, ,,,

, .

В задачах 11.1-11.6 вычислить криволинейные интегралы первого рода по указанной кривой :

11.1 ,где .

11.2 ,где .

11.3 ,где .

11.4 ,где .

11.5 ,где -отрезокс концамии.

11.6 ,где - граница треугольникас вершинами ,и.

11.7,где ,.

11.8,где,

.

11.9,где ,,

.

11.10,где ,,

,.

11.11 ,где - часть логарифмической спирали, находящаяся внутри круга.

11.12 ,где - часть спирали Архимеда, находящаяся внутри круга.

11.13 ,где - окружность.

11.14 ,где - половина лемнискаты Бернулли,.

11.15 Найти длину дуги кривой :

а) ,;

б) ,,;

в) ,,,; г).

11.16 Найти массу, распределённую по участку кривой ,, если плотностьв каждой точкекривой равна квадрату абсциссы этой точки.

11.17 Найти массу, распределённую по полуокружности , расположенной в верхней полуплоскости, если плотностьв каждой точкеполуокружности равна кубу ординаты этой точки.

11.18 Найти массу, распределённую по дуге кривой :,,,, плотность которой меняется по закону.

11.19 Найти координаты центра массы, распределённой по кривой с плотностью, если:

а) ;

б) ,,;

в) ,.

11.20 Найти моменты инерции однородной дуги плотности:

а) относительно оси;

б) ,относительно оси;

в) ,,относительно оси;

г)относительно оси

§2. Криволинейный интеграл второго рода и его приложения.

Если и- функции, определённые и непрерывные в точках гладкой плоской кривой, заданной уравнением(), токриволинейный интеграл 2-го рода вычисляется по формуле . В случае параметрического задания кривой:,() имеет место формула.

Если ,и- функции, определённые и непрерывные в точках гладкой пространственной кривой:,,(), токриволинейный интеграл 2-го рода вычисляется по формуле

.

Особенность криволинейного интеграла 2-го рода состоит в том, что он меняет свой знак на обратный при изменении направления пути интегрирования.

Работапеременной силы , точка приложения которой описывает кривую, выражается интегралом(механический смысл криволинейного интеграла 2-го рода).

Если - замкнутый простой (без точек самопересечения) кусочно-гладкий контур, ограничивающий область, пробегаемый так, что областьостаётся слева, и функцииинепрерывны вместе со своими частными производными первого порядкаив областии на её границе, то имеет местоформула Грина

.

Площадь плоской фигуры , ограниченной замкнутым простым кусочно-гладким контуром, пробегаемым так, что областьостаётся слева, равна.

Если в области существует функциятакая, что выражениеявляется её полным дифференциалом, т.е. в областивыполняется условие, то криволинейный интегралне зависит от пути интегрированияцеликом расположенногои имеет место равенство

,

где начальная,- конечная точка пути. Если- односвязная область (область, в которой любой замкнутый контур можно непрерывно стянуть в точку) и функции,,,непрерывны в, то для этого необходимо и достаточно, чтобы в областивыполнялось условие. В частности, если контур интегрированиязамкнут, то.

Если область такова, что в качестве контура интегрирования можно выбрать ломаную, соединяющую точкии, звенья которой параллельны осями, то функциюможно найти по формулеили, где- некоторая фиксированная точка области,-произвольная постоянная.

В задачах 11.21-11.24 вычислить криволинейные интегралы по кривой , пробегаемой в направлении возрастания её параметра:

11.21 ,где - дуга параболы,.

11.22 ,где - дуга параболы,.

11.23 ,где - кривая,.

11.24 ,где - кривая,.

11.25 Вычислить криволинейный интеграл по отрезку , ориентированному в направлении от точкик точке:

а) ,,;

б) ,,.

11.26 Вычислить криволинейный интеграл по кривой , пробегаемой от точкик точке:

а) , - дуга параболы, ,;

б) , - дуга параболы, ,.

В задачах 11.27-11.30 вычислить криволинейный интеграл по кривой, пробегаемой в направлении возрастания её параметра:

11.27,где -дуга окружности,,.

11.28,где - дуга циклоиды,,.

11.29,где - кривая,,,.

11.30,где - дуга винтовой линии,,,.

В задачах 11.31-11.32 вычислить криволинейный интеграл по замкнутой кривой , пробегаемой так, что её внутренность остаётся слева.

11.31 , где - контур треугольникас вершинами,.

11.32 , - контур, составленный линиями,,.

В задачах 11.33-11.36, применяя формулу Грина, вычислить криволинейный интеграл по замкнутой кривой , пробегаемой так, что её внутренность остаётся слева.

11.33 , где - эллипс.

11.34, где - окружность.

11.35 , где - контур, образованный синусоидойи отрезком осипри.

11.36 , где - граница треугольника

с вершинами ,и.

В задачах 11.37-11.38 убедившись в том, что подынтегральное выражение является полным дифференциалом, вычислить криволинейный интеграл по кривой с началом в точкеи концом в точке.

11.37 , ,.

11.38 ,,.

В задачах 11.39-11.42 найти функцию по заданному полному дифференциалу этой функции: