывающая закон движения материальной точки, то первая производнаяесть скорость, а вторая производная- ускорение этой точки в момент времени(механический смысл первой и второй производных).

5.141Точка движется прямолинейно по закону Найти скоростьи ускорениедвижения. Чему равны скорость и ускорение в момент времени?

5.142 Точка движется по прямой так, что ее расстояние S от начального пункта через время t равно .

а) В какие моменты точка была в начальном пункте?

б) В какие моменты ее скорость равна нулю?

5.143 Тело массой 3кг движется прямолинейно по закону S-выражено в сантиметрах, t- в секундах. Определить кинетическую энергию тела через 5 секунд после начала движения в Дж ().

5.144 Угол поворота шкива в зависимости от времениt задан функцией Найти угловую скоростьв момент времени

5.145 Колесо вращается так, что угол поворота пропорционален квадрату времени. Первый оборот был сделан колесом за 8с. Найти угловую скорость через 32с после начала движения.

3.3 Применение понятия производной в экономике.

Пусть некоторая экономическая величина (издержки производства, прибыль, производительность и т.д.) задаётся непрерывной функцией . Тогда,предельной для называется величина,средней – величина . Буква- сокращение от слова(предельный), буква- сокращение от слова(средний). Предельная величинаявляется мерой реагирования одной переменной величины на изменение другой и показывает приближённый абсолютный приростпри изменениина единицу.

Эластичностью функции в точкеназывается предел. Эластичность, также как и, является мерой реагирования одной переменной величины на изменение другой и показывает приближённый процентный приростпри изменениина один процент. Находят эластичностьфункциипо формуле

5.146 Зависимость между издержками производства и объёмом выпускаемой предприятием продукциизадаётся функцией. Найти средние и предельные издержки производства для указанного объёма выпускаемой продукции, если;

а) ,; б),.

5.147. Зависимость между издержками производства и объёмом выпускаемой предприятием продукциизадаётся функцией. При каком объёме производства средние и предельные издержки совпадают?

5.148. Рассчитать эластичность следующих функций для указанных значений :

а) ; б);

в) ; г).

5.149. Зависимости спроса и предложенияна продукцию предприятия от ценыза единицу продукции задаются функциямии. Найти эластичности спросаи предложенияпри равновесной цене, т.е. цене при которой спрос и предложение уравновешиваются, если:

а) ,; б),;

в) ,; г),.

§4. Теоремы о дифференцируемых функциях. Формула Тейлора и её применение.

Теорема Ролля. Если функция непрерывна на отрезке, дифференцируема на интервалеи, то насуществует точкатакая, что.

Теорема Лагранжа. Если функция непрерывна на отрезкеи дифференцируема на интервале, то насуществует точкатакая, что(формула Лагранжа).

Теорема Коши. Если функции инепрерывны на отрезке, дифференцируемы на интервалеипри всех, то на интервалесуществует точкатакая, что

(формула Коши).

5.150 Проверить, выполняется ли теорема Ролля для следующих функций и, если выполняется, то для каких значений :

а) на отрезке ;б)на отрезке ;в)на отрезке [0,];г)на отрезке .

5.151 Функция обращается в нуль прии, но тем не менеедля всех. Объяснить кажущееся противоречие с теоремой Ролля.

5.152 Проверить, выполняется ли теорема Лагранжа для следующих функций и, если выполняется, то для каких значений :

а) на отрезке [1, 3]; б)на отрезке ;в)на отрезке [0,1]; г)на отрезке .

5.153 Объяснить почему не может быть применена теорема Лагранжа для функции на отрезках:

а) ;б) .

5.154 Проверить, выполняется ли теорема Коши для следующих функций и, если выполняется, то для каких значений :

а) ина отрезке;

б) ина отрезке.

Если функция имеет производные всех порядков до-го включительно в некоторой окрестности точкии кроме того имеет производную-го порядкав самой точке, то приимеет местоформула Тейлора (порядка ) с остаточным членом в форме Пеано

.

Если предположить существование -ой производнойв окрестности точкито для любой точкииз этой окрестности имеет местоформула Тейлора (порядка ) с остаточным членом в форме Лагранжа

где ,.

Формула Тейлора (с остаточным членом в любой форме) в частном случае обычно называетсяформулой Маклорена.

Формула Тейлора используется при вычислении значений функции с заданной степенью точности , при вычислении пределов функций.

Из формулы Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа следует, что , где-минимальный из номеровдля которых.

При вычислении пределов функций используют формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.

5.155 Разложить многочлен по степеням двучлена

5.156 Разложить многочлен по степеням двучлена

5.157 Разложить многочлен по степеням двучлена

5.158 Разложить функцию по степеням.

5.159 Для многочлена написать формулу Тейлора 2-го порядка в точке. Записать остаточный член в форме Лагранжа и найти значение, соответствующее следующим значениям аргумента: а) ; б) ; в) .

В задачах 5.160-5.164 написать формулы Маклорена -го порядка (без остаточного члена) для следующих функций.