11.39 .

11.40 .

11.41 .

11.42 .

В задачах 11.43-11.46 найти площадь области , ограниченной плоскими кривыми:

11.43,. 11.44,,.

11.45,() (эллипс).

11.46,(астроида).

В задачах 11.47-11.50 найти работу силового полявдоль дугикривой, если:

11.47 ,, ,.

11.48 ,, ,.

11.49 ,,, ,.

11.50 ,,, ,.

§3.Поверхностный интеграл первого рода и его приложения.

Если -функция, определённая и непрерывная в точках гладкой двусторонней поверхности, заданной однозначно уравнением() (всякая прямая, проходящая через точкупараллельно осипересекает поверхностьлишь в одной точке), топоверхностный интеграл 1-го рода вычисляется по формуле , где- проекция поверхностина плоскость.

Аналогично, если поверхность задана уравнением:

1) (), где- проекцияна плоскость, то;

2) (), где- проекцияна плоскость, то.

Особенность поверхностного интеграла 1-го рода состоит в том, что он не зависит от выбора стороны поверхности, по которой производится интегрирование.

Площадь поверхности вычисляется по формуле .

Если - поверхность с плотностью, то её статические моменты,иотносительно координатных плоскостей, моменты инерции,иотносительно координатных осей, моменты инерции,иотносительно координатных плоскостей, масса, координаты,ицентра массвычисляются по формулам:,,

, ,,

, ,,

, ,,.

В задачах 11.51-11.59 вычислить следующие поверхностные интегралы:

11.51 ,где -часть плоскости, выделяемая условиями,,.

11.52 ,где -часть поверхности, отсечённая плоскостью.

11.53,где -часть поверхности конуса,.

11.54,где -часть поверхности конуса, расположенная внутри цилиндра.

11.55,где - часть поверхности конуса,.

11.56,где - часть поверхности, отсечённая плоскостямии.

11.57,где - сфера.

11.58,где - полная поверхность тетраэдра,,,.

11.59,где - полная поверхность цилиндра,.

11.60 Найти площадь части параболоида , отсечённой цилиндроми плоскостью.

11.61 Найти площадь части сферы , вырезанной цилиндром.

11.62 Найти массу, распределённую по параболоиду ,с плотностью:а) ;б) .

11.63 Найти массу, распределённую по сфере с плотностью.

11.64 Найти массу части конуса ,, если плотностьв каждой точкеравна квадрату расстояния до вершины конуса.

11.65 Найти массу части конуса ,, лежащей внутри цилиндра, если плотность распределения массы.

11.66 Найти координаты центра масс верхней полусферы ,, если поверхностная плотность в каждой её точке равна расстоянию от этой точки до оси.

11.67 Найти координаты центра масс однородной поверхности (плотность ):,.

11.68 Вычислить моменты инерции относительно плоскости однородной поверхности(плотность):,

, ,.

11.69 Вычислить моменты инерции относительно оси однородной поверхности(плотность):,.

11.70 Вычислить моменты инерции относительно оси однородной сферической поверхности плотности:,.

§4.Поверхностный интеграл второго рода и его приложения.

Если ,и- функции, определённые и непрерывные в точках двусторонней гладкой поверхности, ориентированной вектором нормали, топоверхностные интегралы 2-го рода вычисляются по формулам:

1) , если поверхностьзадаётся уравнениеми однозначно проецируется в областьплоскости, при этом перед двойным интегралом берётся знак «+», если нормальсоставляет с осьюострый угол, и знак «», если угол тупой;

2) , если поверхностьзадаётся уравнениеми однозначно проецируется в областьплоскости, при этом перед двойным интегралом берётся знак «+», если нормальсоставляет с осьюострый угол, и знак «», если угол тупой;

3) , если поверхностьзадаётся уравнениеми однозначно проецируется в областьплоскости, при этом перед двойным интегралом берётся знак «+», если нормальсоставляет с осьюострый угол, и знак «», если угол тупой.

Особенность поверхностных интегралов 2-го рода состоит в том, что они меняет свой знак на обратный при переходе на другую сторону поверхности.

Потоком векторного поля через поверхностьв направлении единичного вектора нормалик поверхности, называется интеграл. Его интерпретируют как количество жидкости или газа, протекающего за единицу времени в заданном направлении через поверхность. Вычисление интеграла сводится к вычислению суммы трёх двойных интегралов

где ,,- проекциисоответственно на плоскости,и, а,и- однозначные выражения, полученные из уравнения поверхностиразрешением относительно соответствующих координат, при этом перед двойными интегралами берётся знак «+», если нормальсоставляет острый угол с осями,и, соответственно, и знак «», если угол тупой.

В задачах 11.71-11.76 вычислить поверхностные интегралы:

11.71,где - нижняя сторона круга,.

11.72,где - верхняя сторона треугольника,,,.

11.73,где - внешняя сторона сферы

.

11.74,где - внешняя сторона конуса,.

11.75,где - внутренняя сторона поверхности тетраэдра,,,.

11.76,где - внешняя сторона поверхности, расположенной в первом октанте и составленной из цилиндрической поверхностии плоскостей,,,.

11.77 Найти поток вектора через часть сферы,в направлении внешней нормали.

11.78 Найти поток вектора через часть конической поверхности,в направлении внешней нормали.

11.79 Найти поток вектора через часть цилиндрической поверхности,,,в направлении внешней нормали.

11.80 Найти поток вектора через часть поверхности параболоида,в направлении внутренней нормали.